Notación para derivadas

Historia.-

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Concepto.-
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.

La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.

Para representar la derivada de una función se utilizan los símbolos: y', f'(x) y dy/dx (es muy importante darse cuenta que dy/dx es un símbolo y no una fracción. Esta notación de la derivada, se llama notación de Leibniz.)

El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

Notación.-

Existen 3 tipos diferentes de notación, creados por diferentes matemáticos. Estos son:

  • Notación de Newton para Derivadas:

En la notación de Newton para la diferenciación se representa la diferenciación mediante un punto o comilla situado sobre el nombre de la función, y que Newton denominó fluxion.

La notación de Isaac Newton se utiliza fundamentalmente en mecánica. Se define como:

\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)

\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = x''(t)\,

etcétera.

Aunque no es útil para derivadas de mayor orden, en mecánica e ingeniería es útil ya que el uso de derivadas de mayor orden no es habitual. En física y otros campos, la notación de Newton es muy utilizada para la derivada respecto del tiempo, lo que permite diferenciarla de la pendiente o derivada de la posición.

  • Notación de Leibnz para Derivadas:

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador  \frac {d} {dx} , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo  \frac {df} {dx} como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto)  \frac {df} {dx} \frac {dx}{dt} = \frac {df}{dt}; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales  \frac {dN} {dt} = kN \Rightarrow \frac {dN}{N} = k dt.

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.

  • Notación para derivadas de orden superior.

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

1ra Derivada

{f}'_{(x)} ; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ; D_x[f_{(x)}] ; \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} ; \dot{y} ; {y}'

2da Derivada

{f}''_{(x)} ; \frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} ; D_{xx}[f_{(x)}] ; \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2} ; \ddot{y} ; {y}''

3ra Derivada

{f}'''_{(x)} ; \frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3} ; D_{xxx}[f_{(x)}] ; \frac{\mathrm{d^3} y}{\mathrm{d} x^3} ;  {y}'''

n-Derivada

{f}^n_{(x)} ; \frac{\mathrm{d^n} }{\mathrm{d} x^n} ; \frac{\mathrm{d^n} y}{\mathrm{d} x^n} ; {y}^n

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.


Conclusión.-

 Conocer la historia de la notación que se usa para las derivadas, nos ayuda a conocer a fondo el porque utilizamos dichos símbolos durante nuestro día a día en las clases relacionadas con las matemáticas, y principalmente con el cálculo diferencial.

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