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Construction du nombre


Introduction

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Pour dénombrer les croix, on récite la suite numérique jusqu'à 5 en désignant successivement chacune des croix.

Pour éviter tout malentendu (les termes n'étant pas les mêmes pour tout le monde), j'appelle dénombrement la détermination d'une quantité et comptage la récitation de la comptine numérique.

En effectuant ce dénombrement le mot cinq est prononcé en désignant uniquement la dernière croix (la cinquième) alors qu'il caractérise le nombre de croix de la collection toute entière. Le nombre possède ce double aspect:
- l'aspect ordinal: numérotation, récitation de la file numérique.
- l'aspect cardinal: nombre de..., quantité.

Ce double aspect est une difficulté pour la construction du nombre, les enfants ne distinguent pas cette nuance,  comment leurs faire comprendre en désignant un seul objet  qu'on donne  une valeur de la quantité  totale!!!

On retient trois fonctions du nombre que les élèves peuvent reconnaître et utiliser pour construire du sens:

- le nombre comme mémoire, soit comme «mémoire de la quantité » qui permet d'évoquer une quantité sans que celle-ci soit présente (et qui correspond à l'aspect cardinal), soit comme « mémoire de la position, du rang » qui permet d'évoquer la place dans une liste rangée (et qui correspond à l'aspect ordinal).
 

- le nombre pour comparer, on veut savoir si on en a «  plus que… , moins que…, ou autant que…» .

 

- le nombre pour anticiper des actions de situations où les élèves sont amenés à résoudre de véritables problèmes.


 

Le nombre comme mémoire de la quantité


Cette fonction se découpe en 4 items : Reconnaissance de collections témoins et subitizing / Connaissance de la comptine numérique / Dénombrement / Désignation chiffrée des nombres.


En Petite Section

- Reconnaissance globale et directe des quantités 1; 2 et 3.

Le principal travail sur les nombres consiste à utiliser le nombre comme mémoire de la quantité, et pour que le nombre caractérise la totalité de la collection il est obligatoire de commencer par la reconnaissance globale et directe (subitizing) des petites quantités 1; 2; 3 et l'utilisation d'une collection témoin stable des trois doigts de la mains dans leur configuration usuelle (ce qui veut dire que pendant quasiment toute l'année de PS les enfants ne dénombrent pas, il reconnaissent).

Pour parvenir à cette reconnaissance, on ne demande jamais aux enfants combien il y a d'objets sur la table mais d'aller chercher  un nombre des objets.



Il est en effet essentiel de privilégier l'aspect cardinal du nombre avec cette question va chercher...
Cette question peut être posée en montrant les doigts de la main dans leurs configurations usuelles.


- Comptine.

On commence en PS évidemment par des comptine à jeux de doigts pour associer les configurations usuelles des doigts pour 1 / 2 / 3 avec les mots-nombre.
La récitation de la file numérique ne commencera qu'en fin d'année.



- Dénombrement.

Pour dénombrer il faut respecter les principes suivants :

- d’adéquation unique : correspondance un à un entre les mots de la comptine et les objets (pas d’objet oubliés ou compter plusieurs fois).

- d’ordre quelconque : l’ordre dans lequel s’effectue le dénombrement est sans importance.

- du dernier mot énoncé : le dernier mot sur lequel on s’arrête caractérise la collection.

Admettre que la quantité est indépendante de la quantité.


On commence à dénombrer en fin de PS uniquement avec des quantité supérieure ou égale à 4 (en deçà les quantités sont directement reconnues), cependant préalablement on a mis en place des activités permettant de mettre en place l'énumération ( parcourir une collection en pointant une fois et une seule les objets).

Avec l'extension de la file numérique, la mise en place de l'aspect cardinal (totalité) du nombre, la mise en place de l'énumération, la question Combien? peut maintenant être posée.


En Moyenne Section

- Reconnaissance globale et directe des quantités.

Ce subitizing est à étendre sur les 5 doigts d'une main et aux configurations pointées d'un dé.


- Comptine.


La file numérique grandit et la comptine est répétée de façon systématique à travers notamment les rituels.


Quelques compétences à travailler:
- réciter la file à partir de 1; l'enfant s'arrête quand il ne connaît plus la suite ou quand il boucle...
- réciter la file à partir de 1 et s'arrêter à un nombre donné.
- réciter la file en intercalant des mots; par exemple: un arbre, deux arbre, trois arbres...ceci dans le but d'isoler les mots nombre les uns des autres (ils sont récités à la suite les uns des autres sans indépendance).


- Dénombrement.

Il y a structuration de la compétence de dénombrement (principe de Gelman) et de la réponse à la question Combien?


- Désignation chiffrée des nombres.

On garde une trace de cette suite de nombre en fabriquant une file numérique pour qui va servir de dictionnaire et qui va s'agrandir au fur et à mesure des besoins ou des connaissances.

On suivra la file pour nommer un nombre dont on connait l'écriture chiffrée (lecture de la date) ou inversement pour écrire un nombre dont on connait le mot-nombre (récitation de la comptine pour un dénombrement).



En Grande Section

- Reconnaissance globale et directe des quantités.

Le subitizing se fait sur les 10 doigts des deux mains.


- Comptine.


La file numérique grandit et la comptine est répétée de façon systématique à travers notamment les rituels.


Quelques compétences à travailler:
- réciter la file à partir d'un nombre différent de 1.
- réciter la file à partir d'un nombre différent de 1 et s'arrêter à un nombre donné.
- nommer le nombre qui vient avant ou après un nombre donné.

- réciter la file de 2 en 2; 10 en 10.


- Dénombrement.

Il y a mise en place des procédures de surcomptage et décomptage.


- Désignation chiffrée des nombres.

La reconnaissance chiffrée des nombres et leurs écritures est structurées.



Le nombre pour comparer

En Moyenne Section
Le plan du travail sur les comparaison est le suivant:

- Plus que / moins que : de la procédure non numérique à la procédure numérique.

* Mise en place d'une relation d'ordre sur les tailles, utilisation des expressions : "plus ... " et "moins ...".

* Situation de comparaison de quantité très différentes où l'estimation suffit à donner la solution afin de mettre en place les expressions "plus que..." et "moins que..."

* Situation d'appariement (fabrication de paires) dans un but de comparaison, cette situation d'appariement permet de donner du sens à la future correspondance terme à terme qui n'est pas une procédure que les enfants peuvent imaginer ( attention l'appariement ici n'est pas fait pour travailler la comparaison du pareil / pas pareil mais la comparaison plus que / moins que). Le lien entre la correspondance terme à terme et les situations d'appariements est indispensable pour donner du sens au fait d'aligner face à face des objets dans le but de savoir quelle est la collection la plus grande.

La situation d'appariement la plus simple et naturelle est d'associer des bouteilles en plastiques et leurs bouchons.
En se demandant si il y a assez de bouchons pour boucher toutes les bouteilles (il en faut suffisamment pour dépasser la limite de la connaissance de la bande numérique des enfants), dans un premier temps les bouteilles seront bouchées puis dans un second temps, pour gagner du temps, les bouchons seront posés à côté des bouteilles.

* Construction de la procédure de correspondance terme à terme (procédure non-numérique) sur des quantités proches (estimation impossible) et importantes (pour que les enfants ne soient pas tentés d'utiliser le nombre).


La référence à la situation des bouteilles permettra de justifier ce procédé de comparaison.

* Construction de la procédure numérique sur des quantités proches mais moins importantes que précédemment (le comptage doit être possible) et avec des objets non déplaçables (correspondance terme à terme impossible).


La validation de la procédure numérique se fait par des aller-retour avec la correspondance terme à terme jusqu'à que la relation d'ordre sur les nombres soit en place.


- Autant que : uniquement la procédure numérique.

On a justifié l'utilisation du nombre comme outil de comparaison précédemment dans les situation "plus que / moins que"; il est donc inutile d'utiliser la correspondance terme à terme dans les situation "autant que". Le nombre devient un outil pour résoudre des problèmes.


Le nombre pour anticiper

En Grande Section
Avec la comparaison, le nombre est devenu un outil pour résoudre des problèmes...et donc pour anticiper.
Les situations évoquées ici sont des situations d'augmentation, de diminution, de partage.

Ces problèmes sont souvent posés de la même façon:
- une situation (un problème / un but du jeu / un but à atteindre) est proposée aux enfants. Dans un premier temps toutes les manipulations sont autorisées et l'action suffit à atteindre le but. Cette 1° phase permet de comprendre le but mais aussi de donner du sens au raisonnement tenu sur les nombres par la suite.

- Dans une 2° phase des contraintes sont mises en place empêchant une résolution par la manipulation, les enfants doivent utiliser le nombre pour trouver la solution, la manipulation servira de validation à cette utilisation. 




Conclusion

Pour résumer l'ensemble voici une liste d'activités permettant la construction du nombre:


1°) Activités pour apprendre à reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités.

PS : 1/2/3 avec les doigts       MS : doigts d’une main / dé              GS : doigts de deux mains.

 

2°) Activités pour apprendre à connaître la suite des mots-nombres.

PS : comptines            MS : s’arrêter à un nombre convenu             GS : commencer à un autre nombre que 1…

 

3°) Activités pour apprendre à dénombrer une collection.

PS : énumération / va chercher n objets         MS : combien ?          GS : surcomptage / décomptage.

 

4°) Activités pour apprendre à reconnaître les écritures chiffrées.

 

5°) Activités pour apprendre à comparer deux collections (en les mettant en correspondance puis en utilisant les nombres): plus que / moins que.

MS : estimation / appariement / correspondance terme à terme / utilisation du nombre.

 

6°) Activités où il s’agit de reconnaître une quantité donnée puis de construire une collection ayant le même nombre d’éléments.

MS :  procédures numériques, le nombre devient un outil efficace.

 

7°) Activités pour se rendre compte que les nombres peuvent servir à anticiper un résultat (situations additives, soustractives, partage...).

GS : résolution de problèmes, manipulation puis anticipation et vérification par la manipulation.




En Classe

1°) Activités pour apprendre à reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités.

C’est une reconnaissance du nombre indépendante de la comptine, il faut mettre les enfants dans des situations où la réponse doit être donnée rapidement. La reconnaissance perception globale (subitizing) ; fonctionne vite pour 1 et 2, s’étend ensuite sans dépasser 4 ou 5 pour des quantités non organisées.


Exemples

- livres à compter avec réponse spontanée

- loto / jeu du béret en montrant les cartes avec des points ou des doigts de façon brève.

- jeu de jungle speed adapté (un bouchon de champagne à la place du totem en bois!!).

 

2°) Activités pour apprendre à connaître la suite des mots-nombres.

- La suite muette.

Le maître tape des coups sur son tambourin et récite « dans sa tête » la suite numérique correspondante  quand il s'arrête, un enfant désigné continue la suite tout haut.

 

- Le maître qui se trompe.

Le maître récite la comptine, mais il omet un nombre  dès que les enfants s'aperçoivent de son erreur, ils lèvent la main et l'un d'eux indique le nombre sauté.

 

- Qui va le plus loin ?

Les enfants sont placés debout en cercle (de manière à bien suivre l'ordre d'énonciation) on récite la suite des nombres (ou deux par deux), chacun à son tour ne disant qu'un seul nombre (ou deux); quand on ne sait pas, on s'assied  le dernier à rester debout a gagné.


- La tapette.

Deux enfants se font face et tapent dans leurs mains (main gauche de l'un contre main droite de l'autre). Ils récitent la suite des nombres, chacun ne disant qu'un seul nombre à son tour, lorsqu'il tape avec sa main droite. À la première erreur, ils s'arrêtent et reprennent ensemble la récitation de la comptine, en tapant cette fois leurs deux mains droites puis leurs deux mains gauches (les bras se croisent devant les enfants) l'une contre l'autre  ils continuent jusqu'à ce qu'aucun des deux joueurs ne sache plus réciter la suite numérique.

 

- Passe, passera...

Deux enfants se placent face à face, se tenant les mains et levant les bras tendus pour former un « pont». Ils choisissent un nombre en secret. Les autres se tiennent la main, en file, et passent sous le « pont», en récitant la comptine numérique  lorsqu'ils prononcent le nombre choisi en secret par les deux enfants, ceux-ci baissent leurs bras et emprisonnent l'entant qui était en train de passer et qui devient une des pierres du pont, en se plaçant derrière un des deux enfants et en le tenant par les épaules.

Le jeu continue ainsi, jusqu'à ce qu'une dizaine d'enfants aient été capturés ; les rôles sont ensuite inversés.

 

- Le filet.

C'est encore un jeu de cour. Les enfants sont répartis en deux groupes la moitié forme une ronde qui sera le «filet» les autres enfants sont les « poissons ». Les « poissons » passent et repassent très rapidement à travers les mailles du «filet», pendant que ceux de la ronde chantent une chanson  à un mot convenu de la chanson, le filet est baissé (les enfants de la ronde baissent leurs bras) et tous les poissons qui se trouvent alors à l'intérieur de la ronde sont pris : on compte alors à voix haute le bénéfice de la pêche... Les poissons qui ont été pris font alors partie du filet. Le jeu continue jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un poisson, alors déclaré gagnant.



3°) Activités pour apprendre à dénombrer une collection.


- Utiliser toutes les situations de dénombrement : goûter / atelier / jeux : nombre de joueurs...

Souvent les feutres ou les ciseaux ... sont mis sur les tables par la maîtresse ou l'ATSEM, demandez plutôt aux enfants...

Les distributions (de bonbons aux anniversaires), les constitutions d'équipes... voila autant d'occasions supplémentaires au traditionnels rituels pour proposer aux enfants de dénombrer.

 


4°) Activités pour apprendre à reconnaître les écritures chiffrées.


- Le loto / le jeu du béret avec des cartes pourtant des écritures chiffrées.


- Le tambourin.

Chaque jour un enfant différent est le meneur. Les autres enfants sont assis à leur place et disposent devant eux, comme ils le veulent; des étiquettes-nombres (par exemple de un à dix).

Le meneur choisit un nombre pris dans le domaine correspondant aux cartes nombres de ses camarades, et le dit à l'oreille du maître ; puis il frappe le nombre de coups choisi  il baisse alors son tambourin. À ce signal, les enfants doivent lever l'étiquette correspondant au nombre de coups frappés.

 

- On pourra demander de relier dans l’ordre des points numérotés pour faire apparaître une figure.

 On pourra mettre sur une feuille des chiffres dont certains sont entourés et demander de relier chaque nombre entouré au nombre qui vient juste après lui.

 

- On pourra jouer au jeu de la grenouille (on affiche une file numérique où certaines des cases sont coloriées en gris comme des pierres et les autres en vert comme des nénuphars ; l’enfant interrogé ne doit prononcer que les mots-nombres correspondants aux cases grises ; s’il se trompe, les autres doivent dire « plouf dans l’eau ! ».



5°) Activités pour apprendre à comparer deux collection: plus que / moins que.


- On commence par travailler sur des relations d'ordre plus facile à appréhender comme la taille, le poids pour mettre en place les expressions : "plus ..." et " moins...".

Un travail sur des boîtes gigognes peut mener facilement à la prise de conscience de cette relation d'ordre sur les tailles.

Pour des exemples de ces situations, voici un très bon ouvrage:

Découvrir le monde avec les mathématiques PS et MS.

Dominique Valentin, édition Hatier


- On va ensuite comparer un grand sac de marrons avec un petit sac de marrons, sur lesques on peut dire facilement qu'il y a plus de marrons dans le grand sac que dans le petit sac.


- On va devoir répondre à la question: "Y a-t-il plus de bonchons ou de bouteilles?"

La solution étant simplement donnée par l'action de mettre les bouchons aux bouteilles (appariement). S'il reste des bouchons, c'est qu'il y a plus de bouchons que de bouteilles.


- Comparer un nombre d’enfants (pions) et un nombre de poneys (petits cubes) : Y a-t-il assez de poneys pour que tous les enfants fassent un tour?

Situation 1 : les objets sont nombreux et déplaçables, les enfants posent les pions sur les cubes.

Situation 2 : les objets sont nombreux et déplaçables mais dans un espace restreints : les poneys sont dans l’enclos, les enfants ne peuvent pas y entrer.

Situation 3 : les objets sont peu nombreux, éloignés et non déplaçables.


En jouant sur ces variantes (objets nombreux ou pas / déplaçables ou pas / proches ou pas) ont construit la procédure de correspondance terme à terme puis l'utilisation du nombre. Ces 3 situations ne se suivent évidemment pas, elles doivent être chacune d'elle réinvestie dans d'autres contextes et les procédures explicitées.


- Jeux:

Jeu de dé.

On gagne autant de perles que de points sur le dé, à la fin du jeu, celui qui a le plus de perles a gagné.

 

Jeu de bataille avec des cartes à jouer (jeux complets ou non) ou avec des cartes-nombres ou avec des cartes où sont dessinées des collections.

 

Les boîtes avec des objets : ERMEL GS.

Le maître prépare six boîtes identiques qui contiennent chacune un certain nombre d'objets (3,5,4,1,2,3). Ces boîtes sont empilées en sorte que seul le contenu de celle du dessus est visible.

Les enfants sont par deux, avec un dé. Chaque joueur prend la boîte sur la pile si le nombre d'objets est inférieur au dé, sinon il passe. Le gagnant est celui qui remporte le plus d'objets.

Variante: les boîtes sont alignées, ce qui donne la possibilité de choisir.


Les pistes : ERMEL GS.

Le maître présente une étoile à 5 pistes de 1 à 5 cases, concourantes vers une arrivée. Le départ de chacune des 5 Pistes comporte 3 objets qui symbolisent les 3 joueurs. Un joueur lance le dé, et essaie d'atteindre l'arrivée ou bien passe son tour. O joue cinq tours et il faut sauver le plus possible de pions pour gagner.

Variante: on utilise une étoile à 8 pistes de 3 à 11 cases et deux dés...


 

6°) Activités où il s'agit de reconnaître une quantité donnée puis de construire une collection ayant le même nombre d'éléments.


Situation type : poser des jetons les cases d’un quadrillage.

Les enfants savent piocher, dans une réserve suffisamment abondante, des objets à poser sur un damier en une correspondance terme à terme contrôlée pas à pas. Par cette procédure, le but est atteint sans qu'il y ait nécessité de recourir au dénombrement.

 

Pour faciliter la prise de conscience du rôle du nombre, et espérer ainsi mettre en évidence la nécessité d'un dénombrement préalable et la nécessité de la mémorisation du nombre ; il faut jouer sur deux variables : éloigner les collections et limiter le nombre de trajets.


Par exemple: jeu des voyageur ERMEL GS.

 


7°) Activités pour anticiper un résultat.


- Jeu du gobelet : on peut montrer 10 jetons sur une table, en cacher trois sous un gobelet retourné et demander aux enfants qui voient seulement le jeton restant de trouver combien il y a de jetons sous le gobelet

 

- On pourra par exemple donner quatre verres et des bons de commande pour des pinceaux (par exemple deux bons permettant de commander un pinceau chacun, deux bons permettant de commander deux pinceaux chacun, un bon permettant de commander trois pinceaux) et demander de venir commander d’un seul coup juste ce qu’il faut de pinceaux pour qu’il y ait un pinceau exactement par verre à la fin

 

- Greli-grelo.

 

- Jeux de dés.

Les enfants jouent à deux. Dans un premier temps, ils lancent chacun deux dés et cherchent qui est le gagnant, c'est-à-dire qui a obtenu le plus de points. Dans un deuxième temps, ils lancent chacun un seul dé deux fois de suite et cherchent aussi le gagnant. Dans ce cas, il faut que le premier nombre soit mémorisé.

 

- On pourra donner un quadrillage et demander de colorier chaque carreau en rouge ou en vert de façon à ce qu’il y ait autant de carreaux rouges que de carreaux verts (il sera intéressant d’observer la démarche suivie par l’enfant).

 

- Jeu du chat et des souris.

 

- Jeu des graines : ERMEL GS.

Chaque enfant, à son tour, lance un dé et place dans une alvéole d'une boîte de 6 oeufs le nombre de graines indiqué par le dé.

Après 6 coups, les alvéoles des 2 joueurs sont remplies avec un nombre de graines variant de 1 à 6.

1ère version : chaque enfant, à son tour, désigne les alvéoles (le contenu entier) de façon à obtenir un total de 10 graines. Il renverse enfin le contenu des l’alvéoles désignées dans une corbeille, et compte les graines pour vérifier qu’il en a bien 10.

2ème version : chaque enfant, à son tour, reprend le contenu entier d'une alvéole de son plateau et le place dans sa corbeille. Le gagnant est le premier à avoir juste 10 graines dans son plateau.

Aide: une file avec curseur.

 

- Le trésor : ERMEL GS.

Matériel :

Une grande boîte contenant une grande quantité de petits objets (perles, rondelles, oeillets...) : le trésor.

Une petite boîte par enfant, qui puisse se fermer, et portant une étiquette où l'on écrira son nom.

Deux dés à jouer usuels.


Étape 1: Constitution du trésor.                 Étape 2: disparition du trésor.

Étape 3: augmentation du trésor.              Étape 4: disparition partielle du trésor.

Étape 5: fin du trésor.


- Jeux de cubes.

Proposer aux enfants différents problèmes à bases de cubes et de tours à réaliser.

A une table de 5 élèves, leurs demander combien de cubes ont-ils besoin pour réaliser chaque une tour de 4 cubes?

A une table de 5 élèves, leurs demander combien de tours de 4 cubes peuvent-ils réaliser avec 20 cubes?

A une table de 5 élèves, leurs demander combien de cubes ont-ils besoin pour réaliser chaque des tours identiques?

A une table de 5 élèves, leurs demander combien de tours identiques peuvent-ils réaliser avec 30 cubes?

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