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  • Luis Velasquez
    octubre 23, 2010

Definición: Ecuaciones

Ecuación de primer grado

De Wikipedia, la enciclopedia libre
 
  Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

 y = m \cdot x + b \;

Donde  m \; representa la pendiente y el valor de  b \; determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).

Las ecuaciones en las que aparece el término  x \cdot y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

 3x + 2y = 10 \,
 3x + y -5 = -7x + 4y +3 \,
 x - y + z = 15 \,
 3x - 2y + z = 20 \,
 x + 4y - 3z = 10 \,

Formas de ecuaciones lineales

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Ax + By + C = 0\,
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
  • Ecuación segmentaria o simétrica
\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
  • Forma paramétrica
  1. x = Tt + U\,
  2. y = Vt + W\,
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
  • Casos especiales:
y = F\,
Un caso especial es la forma estándar donde  \, A = 0 y  \, B = 1 . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
x = E\,
Otro caso especial de la forma general donde  \, A = 1 y  \, B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
0 = 0\,
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser:  \, 3 x + 2 =3 x - 5 .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

 f(x,y) = a_1 x + a_2 y \,

representa un plano y una función

f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \,

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultaneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

    \left \{         \begin{array}{rcrcrcr}              5 \,x & - & 3 \,y & + & 4 \,z & = & 8  \\             -3 \,x & + & 2 \,y & + &   \,z & = & 5 \\              4 \,x & - &   \,y & + & 3 \,z & = & 3         \end{array}     \right .

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