De cuong Hinh affine

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC

HÌNH HỌC AFFINE VÀ HÌNH HỌC EUCLID

(5 đvht = 75 tiết).

(Dành cho năm học 2007-2008)

 

Mô tả môn học

Có ba môn hình học được giảng dạy trong chương trình của ngành Toán của ĐHSP: Hình học affine và hình học Euclid; Hình học xạ ảnh và hình học vi phân. Đây là môn hình học đầu tiên. Môn học là sự tổng quát hóa những điều mà SV đã biết khi đang là học sinh PTTH. Không gian được xét là nhiều chiều, được xây dựng bằng một hệ tiên đề chỉ với hai đối tượng cơ bản là điểm và vector. Do đó để học tốt môn này cần nắm vững các kiến thức về Đại số tuyến tính. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp tọa độ. Nhiều kết quả đã biết ở PTTH nay sẽ được phát biểu lại ở dạng tổng quát.  

Mục tiêu môn học:

Giúp SV có cái nhìn tổng quát về hình học giải tích đã được học ở PTTH ở một tầm cao hơn và có phương pháp tổng quát hơn. Qua môn học này tư duy trừu tượng của SV sẽ được nâng cao. Điều này sẽ giúp cho SV sau này sẽ có thể giảng dạy bộ môn hình học ở PTTH một cách chủ động và có nhiều sáng tạo.

Phương pháp đánh giá môn học

Kiểm tra giữa học kỳ một lần. Điểm kiểm tra là một trong các tiêu chuẩn để xét cho SV làm niên luận hoặc dự thi hết học phần. Một số SV khá và giỏi sẽ cho làm niên luận. Cuối môn học sẽ tổ chức thi hết học phần.

 

PHẦN 1: HÌNH HỌC AFFINE (37 tiết)

 

Chương I: Không gian affine và phẳng. (19LT+4TH=13tiết)

1.      Không gian  affine.

Định nghĩa và ví dụ

2.      Phẳng

Định nghĩa và ví dụ. Vị trí tương đối. Tổng và giao của các phẳng. Định lý về số chiều của phẳng tổng.

3.      Mục tiêu và tọa độ affine.

Định nghĩa mục tiêu và tọa độ affine. Đổi mục tiêu affine. Phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng.

4.      Tâm tỉ cự. Tập lồi

Định nghĩa tâm tỉ cự. Các tính chất và ví dụ. Tập lồi trong không gian affine thực. Đơn hình và hình hộp.

5.      Bài tập.

 

Chương II. Ánh xạ affine. Phép biến đổi affine.  (8T+4TH=12tiết)

1.      Ánh xạ affine.

Định nghĩa và một số tính chất cơ bản. Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu.

Biểu thức tọa độ của ánh xạ affine. Định lý về sự xác định ánh xạ affine. Định lý cơ bản của ánh xạ affine.

2.      Phép biến đổi affine.

Biểu thức tọa độ. Nhóm các phép  biến đổi affine. Các phép biến đổi affine đặc biệt: phép tịnh tiến, phép vị tự...

3.      Sơ lược về hình học theo quan điểm Klein.

Hình học của một nhóm các phép biến đổi của không gian. Tính chất và khái niệm affine. Hình học affine.

4.      Bài tập

 

Chương III. Siêu mặt bậc hai. (8LT+3BT+1KT=12 tiết)

5.      Siêu mặt bậc hai.

Định nghĩa và ví dụ. Siêu mặt bậc hai là khái niệm affine. Tâm, phương tiệm cận và đường tiệm cận. Siêu phẳng kính liên hợp với một phương. Tiếp tuyến và siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai..

6.      Phân loại affine các siêu mặt bậc hai.

Phương trình dạng chuẩn tắc. Phương pháp Lagrange xác định phương trình dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai. Phân loại affine các siêu mặt bậc hai. Phân loại affine các đường  bậc hai trong A2. Phân loại affine các mặt bậc hai trong A3.

7.      Sơ lược về phức hóa không gian affine thực. (Đọc thêm)

8.      Bài tập

9.      Kiểm tra giữa học kỳ.

 

 

PHẦN 2. HÌNH HỌC EUCLID (38 tiết).

 

Chương I. Không gian Euclid. (7LT+3TH=10tiết)

1.      Không gian Euclid.

Định nghĩa không gian Euclid và ví dụ

2.      Mục tiêu trực chuẩn. Tọa độ trực chuẩn

Định nghĩa và ví dụ. Sự trực giao trong không gian Euclid. Khoảng cách giữa các phẳng. Đường vuông góc chung. Các công thức tính khoảng cách. Góc trong En. Thể tích trong En.

3.      Bài tập

 

Chương II. Ánh xạ đẳng cự. Phép biến đổi đẳng cự. (8LT+3TH=11tiết)

1.      Ánh xạ đẳng cự.

Định nghĩa và các tính chất cơ bản. Các ví dụ.

2.      Phép biến đổi đẳng cự (phép dời).

Định nghĩa. Phép dời loại 1 (phép dời thuận), phép dời loại 2 (phép dời nghịch). Dạng chính tắc của phép dời. Các ví dụ: phép đối xứng qua một m-phẳng, phép quay quanh một (n-2)-phẳng.Phân loại phép dời trong trong E2 và E3.

3.      Phép đồng dạng và các tính chất.

4.      Sơ lược về hình học Euclid và hình học đồng dạng.

5.      Bài tập

 

Chương III. Siêu mặt bậc hai Euclid (11LT+5BT+1Ôn tập=17tiết)

1.      Siêu mặt bậc 2.  

2.      Phương chính và siêu phẳng kính chính.

3.      Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai.

Phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai và tên gọi. Phân loại Euclid các siêu mặt bậc hai. Phân loại Euclid các đường bậc hai trong E2. Phân loại Euclid các mặt bậc hai trong E3.

4.      Siêu cầu.

Định nghĩa. Miền trong và miền ngoài. Phương tích và siêu phẳng đẳng phương. Góc giữa hai siêu cầu.

5.      Phép giải các bài tập affine trong không gian Euclid.

6.      Nghiên cứu đường và mặt bậc hai nhờ các bất biến.

Các bất biến và bán bất biến của các hàm đa thức. Các bất biến và bán bất biến của đường và mặt bậc hai. Phân loại đường bậc hai nhờ bất biến. Phân loại đường và mặt bậc hai nhờ bất biến.

7.      Bài tập

8.      Ôn tập

 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 

         1.      Michèle Audin, Geometry, Springer, 2002.

         2.      Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính & Văn Như Cương, Đại số tuyến tính và hình học, tập 2, NXB Giáo dục, 1989.

         3.      Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính & Văn Như Cương, Đại số tuyến tính và hình học, tập 3, NXB Giáo dục, 1989.

         4.      Trần Đạo Dõng & Đoàn Thế Hiếu, Hình học affine và Euclid, Đại học Huế, 1997.

         5.      Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001.

         6.      Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2001.

         7.      Văn Như Cương, Hình học afin và Hình học Ơclít, ĐHQG Hà nội, 1998.

         8.      Đoàn Thế Hiếu, Bài giảng hình học affine và hình học Euclid, 2006. (tài liệu nội bộ)

         9.      Đoàn Thế Hiếu-Nguyễn Văn Hạnh, Bài tập hình học affine và hình học Euclid, 2006. (tài liệu nội bộ).
Comments