1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento.

Tipos de Errores Inherentes a los Métodos Numéricos

Error

El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va :

e = Vr - Va

Error relativo

El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr (sí Descripción: sva2ma37):

Descripción: sva2ma38

Error porcentual

El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%).

Descripción: sva2ma39

También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

 

Errores inherentes

Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional comoDescripción: sva2ma30 ó Descripción: sva2ma32.

 

Errores de truncamiento

Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

Descripción: sva2ma34

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

 

Errores de redondeo

Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de Descripción: sva2ma36, tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de calculo.

Existen dos tipos de errores de redondeo:

  • Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.
  • Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:

- par números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

- para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

 

Error numérico total

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Errores de equivocación

Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres.

Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema.

Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

Cifras Significativas

El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Por ejemplo podemos calcular un número irracional con varias cifras, pero de ellas no todas, sobre todo las últimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas. Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo los siguientes números tienen todos 4 cifras significativas: 0.00001985, 0.0001985, 0.001985, 1985, 19.85.1 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa, es común emplear la notación científica.

Precisión y exactitud

Los errores asociados con los cálculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La mayoría de la gente piensa que estos términos son sinónimos, pero no es así. La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. La exactitud se refiere al grado de aproximación que se tiene de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa, es decir, que tan cerca estamos del valor buscado.

Tipos de redondeo

Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere debemos de redondear. Para redondear se emplea usualmente:

Redondeo truncado

Redondeo simétrico.

 

Redondeo truncado

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos Descripción: sva2ma3g a 4 cifras significativas tenemos 0.7777.

 

Redondeo simétrico

El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Por ejemplo sí redondeamos Descripción: sva2ma3h a 4 cifras significativas tenemos 0.7778.

Por ejemplo: Descripción: sva2ma3i. En la práctica puede no ser así. Sí Realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo. Se obtiene:

0.3333+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado)

0.3333+0.6667=1.000 (Redondeo simétrico)

Puede demostrarse que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más

Tipos de Errores Inherentes a la Computadora

El objetivo de cualquier estudio de errores es tratar de conocer el efecto que, sobre el resultado final de un problema numérico, produce cada uno de los diferentes tipos de errores que pueden tener lugar.

Podemos distinguir cinco tipos básicos de errores:

·         Los de datos

·         Los de cálculos intermedios

·         De redondeo

·         Por equivocación

·         De formulación

El error total sobre el resultado final será la suma de las contribuciones de los tres tipos de dichos errores.

PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES DE LOS DATOS

Para los problemas numéricos de hacer operaciones aritméticas (+,-, ·, /) con dos datos x1 y  x2  afectadas de error, tenemos los siguientes hitos del error propagado:

Єa (x1 + x2 ) = Єa  ( x1 ) + Єa   ( x2 ) ,

Єa (x1 - x2 ) = Єa  ( x1 ) + Єa   ( x2 ) ;

y los siguientes hitos  aproximados de x1 y  x2  son pequeños:

Єr (x1 x2 ) ≈ Єr  ( x1 ) + Єr  ( x2 ),

Єr (x1/  x2 ) ≈ Єr  ( x1 ) + Єr  ( x2 ).

Para un problema numérico consistente  a calcular el resultado y = f(x) a partir de solo un dato x, obtenemos la siguiente formula aproximada de propagación del error.

ea  (y) ≈ f ′ (x)· ea  (x),

Como consecuencia directa del teorema del valor medio, para las funciones f de una variable, derivables con continuidad. De aquí se deduce un hito aproximado para el error absoluto de y, en función de un hito del error absoluto de x, dando lugar a la formula aproximada de propagación del error máxima.

Єa (y) ≈ | f ′ (x) Єa(x)

Finalmente, para el problema numérico más general que consiste en calcular un resultado y = f (x1 , …, xn ) a partir de unos datos x1 , …, xn , disponemos de la formula aproximada de propagación del error

ea  (y) ( x1 , …, xn ) ea  (xi) ;

de donde, conocidos los hitos de ea  (xi) , podemos hitar ea  (y) , obteniendo así la fórmula aproximada de propagación del error máxima

ЄaЄa(xi) ;

especialmente adecuada cuando n, el número de datos afectados por el error, no es grande.

PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES EN LOS CÁLCULOS

La propagación de los errores en los cálculos se estudia en dos fases:

1.      Análisis de los errores hacia detrás

2.      Propagación de los errores imputados a los datos

Definición de las fases expuestas anteriormente:

Análisis de los errores  hacia detrás

 

Partiendo de datos iniciales exactos, por culpa de la acumulación de los errores en las operaciones, obtenemos un resultado afectado por el error. La idea básica de este análisis consiste en estudiar la modificaciones que tendríamos que hacer sobre los datos de entrada, de forma que, suponiendo que no hubiesen errores en la operaciones, se obtuviera el mismo error en el resultado.

Este estudio se basa en la utilización sucesiva de la fórmula

fl(a*b)= (a*b)·(1+δ*) ,

con | δ*|≤ Є* , a cada una de la operaciones aritméticas * = (+, -, · , / ) que componen el proceso de cálculo, donde la Є* indica un hito conocido del error relativo en la operación * ; además, para todas la funciones g que intervienen en los cálculos, se escriben

fl(g(x)) = g(x)·(1+δg),

con | δg|≤ Єg , donde Єg indica un hito conocido del error relativo en la evaluación de g.

A continuación, se escribe una expresión del resultado final que permite imputar los errores de los cálculos a los datos. Con dicho procedimiento se reduce el análisis de los errores en los cálculos a un análisis de propagación de los errores en los datos sin errores en los cálculos.

Propagación de los errores imputados a los datos

 

Una vez hecha la reducción anterior, se aplica la fórmula de propagación del error máxima a los hitos de los errores imputados a los datos, considerando que los datos ya se hacen sin errores.

ERRORES DE REDONDEO

 

Los errores de redondeo se originan debido a que le computadora puede guardar un número fijo de cifras significativas durante el cálculo. Los números tales como ∏, e o √7 no pueden ser expresados por un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora; además, porque las computadoras usan una representación en base dos, y no pueden representar ciertamente números exactos en base diez. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas es llamada error de redondeo.

ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

 

Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Se pueden evitar únicamente con un sólido conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado del método y diseño de la solución del problema.

ERRORES DE FORMULACIÓN

 

Los errores de formulación o errores de modelamiento pueden ser atribuidos a lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no toma en cuenta los efectos relativísticos.

BIBLIOGRAFIA:

Aubanell,A

Útiles básicos del cálculo numérico

Editorial labor, Barcelona

 

Chapra,Steven C., Canale, Raymond P.

Métodos numéricos para ingenieros

Editorial Mc Graw Hill

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