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Cinzia Elia: cinzia .elia@uniba.it
Syllabus 2023-2024 Aggiornato il 21/12/23
Modalità Esame
L'esame consta di una parte pratica e di una parte orale. La parte pratica prevede simulazioni (anche con il solo metodo di Eulero Esplicito) al calcolatore di modelli a discrezione della/o studente/ssa. I modelli scelti per la presentazione non devono necessariamente essere stati presentati a lezione, sono infatti consigliate scelte autonome. Ad ogni modo sono presenti diversi suggerimenti sia nei file Matlab presentati a lezione e condivisi dalla docente sul Matlab Drive che nel File Esercizi condiviso. Inoltre sul testo di riferimento sono presenti numerosi esempi di sistemi di ODEs lineari e nonlineari che possono essere studiati teoricamente e numericamente. Gli esercizi gia' svolti dalla docente in aula non posso essere scelti per la presentazione. Obiettivo principale delle simulazioni deve essere lo studio degli aspetti qualitativi sia del modello di partenza che del metodo numerico scelto per l'implementazione. Programmi semplici accompagnati da un attento studio qualitativo sono di gran lunga preferibili a programmi sofisticati che non presentino un'analisi accurata dei modelli o problemi scelti. In generale si consiglia di procedere alle simulazioni solo dopo aver studiato approfonditamente la teoria. La collaborazione è permessa e, meglio, consigliata perchè dovrebbe favorire progetti più approfonditi e creativi. Al momento della discussione delle simulazioni tuttavia occorre essere del tutto autonomi.
Le simulazioni devono essere discusse al calcolatore con la docente una settimana prima della data fissata per l'esame orale. Occorre mandare una e-mail alla docente per fissare un appuntamento per la discussione delle simulazioni. Non è possibile accedere all'esame orale senza aver precendemente discusso le simulazioni. Non è possibile inivare i programmi per e-mail alla docente. I file scelti per la presentazione devono essere file Matlab.
ANNI ACCADEMICI PRECEDENTI
Esercizi 2022-2023
Le formule negli esercizi di seguito sono scritte in latex. La numerazione segue quella delle lezioni durante le quali sono stati assegnati gli esercizi. Si guardino anche gli Esercizi 2021-2022.
Studiare da un punto di vista qualitativo le seguenti equazioni differenziali scalari
\dot x=(x^2+1)
\dot x=(x^2-1)
3.
Problemi dipsonibili sul file Matlab condiviso a lezione.
6.
- Implementare un metodo di tipo Montecarlo per studiare la probabilità dei diversi tipi di punti fissi per sistemi lineari planari. Utilizzare sia la distribuzione uniforme in [-1,1] che quella normale standard.
-Simulare i sistemi Love Affairs di Steven Strogatz.
-Studiare il sistema
\dot x=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ \mu & -1 \end{pmatrix} x,
al variare di \mu.
-Problemi PROBLEM SET 5, pag. 26, L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems
7.
Esercizi presenti sul file Sistemi_lineari.mlx della cartella Matlab del corso condivisa.
8.
-Dati i sistemi lineari: \dot x=Ax , con matrici dei coefficienti
A=[0 2 0; -2 0 0; 2 0 6], A=[2 3 0; 0 -1 0; 0 0 -1];
a) Si dia l'espressione analitica della soluzione generale;
b) Si scriva la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale x0=[1;1;1];
c) Si dicano chi sono gli spazi Stabile, Instabile e Centrale E_{s,u,c} e si traccino le orbite in tali spazi;
d) Si approssimino le soluzioni numericamente con i metodi introdotti a lezione verificando anche l'invarianza di E_{s,u,c} per il metodo numerico. Nelle simulazioni numeriche si presti attenzione agli aspetti qualtitaivi delle soluzioni.
-Problemi PROBLEM SET 9, pag. 56,57, L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems.
9.
-Calcolare la varietà stabile e quella instabile di
\dot x_1=-x_1
\dot x_2=-x_2+x_1^2
\dot x_3=x_3+x_1^2
e approssimarle numericamente.
- Esempio 2 pag. 108, L. Perko con approssimazione numerica per costruzione della varietà stabile attraverso approssimazioni successive.
-Studiare il comportamento degli equilibri del sistema di Lorenz al variare del parametro \mu.
11.
-Perko, PROBELEM SET 6, Esercizi 1, a) b) c) d).
Studio qualtitivo e numerico con approssimazione varietà stabile e instabile.
-Cercare una funziona di Lyapunov opportuna per studiare il comportamento
dell'origine nel seguente sistema
x_1'=-x_1-2x_1x_2-2x_2^2
x_2'=x_1^2-x_2^3+x_1x_2
12. Esercizi in condivisione sulla Cartella 2022:
File RungeKutta2.mlx, Sistemi_non_lineari.mlx
Esercizi 2021-2022
Le formule negli esercizi di seguito sono scritte in latex. La numerazione segue quella delle lezioni durante le quali sono stati assegnati gli esercizi.
Calcolare le soluzioni di
\dot x =-x^{1/3} , \,\ x(0)=x_0,
e osservare che raggiungono \bar x=0 in tempo finito così da negare il Teorema di Esistenza e Unicità della soluzione del probelma di Cauchy. Quali ipotesi nell'enunciato del Teorema non sono verificate?
Approssimare la soluzione di
\ddot x+x=0, \,\ x(0)=0, \,\ \dot x(0)=1
tramite le approssimazioni successive di Picard Linedlöf.
-Dare un esempio di una funzione continua A: [a,b] \to \mathbb R^{2 \times 2} che non commuta con il suo integrale.
Ricavare che in generale la soluzione principale di
\dot X=A(t)X, \,\ X(0)=I,
non è uguale a e^{\int_0^t A(s) ds}.
-Dimostrare che se AB=BA allora e^{A+B}=e^Ae^B.
-Studiare il sistema
\dot x=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ \mu & -1 \end{pmatrix} x,
al variare di \mu.
-Problemi PROBLEM SET 5, pag. 26, L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems
File script utilizzato a lezione
- Verificare che i comportamenti qualitativi osservati nella approssimazione numerica della lezione numerica sono in sintonia con la teoria della stabilità lineare per il metodo di Eulero Esplicito.
- Risolvere con il metodo di Eulero Esplicito alcuni degli esempi del Problem set 5 del Perko.
- Si studi il sistema
\dot x=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x.
Si osservi che in questo caso det(A)=0 e quindi x=0 non è l'unico punto di equlibiro del sistema.
- Dato il sistema
\dot x=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} x,
se ne scriva la soluzione esatta e se ne rappresentino le orbite nello spazio delle fasi.
7. PROBLEM SET 9 , L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems
8. -Sia \dot x=Ax con A matrice definita in Matlab come segue:
A=diag([-1:-1:-20])+diag(20*ones(19,1),1);
Simulare la soluzione del problema a valori iniziali x=ones(20,1) con il metodo di
Eulero Esplicito e rappresentare la norma della soluzione in funzione del tempo.
Si commenti il comportamento della soluzione e si giustifichi teoricamente tale
comportamento.
-Si studi il comportamento qualitativo e si approssimi la soluzione con il metodo di EE
dei seguenti oscillatori
\ddot x+\dot x+x=2cos(2t)
\ddot x+ 3 \dot x+x=3sin(2t)
\ddot x+ x=sin(2t)
Per quali di questi oscillatori la soluzione ottenuta con EE non è soddisfacente? Perchè?
I file di seguito contengono anche suggerimenti per esercizi/ simluazioni.
10. Lezione Punti Fissi Spuri ed Esercizi
11-12. File Regione assoluta stabilità di rk4
File su simulazioni numeriche per oscillatori non lineari
Sistemi di tipo Lienard sul Perko per simulazioni numeriche: pg 251, Example 2;
pg 255 Example 5.
Altri possibili modelli da studiare, oltre ai problemi assegnati, ai modelli discussi a lezione, ai problemi reperibili sul Perko, a modelli selezionati dagli studenti, sono gli oscillatori lienari e non lineari accoppiati tramite accoppiamenti lineari. Si tratta di primi passi per simulazioni di networks complessi.
Materiali e argomenti lezioni svolte
Lezione del 3 Ottobre 2019
Scripts usati a lezione
Per rappresentare graficamente le soluzioni: plot(acct,accx(:,1))
Per sistemi planari anche:
plot(acct,accx)
plot(accx(:,1),accx(:,2))
Altri modelli simulati a lezione
1) Oscillatore non linear di Van Der Pol
f=@(t,x)[x(2);-10*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];
2) Problema test per stabilità lineare
f=@(t,x)-10*x;
Problemi
Modelli da esplorare numericamente con EE
1) f=@(t,x)-30*x/(1+x^2);
2) f=@(t,x)[x(2);x(1)-x(1)^2/2];
Modello da esplorare con il metodo di Eulero Implicito
f=@(t,x)[x(2);-x(1)];
Lezione del 16 Dicembre 2019
Function creata a lezione per il metodo Runge Kutta del II ordine
Progetti numerici
Studio della stabilità lineare dei metodi Runge Kutta
Problemi stiff
Approssimazione numerica di orbite periodiche
Materiale Anni Passati
I lezione: Mappa logistica
Mappa logistica: xn+1=kxn(1-xn), k in [0,4], x in [0,1].
Studio delle soluzioni del sistema per tempi lunghi per valori assegnati di k.
>> x=rand(1); xx=x; for i=1:200, x=k*x*(1-x); xx=[xx;x]; end, plot(xx,'.')
Regimi riscontrati per diversi valori di k
0<k<3: le soluzioni tendono ad un punto fisso
3<k< ~3.45: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 2
k=3.5: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 4
k=3.55: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 8
k=3.567: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 16
k>3.6: fenomeni caotici. Sensibilità rispetto a condizioni iniziali.
Ordine nel caos
k=3.835: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 3
k=3.845: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 6
k=3.739: le soluzioni tendono ad un'orbita periodica di periodo 5
Problema
Studiare il comportamento per tempi lunghi della mappa di Henon per k in [0.2,1.4] :
xn+1=yn+1-kxn2; yn+1=0.3xn;
II Lezione
Sistemi lineari x'=Ax
Generalità sui sistemi autonomi.
Definizione di eAt come soluzione di x'=Ax.
Proprietà: eAt come serie di termine generale (At)k/k!.
Problema: Dimostrare che eAeB=eA+B se e solo se AB=BA
Studio qualitativo di eAt
Proprietà: A diagonalizzabile. La soluzione generale di x'=Ax si scrive come
x(t)=c1eλ1t v1+c2eλ2t v2+........+cneλnt vn
con λi autovalore di A e vi autovettore associato.
Osservazione: Span(vi) è invariante rispetto ad eAt
Notazione: φt(x0) soluzione del problema di Cauchy: x'=Ax, x(0)=x0
Proprietà: Dipendenza continua di φt(x0) da x0.
Osservazione: Distinzione tra il concetto di stabilità e quello di continuità.
Definzioni: Punto di equilibrio stabile, instabile e asintoticamente stabile.
Teorema sulla stabilità/asintotica stabilità/instabilità dell'origine di x'=Ax.
Dimostrazione a partire dalla forma canonica di Jordan (reale)
Osservazione: il teorema non è vero se la matrice A dipende da t.
Nel caso A=A(t), anche se gli autovalori di A(t) sono a parte reale
negativa per ogni t, l'origine potrebbe essere instabile.
Osservazione: nel caso Re(λi)<0 per ogni λi autovalore di A,
comunque la convergenza all'origine potrebbe non essere monotona.
Esempio: Sistemi lineari planari.
Function Matlab per sistemi planari
Studio qualitativo del sistema.
Definizioni: nodo stabile e instabile, punto di sella, fuoco stabile e instabile, centro, stella.
Simulazioni con uso della function predefinita del Matlab ode45.
Esempio di uso di ode45 con funzione anonima
>> f=@(t,x)[-0.1 1 0; 0 -0.1 1; 0 0 -0.1]*x;
>> options=odeset('outputfcn','odephas3');
>> [acct,accx]=ode45(f,[0,100],[1 1 1],options);
>> [n,m]=size(accx);
>> for i=1:n, norm_x(i)=norm(accx(i,1:3)); end
>> figure(2)
>> plot(acct,norm_x)
Definizioni: spazio stabile, instabile, centrale per sistemi di dimensione n.
III Lezione
Sistemi non lineari autonomi x'=f(x)
Uso dell'equazione variazionale x'=Df(p)x, per lo studio qualitativo
del sistema in un intorno del punto di equlibrio p
Giustificazione nel caso di autovalori a parte reale negativa:
Teorema: x'=Ax+o(||x||) , se Re(λi) <0 per ogni λi autovalore di A,
allora l'origine del sistema non lineare è asintoticamente stabile.
(Lemma di Gronwall)
Problema: dimostrare la forma non omogenea del lemma di Gronwall
Giustificazione nel caso di autovalori a parte reale non nulla:
Teorema della varietà stabile (enunciato e cenni di dimostrazione)
Caso di autovalori a parte reale nulla:
L'equazione variazionale non dà informazioni sul comportamento
qualitativo del sistema in un intorno del punto di equilibrio
Esempio: x'=x3
Esempio: studio dei punti di equilibrio del sistema di Lorenz
Teorema della funzione di Lyapunov (con dimostrazione)
f in C1(Rn), f(p)=0, p in U.
V:U →R, V continua e differenziabile con derivate continue in U\{p}.
V(u)>V(p), ∀ u ∈ U\{p}
1)V'(u) ≤ 0 allora p è stabile
2)V'(u) < 0 allora p è asintoticamente stabile
Esempio: Pendolo semplice; funzione energia come funzione di Lyapunov
Curve di livello della funzione energia come orbite del sistema.
IV Lezione
Metodi numerici per la risoluzione di ODEs: Metodi Runge Kutta
Esempi di studio qualitativo con uso del Matlab
Eulero esplicito applicato a x'=-30x
>x=1; h=0.1; acct=0; accx=1; for i=1:10, t=i*h; x=x-30*h*x; acct=[acct;t]; accx=[accx;x]; end
>plot(acct,accx)
>x=1; h=0.01; acct=0; accx=1; for i=1:100, t=i*h; x=x-30*h*x; acct=[acct;t]; accx=[accx;x]; end
Eulero implicito applicato a x'=-30x
>x=1; h=0.2; acct=0; accx=1; for i=1:10, t=i*h; x=x/(1-30*h); acct=[acct;t]; accx=[accx;x]; end
>plot(acct,accx)
Eulero esplicito applicato all'oscillatore armonico
>x=[1 1]'; h=0.01; acct=0; accx=x'; for i=1:100, t=i*h; x=x+h*[0 1; -1 0]*x; acct=[acct;t]; accx=[accx;x']; end
>plot(accx(:,1),accx(:,2))
Equazione dei metodi Runge Kutta ed array di Butcher
Consistenza ed errore locale di troncamento
Ordine di un metodo Runge Kutta
Verifica dell'ordine tramite espansione di Taylor della soluzione esatta
Convergenza
Maggiorazione per l'errore globale: ||en|| ≤Chpe(L(tn-t0)-1), P ordine del metodo
La maggiorazione cresce esponenzialmente con l'ampiezza dell'intervallo di integrazione:
fondamentale lo studio qualitativo per simulazioni per tempi lunghi
Implementazione dei metodi numerici: Passo costante.
Verifica dell'ordine del metodo tramite rappresentazione del
logaritmo dell'errore globale in funzione del logaritmo del passo
Punti fissi dei metodi Runge Kutta e punti di equlibrio di x'=f(x).
Punti fissi spuri e orbite periodiche spurie.
Esempio x'=-10x/(1+x^2) Uso del metodo Runge Kutta c=[0 1]; A=[0 0; 1 0]; b=[0 1]
Si prenda h>1/10
Stabilità lineare
Giustificazione dell'uso del Problema Test x'=λx
Funzione di stabilità
Regione di assoulta stabilità
Metodi Runge Kutta a passo variabile
Implementazione dei metodi numerici: Function rkf45
Questa function prevede l'uso di una function getf per definire la derivata prima: x'=f(t,x).
Esempi per testare la performance del metodo: plot del passo di dicretizzazione hh, dell'errore commesso ad ogni passo,
della soluzione in funzione del tempo.
Confronto tra diversi metodi Runge Kutta embedded: plot del numero di valutazioni di funzione in funzione della tolleranza.
Implementazione dei metodi numerici a passo variabile. Esempio: Brusselator.
x'=f(x), f(x1,x2)=(1+x12x2-4x1; 3x1-x12x2);
Passo adattivo in sintonia con il comportamento della soluzione
Alcuni esempi
Rossler
Questa function crea una griglia di condizioni iniziali in R3 e genera le soluzioni del sistema
di Rossler corrispondenti. Per ciascuna delle condizioni iniziali sulla griglia, rappresentiamo
le ultime iterate della soluzione numerica corripsondente.
Sono evidenti la separazione esponenziale di soluzioni vicine e il "ripiegamento" (stretching and folding).
Zoom: rossler.eps
Lorenz:
x'=s(x-y)
y'=rx-y-xz
z'=xy-bz
Valori classici dei parametri: s=10; b=8/3; r=28.
Si studino i punti di equlibrio per r=0.5; r=1.5; r=28.
Un modello genetico (Griffith 1971)
Modello di controllo genetico. x: concentrazione di una data proteina
y: concentrazione di RNA che codifica la proteina
x'=-ax+y
y'=x2/(1+x2)-y
Studiare i punti di equilibrio del sistema per a=0.3; a=0.5; a=1.
Testi consigliati
Lawrence Perko: Differential Equations and Dynamical Systems
Jack Hale: Ordinary Differential Equations
J.D. Lambert: Numerical Methods for Ordinary Differential Systems
Cleve Moler: Scientific computing with Matlab