ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC

HÌNH HỌC XẠ ẢNH

(4 đvht = 60 tiết).

(Dành cho năm học 2007-2008)

 


 

 

ĐỀ CƯƠNG MÔN HÌNH HỌC XẠ ẢNH  (4 đvht = 60 tiết).

 

Mô tả môn học

Có ba môn hình học được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán trường ĐHSP: Hình học affine và hình học Euclid; Hình học xạ ảnh và hình học vi phân. Đây là môn hình học thứ hai. Môn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh, các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh. Hình học xạ ảnh nghèo nàn về đối tượng nghiên cứu (các tính chất liên quan đến số đo sẽ không được xét đến, tính song song giữa các phẳng cũng không có) nhưng tổng quát hơn các hình học khác. Hãy nghe các nhà toán học phát biểu về hình học xạ ảnh

“Metrical geometry is a part of descriptive (projective) geometry, and descriptive (projective) geometry is all geometry”

.Cái còn lại chủ yếu trong hình học xạ ảnh là quan hệ liên thuộc. Theo một nghĩa nhất định, có thể nói hình học Euclid là hình học của thước kẻ và compass còn hình học xạ ảnh là hình học của chỉ thước kẻ.

Thế mạnh của môn học là giúp SV giải quyết các bài toán về tính đồng qui và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát. Các định lý liên quan đến các đường conic sẽ rất thú vị cho SV khi nhìn lại các bài tập tương tự ở PTTH. Môn học còn giúp SV có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối ngẫu, mô hình xạ ảnh của không gian affine....

Phương pháp nghiên cứu vẫn là phương pháp tọa độ. Phần mềm Geometer’s Sketchpad sẽ rất có ích khi dùng để giải các bài toán xạ ảnh phẳng.

Mục tiêu môn học:

Giúp SV có cái nhìn tổng quát các bài toán hình học phẳng liên quan đến tính đồng qui, thẳng hàng. Các định lý liên quan đến các đường conic sẽ giúp SV nhìn lại các bài tập ở PTTH một cách thống nhất. Qua môn học này tư duy trừu tượng của SV sẽ được nâng cao. Điều này sẽ giúp cho SV sau này sẽ có thể giảng dạy bộ môn hình học ở PTTH một cách chủ động và có nhiều sáng tạo.

Phương pháp đánh giá môn học

Kiểm tra giữa học kỳ một lần. Điểm kiểm tra là một trong các tiêu chuẩn để xét cho SV làm niên luận hoặc dự thi hết học phần. Một số SV khá và giỏi sẽ cho làm niên luận. Cuối môn học sẽ tổ chức thi hết học phần.

HÌNH HỌC XẠ ẢNH

 

Chương 1. Không gian xạ ảnh (12 LT+5 BT)

1.     Lịch sử.

2.     Không gian xạ ảnh. Phẳng.

Định nghĩa không gian xạ ảnh và phẳng. Các ví dụ: mô hình vector, mô hình bó, mô hình affine...

3.     Mục tiêu xạ ảnh. Toạ độ xạ ảnh.

Định nghĩa mục tiêu xạ ảnh, tọa độ xạ ảnh. Các tính chất và ví dụ. Đổi tọa độ và ví dụ.

Phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng. Tổng và giao các phẳng. Định lý về số chiều của phẳng tổng. Vị trí tương đối của hai cái phẳng.

Tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng và của chùm 4 siêu phẳng. Các tính chất. Hình 4 cạnh toàn phần.

4.     Nguyên tắc đối ngẫu.

5.      Bài tập.

 

Chương 2.  Ánh xạ xạ ảnh. Phép biến đổi xạ ảnh.  (8LT+4BT+1KT)

1.     Ánh xạ xạ ảnh.

Định nghĩa ánh xạ xạ ảnh. Các tính chất.

2.     Phép biến đổi xạ ảnh.

Định nghĩa. Phương trình của phép biến đổi xạ ảnh. Định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh.

Các phép thấu xạ và phép chiếu xuyên tâm.

3.     Hình học của một nhóm các phép biến đổi của không gian. Hình học xạ ảnh.

4.     Sơ lược về phức hóa một không gian xạ ảnh thực (phần đọc thêm).

5.     Bài tập.

 

Chương 3. Siêu mặt bậc hai (8 LT+4 BT)

1.     Siêu mặt bậc hai.

Định nghĩa và ví dụ. Giao của siêu mặt bậc hai với một m-phẳng. Phương trình dạng chuẩn tắc. Phân loại xạ ảnh các siêu mặt bậc hai. Phân loại các đường bậc hai trong P2 và tên gọi. Phân loại các mặt  bậc hai trong P3 và tên gọi.

2.     Cực và đối cực

Hai điểm liên hợp. Cực điểm và siêu phẳng đối cực. Điểm kỳ dị. Siêu phẳng tiếp xúc.

Siêu mặt lớp hai và định lý Mac-Laurin.

1.     Bài tập.

 

Chương 4. Hình học xạ ảnh trong P2 (7 LT+3 BT)

2.     Định lý Desargues. Định lý Pappus.

3.     Conic và đường bậc hai.

Phương pháp tìm tiếp tuyến của đường bậc hai. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và các chùm đường thẳng. Áp dụng phép chiếu xuyên tâm chứng minh định lý Pappus.

Định lý Steiner. Định lý Pascal. Định lý Brianchon.

4.     Các phép biến đổi đối hợp của conic và đường thẳng.

5.     Bài tập.

 

Chương 5. Hình học của những nhóm con của nhóm xạ ảnh (6 LT+2 BT).

1.     Hình học affine

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Các thể hiện trên mô hình của mục tiêu, hai phẳng song song, tỉ số kép v.v...

Ứng dụng mô hình vào giải toán sơ cấp. Chuyển bài toán affine thành bài toán xạ ảnh tương ứng và ngược lại. Các ví dụ.

2.     Hình học Euclid

Cái tuyệt đối của không gian Euclid. Các thể hiện trên mô hình của sự vuông góc, siêu cầu tổng quát, phương chính của siêu mặt bậc hai, tiêu điểm của conic v.v...

3.     Sơ lược về hình học giả Euclid, hình học Lobachevsky (hình học hyperbolic), hình học Riemann nghĩa hẹp (hình học eliptic) (phần đọc thêm).

4.     Bài tập

 

Tài liệu tham khảo

1.     Hình học xạ ảnh, Văn Như Cương, NXB GD, 1999.

2.     Giáo trình hình học xạ ảnh, Võ Xuân Ninh, NXB GD, 1997.

3.     Hình học cao cấp, Nguyễn Mộng Hy, NXB GD, 2000.

4.     Bài tập Hình học cao cấp, Nguyễn Mộng Hy, NXB GD, 2000.

5.     Bài giảng hình học xạ ảnh, Đoàn Thế Hiếu 2006. (Tài liệu nội bộ)

6.     Bài tập hình học xạ ảnh, Đoàn Thế Hiếu 2006. (Tài liệu nội bộ)

7. Michèle Audin, Geometry, Springer, 2002.

 

 

Cách tính điểm cho môn học:

1.     Chuyên cần: 1 điểm

2.     Đóng góp cho bài giảng, chữa bài tập+ kiểm tra: 2 điểm

3.     Thi kết thúc học phần (120 phút): 7 điểm

4.     Những sinh viên được phép làm niên luận phải đảm bảo đạt ít nhất 2,5 điểm ở mục 1 và 2.