Hàm số bậc 2

Lí thuyết


Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức:
y = ax2 + bx + c         (1)
trong đó xbiến số, a, b, c là các hằng sốa ≠ 0.
 


Tập xác định của hàm số này là D = \mathbb{R}.

Khi b = c = 0 ta được y = ax2 - hàm số đã được học ở lớp 9.


Đồ thị của hàm số bậc hai

Hoạt động 1
Nhắc lại các kết quả đã biết về đồ thị của hàm số y = ax2?
 


Nhận xét

Đồ thị của hàm số y = ax2 có đỉnh là điểm O(0;0), là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0 (y ≥ 0 với mọi x), và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp a < 0 (y ≤ 0 với mọi x) (hình 20).


Hình 20
Hình 20


Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + cđiểm thấp nhất hoặc điểm cao nhất không?

Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có viết:

y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a}    với Δ = b2 - 4ac.

Nhận xét rằng:

  • Nếu x = -\frac{b}{2a} thì y = \frac{-\Delta}{4a}. Vậy điểm I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right) thuộc đồ thị của hàm số (1).
  • Nếu a > 0 thì y \ge \frac{-\Delta}{4a} với mọi x, do đó Iđiểm thấp nhất của đồ thị.
  • Nếu a < 0 thì y \le \frac{-\Delta}{4a} với mọi x, do đó Iđiểm cao nhất của đồ thị.

Như vậy, đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c có điểm I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right) đóng vai trò như điểm O(0;0) của đồ thị hàm số y = ax2.


Đồ thị

Dưới đây(*) ta sẽ thấy đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c chính là đồ thị của hàm số y = ax2 sau một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng tọa độ.



Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right), có trục đối xứng là đường thẳng x = -\frac{b}{2a}. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0 và xuống dưới nếu a < 0 (Hình 21).
 


Hình 21
Hình 21


Cách vẽ

Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước:



1.Xác định tọa độ của đỉnh I\left(-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a}\right).

2. Vẽ trục đối xứng x = -\frac{b}{2a}.

3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c)) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4. Vẽ parabol

Khi vẽ parabol chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).
 


VÍ DỤ
Vẽ parabol y = x2 - 2x - 3.
 
Lời giải
Hình 22
Hình 22
Đỉnh I(1;-4)

Trục đối xứng là đường thẳng x = 1

Giao điểm với OyA(0;-3)

Điểm đối xứng với A(0;-3) qua đường thẳng x = 1 là A'(2;-3)

Giao với trục Ox tại B(-1;0) và C(3;0).

Đồ thị như hình 22.

 


Hoạt động 2
Vẽ parabol y = - 2x2 + x + 3.
 


Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:


Hình 23


Từ đó ta có định lí dưới đây

ĐỊNH LÍ


Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c
Nghịch biến trên khoảng \left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)
Đồng biến trên khoảng \left(\frac{-b}{2a};+\infty\right)

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c

Đồng biến trên khoảng \left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)
Nghịch biến trên khoảng \left(\frac{-b}{2a};+\infty\right).
 


BÀI TẬP

1. Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol:
a) y = x2 - 3x + 2 b) y = - 2x2 + 4x - 3
c) y = x2 - 2x d) y = - x2 + 4
2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = 3x2 - 4x + 1 b) y = - 3x2 + 2x - 1
c) y = 4x2 - 4x + 1 d) y = - x2 + 4x - 4
e) y = 2x2 + x + 1 f) y = - x2 + x - 1.
3. Xác định parabol y = ax2 + bx + c, biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng là x = -\frac{3}{2}
c) Có đỉnh là I(2;-2) d) Đi qua điểm B(-1;6) và tung độ của đỉnh là -\frac{1}{4}.

4. Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(8;0) và có đỉnh là I(6;-12).

Comments