Obvody a obsahy

Mnohoúhelníky a kružnici či kruh můžeme charakterizovat pomocí velikosti jejich obvodu a velikostí obsahu rovinné plochy, jež ohraničují. Obvody a obsahy jsou vybrány do zvláštní kapitoly také proto, že jejich odvození spolu navzájem souvisí (např. obsah trojúhelníku souvisí se znalostí výpočtu obsahu rovnoběžníku apod.). Pro názornost jsou zde uvedeny úlohy využívající čtvercovou síť, což rozvíjí představu čtverečních jednotek v rovině. Další úlohy zase využívají dělení geometrických útvarů na části, které po složení zjednoduší výpočet obsahu plochy.


Úloha O1 Obsah čtverce

  1. Odhadněte, jak velkou plochu roviny čtverec ohraničuje. Kolik přibližně malých čtverců ze čtvercové sítě je uvnitř zvýrazněného čtverce?
  2. Malý čtverec má obsah 1 cm2. Jaký obsah bude mít zvýrazněný čtverec v jednotkách cm2? Ověřte svůj odhad - posuňte lištu obrázku směrem doprava a zkontrolujte výsledek.
  3. Umístěte zvýrazněný čtverec do čtvercové sítě tak, aby byly všechny jeho vrcholy v bodech sítě. Kolik cm má jedna strana vašeho čtverce? Kolik cm2 má pak obsah čtverce? Vymodelujte alespoň 3 další čtverce, určete velikost jejich strany a obsah (=počet čtverců sítě).
  4. Jak souvisí počet malý čtverců s délkou strany čtverce? Jak tedy vypočítáme obsah čtverce, známe-li délku strany? 

Vzorec pro výpočet obsahu čtverce o straně a je S = ___________.

Úloha O2 Obsah obdélníku

  1. Na obrázku je obdélník a síť, jejíž jeden díl má rozměr 1 cm. Kolik cm mají strany obdélníka? 
  2. Kolik čtverců obsahuje obdélník? Pokuste se odhadnout a spočítat přibližně i necelé části čtverců. Má-li 1 čtverec obsah 1 cm2, koli cm2 má tedy celý obdélník? 
  3. Pohybujte vrcholy B nebo D tak, aby obdélník měl obsah 15 cm2 (tedy obsahoval 12 čtverců). Jaké rozměry mají strany obdélníka? 
  4. Najděte obdélník, který má obsah 24 cm2. Jaké rozměry má obdélník? Najděte ještě jiný obdélník, který má stejný obsah 24 cm2. Kolik obdélníků s různými celočíselnými rozměry najdete? 
  5. Jak vypočítáme obsah obdélníku, známe-li rozměry jeho stran?

Vzorec pro výpočet obsahu obdélníku o stranách a, b je S = ___________.

Úloha O3 Obvod a obsah obdélníku

  1. Obvod jakéhokoli mnohoúhelníku je součtem délek všech jeho stran. Jaký je obvod obdélníku na obrázku?
  2. Červená úsečka KO na obrázku označuje velikost obvodu obdélníku. Nastavte velikost obvodu (posunutím bodu O) na velikost 15 cm. Kolik obdélníků s obvodem 15 cm můžeme vymodelovat? Zkuste pohybovat bodem L a zkontrolujte výpočtem, zda má obdélník stále obvod 15 cm. 
  3. Tučně vyznačené číslo určuje obsah obdélníku. Pokud máme daný obvod obdélníku 15 cm, jaké rozměry bude mít obdélník, aby měl co největší obsah? Odhadněte, potom vymodelujte na obrázku. Pohybujte bodem L a najděte, kdy bude mít obdélník největší obsah. Jaké jsou rozměry takového obdélníku?  

Máme-li obdélník o daném obvodu, největší obsah bude mít, pokud jeho strany __________________.

Úloha O4 Obsah rovnoběžníku

  1. Pokud některý geometrický útvar rozdělíme na části a pak znovu složíme, obsah útvarů se nezmění. Můžeme nějakým způsobem rozstříhat rovnoběžník a složit z něj obdélník, jehož obsah již snadno vypočítat umíme? Pokuste se vymyslet co nejjednodušší způsob.
  2. K postupu využijeme trojúhelníky na pravé části obrázku. Ověřte, zda jsou shodné. (Pro přemisťování uchopte za označený bod V u žlutého trojúhelníku a T u zeleného trojúhelníku.)
  3. Přesuňte žlutý trojúhelník tak, aby zakrýval část rovnoběžníku, který chceme odstranit, aby vznikl obdélník. (Vznikne trojúhelník MVA.)
  4. Zelený trojúhelník přiložte ke straně rovnoběžníku tak, abyste jej doplnili na obdélník. (Vznikne trojúhelník ITS.) Bude mít zelený obdélník MITV stejný obsah jako rovnoběžník? Jaké bude mít rozměry tento obdélník? 
  5. Přesuňte trojúhelníky (pomocí bodů V a T) mimo rovnoběžník. Pohybujte vrcholy rovnoběžníku a vymodelujte jiný rovnoběžník. Pak z něj překrytím a přidáním trojúhelníku opět vytvořte obdélník. Jaký obsah bude mít?
  6. Jak vypočítáme obsah rovnoběžníku? 

Vzorec pro výpočet obsahu rovnoběžníku o straně a, b a výšce v (na stranu a) je S = ___________.

Úloha O5 Obsah trojúhelníku

  1. Na obrázku je vyznačen zelený trojúhelník TRH, jehož obsah chceme zjistit. Doplníme trojúhelník na rovnoběžník - najdeme bod A. 
  2. Jedná-li se o rovnoběžník, bude úsečka TR shodná s HA? A úsečka RA shodná s TH? Můžeme tedy říct, že zelený trojúhelník TRH je shodný se šedým trojúhelníkem RAH? Budou mít tedy i stejný obsah?
  3. Jak vypočítáme obsah rovnoběžníku TRAH? (Viz předchozí úloha.) Známe-li obsah rovnoběžníku, jaký bude obsah zeleného trojúhelníku?
  4. Pohybujte body T nebo R a vymodelujte alespoň 3 trojúhelníky a vypočítejte jejich obsah.
  5. Teď pohybujte bodem H po rovnoběžce. Bude se měnit výška trojúhelníku? Jak se bude měnit obsah trojúhelníku, budete-li pohybovat pouze bodem H?
  6. Na kterých rozměrech trojúhelníku tedy závisí jeho obsah? 

Obsah trojúhelníku závisí na 2 rozměrech a to na _________________ a ______________________.
Vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku o straně a,b,c a výšce v (ke straně a) je S = ___________.

Úloha O6 Obsah lichoběžníku

  1. Na obrázku je lichoběžník LICH. Pokuste se odhadnout, jak bychom mohli lichoběžník rozložit a zase složit, aby vznikl nějaký jiný útvar (obdélník, rovnoběžník, trojúhelník).
  2. Najděte na obrázku bod O. Uchopte jej a pohybujte jím tak, aby překrýval bod I. Popište, jaký útvar jste na obrázku přesunuli a jak. 
  3. Jaký útvar (zeleně vyznačený) přesunutím části lichoběžníku vznikl? Bude mít stejný obsah jako lichoběžník?
  4. Které rozměry zeleného trojúhelníku LEH známe? Můžeme vypočítat jeho obsah? Pokud ano, vypočítejte.
  5. Vymodelujte jiný lichoběžník (pohybem vrcholů nebo výšky) a postup s vytvořením trojúhelníku opakujte.

Vzorec pro výpočet obsahu lichoběžníku o základnách a,b a výšce v je S = ___________.

Úloha O7 Obvod kruhu

  1. Jakým experimentálním způsobem byste přibližně zjistili obvod kruhu? 
  2. Na obrázku je do kruhu vepsaný desetiúhelník, pokud bychom délky jeho stran na nesli na přímku (viz přímka dole na obrázku), zjistili bychom jeho obvod, který se bude blížit hodnotě obvodu kruhu. Kdybychom chtěli ještě přesnější hodnotu obvodu, jak budeme postupovat?
  3. Na obrázku je vyčíslena i skutečná hodnota obvodu kruhu. Souvisí obvod kruhu s poloměrem kruhu? Vyzkoušejte měnit poloměr a sledujte, jak se mění obvod kruhu.
  4. Obvod kruhu je přímo úměrný průměru kruhu, platí tedy pro výpočet obvodu: o = k.d, kde d je průměr a k je konstanta. Jakou hodnotu bude mít ta konstanta? Vypočítejte k = o:d. Vypočítejte hodnotu konstanty alespoň pro 4 různé kružnice s co největším poloměrem. Konstanta se nazývá Ludofovo číslo a značí se řeckým písmenem π (čtěte pí). 
  5. Jak zapíšeme vzorec pro výpočet obvodu pomocí hodnoty poloměru r?

Vzorec pro výpočet obvodu kruhu o poloměru r je o = ___________.
Vzorec pro výpočet obvodu kruhu o průměru d je o = ___________.
Číslo π se nazývá _______________________________ a hodnota π je __________ .

Úloha O8 Obsah kruhu

  1. Obsah kruhu je velikost plochy, kterou ohraničuje obvod kruhu. Plochu můžeme rozdělit na části, jak je to na obrázku. Na kolik částí je kruh rozdělen?
  2. Části kruhu jsou sestaveny do útvaru připomínajícího rovnoběžník. Jak vypočítáme obsah rovnoběžníku? 
  3. Jakou výšku bude mít rovnoběžník na obrázku? Jak souvisí tato výška s kruhem?
  4. Obvod kruhu je tlustě vyznačen na obrázku kruhu i na sestaveném rovnoběžníku. Jak se vypočítá obvod kruhu, známe-li poloměr?
  5. Jaká bude tedy velikost vodorovné strany tohoto rovnoběžníku? Bude to nějaká část obvodu kruhu? Jak ji vypočítáme, známe-li poloměr kruhu?
  6. Vypočítejte obsah vzniklého rovnoběžníku a zapište, jak jste ho vypočítali.

Vzorec pro výpočet obsahu kruhu o poloměru r je o = ___________.
Vzorec pro výpočet obsahu kruhu o průměru d je o = ___________.
Číslo π se nazývá _______________________________ a hodnota π je __________ .


Úloha O9 Obvod a obsah rovinného útvaru

  1. Jak vypočítáte obsah libovolného mnohoúhelníku?
  2. Na jaké části mnohoúhelník rozdělíte? Na kolik částí rozdělíte mnohoúhelník na obrázku?
  3. Nejprve od pohledu odhadněte obsah mnohoúhelníku na obrázku a odhad si zapište. Potom obsah po částech vypočítejte.
  4. Zkontrolujte svou hodnotu s výsledkem - posuňte lištu obrázku směrem doprava.
  5. Pohybujte ve čtvercové síti libovolně vrcholy a vymodelujte jiný mnohoúhelník. Vypočítejte jeho obsah a hodnotu si zkontrolujte.

Obsah libovolného mnohoúhelníku vypočítáme tak, že ________________________________________________.


Comments