4.3 Método de Simpson 1 /3

La estrategia que utiliza este método es sencilla; si la función es muy difícil de integrar o de plano imposible, se puede ajustar un polinomio de La Grange, Pn(x), a la función f(x) e integrarse dicho polinomio en ves de la función. Así, se tendría una aproximación a la integral definida;

.

 

Aquí, n, reprenda al grado del polinomio.

 

El método de Simpson 1 / 3 utiliza un polinomio de cuadrado (2° grado, n = 2), con lo cual;

 

.

 

La integral del lado derecho es sencilla ya que solo x es una variable. La siguiente figura presenta la estrategia,

 

 

se puede ver que con los tres puntos, (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) y (x2, f(x2))  se forman dos segmentos.

 

Se ajusta un polinomio de 2° grado para los puntos;

 

xi

f(xi)

x0

f(x0)

x1

f(x1)

x2

f(x2)

 

La integral resultante es,

 

.

Donde h=   

 

.

 

La fórmula de Simpson 1 / 3 se puede rescribir en la forma,

 

.

Donde h= , y

 

 

Para investigar que tan buena es la precisión de esta fórmula se utilizará para resolver el problema anterior.

 

Los datos necesarios son:

 

 

f(a) = f(0) = 0,

f(b) = f(10) = 44.87313757,  y

f(x1) = f(5) = 32.06576523.

 

Sustituyendo los datos en la fórmula de Simpson 1 / 3, se tiene;

 

Se puede observar que el resultado es cercano al analítico.

Es posible mejorar la aproximación siguiendo un razonamiento similar al del método del trapecio. Así, si el intervalo de integración se divide en 4 segmentos (que son los necesarios para definir dos parábolas) se tendrá una mejor aproximación, ver figura,

 

integrando los dos polinomios se tiene,

 

,

 

que al agrupar términos resulta,

 

,

donde

 

 

Nuevamente al igual que el método del trapecio, se va dejando ver la regularidad que existe al ir aumentando el número de segmentos, que debe ser par ya que con dos segmentos se forma una parábola. Así, para un número n de segmentos la fórmula de Simpson 1 / 3 es,

 

.

 

Sustituyendo x0 = a  y  x1 = b la fórmula se rescribe como,

 

,

 

Donde

 


 

El pseudocódigo es el siguiente,

 


  desde i = 1 hasta n – 1 hacer

    x = a + i h

 

    si  (i mod 2) = 0

    entonces

      sp = sp + f(x)

    de lo contrario

      sim = si + f(x)

 

  ( fa + 2 sp + 4 sim + fb)

  escribir(I)

 

fin

 

Para ejemplificar este método se utiliza el problema anterior, con 20 segmentos (n = 20), por lo que;

 

 

La siguiente tabla servirá para hacer las dos sumatorias,

 

i

ti

v(ti)

i

ti

v(ti)

1

0.5

4.68187064

11

5.5

33.935749

 2

1

8.95318221

12

6

35.6417516

3

1.5

12.8499372

13

6.5

37.1981526

4

2

16.4049808

14

7

38.618071

5

2.5

19.6482783

15

7.5

39.9134749

6

3

22.6071669

16

8

41.0952832

7

3.5

25.3065869

17

8.5

42.1734573

8

4

27.7692915

18

9

43.157085

9

4.5

30.0160384

19

9.5

44.0544571

10

5

32.0657652

 

 

 


Sumando los valores para las i’s pares, = 266.312577.

Sumando los valores para las i’s impares, = 289.778002.

Sustituyendo en la fórmula de Simpson 1 / 3 de segmentos múltiples se tiene, que la distancia recorrida por el paracaidista es de 289.4350499 metros. El resultado analítico es 289.4351465 metros y difiere en 0.0000966, por lo que se puede concluir que el método de Simpson 1 / 3 de segmentos múltiples es mejor que el método trapezoidal.

Subpáginas (1): 4.4 SIMPSON 3/8
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