2.2 Conjunto universo y vacío

Conjunto universo y vacío


Conjunto Universo


En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U.

Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado apropiados para definirlo.


(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.

(b) El conjunto de los enteros positivos impares.

(c) El conjunto de los múltiplos de 10.


Solución

(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ´o A = {x 2 Z : 0 < x < 100}

(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y − 1} ´o B = {x : x = 2y − 1, y 2 Z+}

(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y 2 Z}


Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia

Ejemplo: U={x/x es un animal}

A={x/x es un mamífero}

B={x/x es un reptil}

Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: {*}

Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.

Conjunto de números impares múltiplos de 2.

'Conjuntos'

Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.

'Conjuntos'
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto.

Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:

{x/x es un número natural}

{x/x es un día de la semana}

son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.


Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).

Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d}, U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes de A, es decir (A), será:

p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}


¿Cuándo dos conjuntos son iguales?

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del primero.

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un número natural.