Αξιοποίηση του θεωρήματος Bolzano
στη προσέγγιση ριζών μιας εξίσωσης με τη δημιουργία αλγόριθμου


ΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 
ΜΑΘΗΜΑΤΑ: 
Μαθηματικά τεχνολογικής κατεύθυνσης (Μαλακόζης Νίκος) 

Θέματα:
Προγραμματισμός

Περιγραφή:

Στο μάθημα αυτό γίνεται η παρουσίαση γνωστού θεωρήματος της ανάλυσης, με σκοπό τη πλήρη κατανόηση τόσο των προϋποθέσεων όσο και των συμπερασμάτων της πρότασης, και στόχο οι μαθητές να είναι ικανοί να αντιμετωπίζουν προβλήματα ύπαρξης ριζών, εύρεσης προσήμου, καθώς και συνόλου τιμών ή πλήθους ριζών μιας συνάρτησης, συνδυάζοντας το με άλλες προτάσεις.

Η διαπραγμάτευση του θέματος γίνεται κυρίως με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων. Οι μαθητές συνεργαζόμενοι συζητούν και σχολιάζουν τις παρατηρήσεις τους.. Καθοδηγούμενοι ανακαλύπτουν τα συμπεράσματα αλλά κυρίως αντιλαμβάνονται την αναγκαιότητα των προϋποθέσεων της πρότασης, ώστε να είναι σε θέση να διατυπώσουν με λιτότητα και σαφήνεια το θεώρημα.

Τέλος δίνεται ως προβληματισμός, πως θα μπορούσαν οι μαθητές στα πλαίσια του μαθήματος «Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον», να αξιοποιήσουν το θεώρημα επινοώντας και  υλοποιώντας κατάλληλο αλγόριθμο, που θα τους δίνει την δυνατότητα να υπολογίζουν τις ρίζες μιας εξίσωσης με δεδομένη προσέγγιση.

Διαδικασία:

Στα πλαίσια της διδασκαλίας των Μαθηματικών δίνεται στους μαθητές η συνάρτηση f(x)=-xex+2ex-1. Αποδεικνύεται ότι η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1, 2].

Κατόπιν, στα πλαίσια του μαθήματος ‘Ανάπτυξη εφαρμογών σε προγραμματιστικό περιβάλλον’, στο οποίο διδάσκεται στους μαθητές η αλγοριθμική λογική και η δημιουργία προγραμμάτων, υλοποιείται αλγόριθμος που υπολογίζει τη ρίζα με δεδομένη προσέγγιση.

Η δημιουργία  ενός αλγορίθμου προϋποθέτει την πλήρη κατανόηση του προβλήματος που καλούνται να επιλύσουν. Η ανάγκη για την σωστή ερμηνεία  και αποκωδικοποίηση του  θεωρήματος Bolzano και η αλληλοβοήθεια των μαθητών για την υλοποίηση του αλγόριθμου, βοηθάει όχι μόνο στην εμπέδωση του θεωρήματος, αλλά και στην καλύτερη συνεργασία  μεταξύ των μαθητών.

Στην παρακάτω εικόνα, φαίνεται το διάγραμμα ροής του αλγόριθμου:



Εργαλεία:


Διαδικτυακοί τόποι: