Geometria Analítica
Curvas Cônicas e Diretrizes
(algumas explicações preliminares)A animação que você irá acessar abaixo, feita no GeoGebra, ilustra o seguinte teorema:
Teorema. Fixemos um plano π, uma reta d ⊂ π (que chamaremos de diretriz), um ponto F ∈ π tal que F ∉ d (que chamaremos de foco) e um número e > 0 (que chamaremos de excentricidade). O lugar geométrico (conjunto) C de todos os pontos P do plano π tais que
d(P,F) = e.d(P,d)
é uma curva cônica. (a notação d(_,_) significa distância)
Além disso:
(i) Se 0 < e < 1, então a curva cônica é uma elipse.
(ii) Se e = 1, então a curva cônica é uma parábola.
(iii) Se e > 1, então a curva cônica é uma hipérbole.
Reciprocamente, toda curva cônica não degenerada, que não seja uma circunferência, pode ser descrita por uma equação da forma acima.
Conforme podemos constatar no teorema acima, a definição geométrica de parábola (em termos de distâncias) pode ser generalizada para elipse e hipérbole.
A excentricidade e do teorema acima é, de fato, a excentricidade definida na teoria para elipses e hipérboles, ou seja, e = c / a. Logo, por força desse teorema, podemos considerar que a excentricidade da parábola é sempre 1, o que nos leva à conclusão de que, a menos de escala (ou semelhança), a parábola é uma curva única.
Por fim, assim como as parábolas, notamos que as elipses e as hipérboles também possuem retas diretrizes! Algo que geralmente não é muito enfatizado em cursos curtos de Geometria Analítica.
E agora, vamos à construção geométrica. Clique no link abaixo: