Hopfalgebren

Meine Mitschrift von Prof. Schneiders Vorlesungen über "Hopfalgebren und Quantengruppen" an der LMU München im WS 2008/2009 und im SS 2009.

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Das Skript ist vollständig bis auf Kapitel IV.2.6 (ein längeres Beispiel) und Kapitel IV.4-7 (Bosonisierung und Yetter-Drinfeld-Moduln).

Fehler und unverständliche Argumente werden immer verbessert, wenn ich davon erfahre!
Bitte an X@Y.com mailen, wobei X = darijgrinberg und Y = gmail. Danke!

Letzte Änderungen:
0.1.98.
- Bemerkung 2.21 18/20 eingefügt.
- Einige Stellen detaillierter ausgeführt, und einen Fehler verbessert.
0.1.97.
- Kommutative Diagramme sind wieder lesbar. (In der vorigen Versionen waren einige kaputtgegangen.)
- Ein paar Typos weniger.
0.1.96.
- Beweise von I.2.18 und I.3.1 sind jetzt detailreicher.
- Die Definition des graduierten Dualen war völlig falsch. Verbessert.
0.1.95.
- Beweis von II.2.13 jetzt detaillierter.
- Mehrere Fehler verbessert.
0.1.94.
- Bemerkung II.4.4 1/2 entfernt (war grober Unfug und unnötig). Nothing of value was lost.
0.1.93.
- Beweis des Endlichkeitssatzes überarbeitet und verlängert.
- Einige Fehler verbessert. Insbesondere wird nicht mehr implizit behauptet, das Tensorprodukt zweier Liealgebren wäre eine Liealgebra...
0.1.92.
- III.3.30-31 eingefügt.
- Ein paar kleine Korrekturen.
0.1.91.
- IV.3.5 verbessert und IV.3.5 1/2 eingefügt, um die Algebrastruktur auf H^0 zu definieren (vorher wurde nur die Coalgebrastruktur definiert!).
- Ein paar kleinere Verbesserungen.
0.1.90.
- Ein paar Beweise genauer, ein paar Fehler weniger.
0.1.89.
- III.3.8 jetzt mit Beweis und Anwendung.
0.1.88.
- Bemerkung I.2.1 1/2 hat jetzt eine weitere Behauptung und einen alternativen Beweis (der alte ist weiterhin drin).
- Fußnote im Beweis von III.4.15 eingefügt.
- Ein paar Fehler ausgebessert.
0.1.87.
- Mehr Details in IV.3.4. 6) und an ein paar weiteren Stellen.
0.1.86.
- Beweis von III.3.16 jetzt schöner (man braucht nicht die Eindimensionalität der Linksintegrale).
- In Kapitel II wurden lokale Ringe falsch definiert. Verbessert.
0.1.85.
- Im Beweis von III.3.21 waren einige Rechnungen nicht zielführend. Jetzt durch sinnvolle Rechnungen ersetzt und detailliert.
0.1.84.
- Im Abschnitt III.3 mehr Details eingefügt (v.a. im Beweis von III.3.16) und Fehler (meistens Verwechslung von H mit H*) verbessert (v.a. im Beweis von III.3.11).
- Letzter, erfolgloser Versuch, die overfull hboxes loszuwerden. Leider bricht LaTeX Wörter wie "H-Linkscomodulhomomorphismus" nie um (wegen dem Bindestrich), weshalb sie teilweise weiterhin in die Ränder ausweichen...
0.1.83.
- Ein paar ganz dumme Fehler von mir korrigiert (Verwechslung von Variablen mit Termen, sowie von Termen mit ihren Werten bei der Einfuehrung der Sweedler-Notation vor allem).
0.1.81. und 0.1.82.
- Einige Fehler verbessert.
- Viele überlange Zeilen wurden auf eine sinnvolle Länge reduziert. Leider hat dies einen deutlichen Zuwachs in der Seitenzahl zur Folge, und einige überlange Zeilen sind immer noch da, weil ich sie nicht verbessern kann ohne die Übersichtlichkeit zu verlieren...
- Einige Beweise detailliert.
0.1.80.
- Beweis von Lemma IV.3.1 ausführlicher gemacht.
0.1.79. (update 12 Mai 2011)
- I.2.17 1/2 bewiesen.
- Einige Fehler verbessert und Beweis der linearen Unabhängigkeit von Gruppenelementen detailliert.
0.1.78.
- Eindeutigkeit der Coeins wird jetzt bewiesen (weniger wegen ihrem Nutzen als weil sie ein Beispiel für den Gebrauch der Sweedler-Notation darstellt).
0.1.77.
- Einige Fehler verbessert und Beweis von II.4.6. 1) lesbarer gemacht.
0.1.76.
- Einige Fehler verbessert und Vorbemerkungen hinzugefügt.
0.1.75.
- Eigenschaften der Tensorhopfalgebra formuliert und bewiesen.
- Eigenschaften der Shufflehopfalgebra formuliert.
- Beweis von Satz II.2.12 ist jetzt komplett.
- Einige Fehler korrigiert.
0.1.74.
- IV.4.1. 2) c) eingefügt. (Eigenschaften der R-Matrix für Hopfalgebren mit nichtbijektiver Antipode.) Beweis von IV.4.1. 2) transparenter gemacht.
0.1.73.
- Einige Eigenschaften graduierter Hopfalgebren gezeigt (Vorbereitung auf Tensorhopfalgebra und Shufflehopfalgebra).
- Beweis von PBW jetzt an einer Stelle noch detaillierter.
0.1.72.
- Tensorprodukte beliebig vieler Moduln explizit eingeführt.
- Gewisse Klammerungsunabhängigkeits-Aussagen für Comultiplikation in einer Coalgebra bewiesen.
0.1.71.
- Neues Beispiel für eine Coalgebra hinzugefügt (die Tensorcoalgebra). Weitere könnten kommen, wenn ich mehr Zeit habe.
0.1.70.
- Lemma 6.7 (a) jetzt schwächer, dafür aber mit richtigem Beweis. ;)
- An diversen Stellen Beweise etwas detailliert und Fehler verbessert (u. a. ist die Vertauschungsformel für das Drinfeld-Doppel jetzt die richtige).
0.1.69.
- I. 2.15. 2) jetzt mit Beweis.
- Ein paar Fehler weniger, einige Erklärungen verständlicher gemacht.
0.1.68.
- Beweis des Normalbasissatzes (III.4.20) vollständig aufgeschrieben.
- In IV.1.1. 5) wird jetzt die Cleftness bewiesen.
- Eine Reihe von Fehlern ausgebessert.
0.0.67.
- I.6 enthält jetzt Krull-Remak-Schmidt (ohne Beweis) und diverse Folgerungen, die in Kapitel III.4.20 benutzt werden.
- Direkte Summen von Comoduln werden jetzt explizit eingeführt (ich weiß, laaaangweilig).
- Lemma II.5.1 hat jetzt ein paar nutzlose Bedingungen weniger.
0.0.66.
- I.6 enthält jetzt konstruktive Beweise der grundlegenden Eigenschaften des Jacobson-Radikals. Das könnte eine Premiere sein. ;) (Natürlich können Eigenschaften wie "das Jacobsonradikal ist die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale" nicht konstruktiv gezeigt werden. Aber ich gebe explizitere Umformulierungen für einige solche Eigenschaften, und die sind dann gar nicht so schwer konstruktiv zu zeigen. Ich habe keine einzige neue Beweisidee gebraucht. Warum macht sonst niemand konstruktive nichtkommutative Algebra?...)
- Moduln über Ringen und Moduln über k-Algebren jetzt wohl etwas besser erklärt. (Allerdings noch länger.)
0.0.65.
- II.5 erstellt (Beweis von: Coradikalfiltrierung ist eine Coalgebrafiltrierung).
- I.6 angefangen (Eigenschaften des Jacobsonradikals und Krull-Schmidt). Wird in 0.0.66 weitergeführt.
0.0.64.
- II.4.5 jetzt mit Beweis.
0.0.63.
- II.1.5 (Liealgebra einer affinen Gruppe) jetzt mit Beweis.
0.0.62.
- Der Beweis von Satz I.2.21 15/20 (die Charakterisierung von Hopfalgebren als diejenigen Bialgebren H, für die die Abbildung H ⊗ H, x ⊗ y |-> xy(1) ⊗ y(2) invertierbar ist) wurde jetzt vollendet (in Abschnitt 4.2).
0.0.61.
- Der Beweis von Poincaré-Birkhoff-Witt (II.1) sollte jetzt deutlich lesbarer sein.

  Darij
Ċ
hopf.pdf
(2391k)
Darij Grinberg,
Apr 6, 2013, 10:12 AM
ċ
hopf.tex
(2102k)
Darij Grinberg,
Apr 6, 2013, 10:12 AM
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