2.4 Identidades, leyes del álgebra booleana y de De Morgan

 

Como ya se ha visto, a partir de la tabla de verdad se puede obtener una expresión algebraica que la represente. Para ello se puede utilizar un  operador OR que combine todas las expresiones que representan cada una de las filas de la tabla para los que la función vale 1.


 

A  cada  una  de  esas  expresiones   algebraicas  se  les  denomina “minterms” o “mini términos”

 

 

Maxiterms A + B+ C


 

 LEYES Y REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLEANA

 

 

Al igual que en otras áreas de las matemáticas, en el Álgebra de Boole existen  una  serie  de  reglas  y  leyes  que  tienen  que  seguirse  para  aplicarlo correctamente.



Teoremas básicos 

Utilizando los axiomas de la definición de un álgebra de Boole, pueden demostrarse 

los siguientes teoremas: 

Teorema 1.2: Sean a, b, c elementos cualesquiera de un álgebra de Boole B, se cumple: 

(i) Idempotencia: 

 (5a)  a + a = a        (5b)  a * a = a 

(ii) Acotamiento: 

 (6a)  a + 1 = 1    (6b)  a * 0 = 0

(iii) Absorción: 

 (7a)  a + (a * b) = a       (7b)  a * (a + b) = a 

 

 

                

 

 

Como se verá más adelante en ocasiones resulta muy útil generar un circuito combinacional con un único tipo de compuerta. Para algunas familias lógicas las puertas NAND son las más sencillas.

 

Ejemplo: Obtención de un diagrama lógico de un sistema a partir de su expresión Booleana utilizando puertas NAND

 

 

A  partir  de  la  siguiente  expresión  Booleana  se  nos  pide  que obtengamos     su     diagrama     lógico     equivalente     utilizando exclusivamente puertas NAND. 

 

 

D = A.B.C + A.B.C + A.B.C




Ejemplo: Simplificar el número de puertas de un circuito

 

 

Se  pide  simplificar  el  siguiente  circuito  mediante  simplificación algebraica. 





 

                 TEOREMAS DE MORGAN

 

 

Para otras familias lógicas las puertas NOR son las más sencillas.

 

Ejemplo: Obtención de un diagrama lógico de un sistema a partir de su expresión Booleana utilizando puertas NOR

 

 

A  partir  de  la  siguiente  expresión  Booleana  se  nos  pide  que obtengamos     su     diagrama     lógico     equivalente     utilizando exclusivamente puertas NOR.

    Ejemplo: Simplificar el número de puertas 

 

 Se  pide  simplificar  el  siguiente  circuito  mediante  simplificación algebraica.

 





1º Se obtiene la función Booleana.

 

 

D = A.B.C + B.C + A.B.C + A.B.C

 

 

2º Se simplifica utilizando las reglas.

 

D = A.B.C + B.C + A.B.C + A.B.C =

= A.B.C + B.C + B.C(A + A) =

= A.B.C + B.C + B.C =

= A.B.C + B.(C + C) =

= A.B.C + B =

 

= A.C + B

MINIMIZACIÓN LÓGICA MEDIANTE MAPAS DE KARNAUGH

 

 

 

 

Utilización de los mapas de Karnaugh

 

 

Los mapas de Karnaugh se van a utilizar para simplificar expresiones

Algebraicas. Para ello se hará lo siguiente:

 

1º) Representar en un mapa de Karnough la función algebraica o tabla de verdad que se deseé simplificar.

 

2º) Se agruparan los “1” siguiendo  las reglas que a  continuación se  citan:

a)  Los   grupos   de   celdas   más   grandes   posibles   deberán construirse primero; cada uno deberá contener 2n elementos.

b) Deberán agregarse grupos cada vez más pequeños, hasta que cada celda que contenga un “1” se haya incluido por lo menos una vez.

c)  Deberán eliminarse los grupos redundantes (aun cuando se  trate de grupos grandes) para evitar la duplicación.

 

Ejemplos de agrupamientos no permitidos

 

 

 

 

Ejemplos de agrupamientos permitidos




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