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Polinomio de interpolación de Newton

5.1 Polinomio de interpolación de Newton.

Utilizar la matriz de Vandermonde para muchos nodos no es muy buena idea ya que el tiempo de cálculo para matrices grandes es excesivo. Es mucho más sencillo utilizar el método clásico de las diferencias divididas de Newton. Recordemos su definición, para dos nodos, se llama diferencia dividida de orden uno a :


    Mientras que la diferencia dividida de orden n se obtiene por recurrencia a partir de las anteriores como:


 El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces:

          p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, ... , xn]

El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil.

Interpolación Lineal

La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura:ç


Usando triángulos semejantes, se tiene:


se puede reordenar como :


La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino


Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.

Interpolación Cuadrática

Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es :


Nótese que aunque la ecuación [1] parezca diferente de la ecuación general de un polinomio :

Descripción: https://sites.google.com/site/metsistec/_/rsrc/1322616200042/unidad-4-modificar-tablas-de-datos-i/Imagen6.png

Las dos ecuaciones son equivalentes.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo , se usa la ecuación [4] con X=X0 y se obtiene.

Descripción: https://sites.google.com/site/metsistec/_/rsrc/1322616348096/unidad-4-modificar-tablas-de-datos-i/Imagen7.png

Sustituyendo la ecuación [6] y [4] y evaluando en X=X1 se obtiene:


Y por ultimo las ecuaciones [7] y [6] se sustituyen en la ecuación [4] y se evalúa está en X=X2 y se obtiene:


Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación [4] son equivalentes a la interpolación de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la curvatura de segundo orden de la formula.

Forma general de los Polinomios de Interpolación de Newton:


Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación [9] estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente. También nótese que las ecuaciones son recursivas, esto es las diferencias de orden superior se componen de las diferencias de orden inferior. Esta propiedad se puede aprovechar al desarrollar un programa eficiente par un computador.


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