Topologia Algebrica 12/13
Laurea Magistrale in Matematica, a.a. 12/13, primo semestre, 48 ore, 6 crediti.
L'esame e' orale, ma fara' parte dell'esame lo svolgimento (facoltativo) di un compito scritto che verra' assegnato nell'ultima lezione (mercoledi' 16/1), da consegnare venerdi' 25/1, la cui valutazione contribuira' al voto finale. A chi non avesse svolto il compito scritto, all'esame verra' richiesto di risolvere un (semplice) esercizio di calcolo di omologia.
Orario: martedi' 11-13 aula 1, mercoledi' 14-16 aula 5. Prima lezione: martedi' 16/10. Ultima lezione: mercoledi' 16/1.
Testi consigliati:
Hatcher, Algebraic Topology (testo di riferimento per l'omologia)
Greenberg e Harper, Algebraic Topology - A First Course
Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica (per la parte su rivestimenti e gruppo fondamentale)
Fulton, Algebraic Topology- A First Course (per la parte su rivestimenti e gruppo fondamentale)
Lee, Introduction to Topological Manifolds
Compito di fine corso (da consegnare nel mio studio, oppure per posta elettronica, entro venerdi' 25/1)
Registro delle lezioni
16/10/2012, 11-13
Presentazione del corso, motivazione. Esempi di risultati che otterremo con la topologia algebrica: invarianza della dimensione; le sfere non sono contraibili.
Richiami di topologia. Spazi topologici localmente connessi per archi. Varieta' topologiche. Esempi: le sfere, le superfici topologiche compatte, gli spazi proiettivi reali e complessi.
Categorie e funtori, definizioni ed esempi.
17/10/2012, 14-16
Richiami su azioni di gruppo su un insieme. Azione di un gruppo su uno spazio topologico, prime proprieta'. Azioni libere e propriamente discontinue; esempi.
Definizione di rivestimento (tra spazi topologici c.p.a.), aperti uniformemente rivestiti. Esempio: la mappa esponenziale dalla retta alla circonferenza.
23/10/2012, 11-13
Prime proprieta' dei rivestimenti. Fibre e grado di un rivestimento. G-rivestimenti, esempi. Ogni rivestimento di grado 2 e' un G-rivestimento. Somma a un punto di due spazi topologici. Un esempio di rivestimento di grado 3 (della somma a un punto di due circonferenze) che non e' un G-rivestimento.
24/10/2012, 14-16
Isomorfismi tra rivestimenti. Sollevamenti; unicita' del sollevamento fissato il valore in un punto. Gruppo degli automorfismi di un rivestimento. Se p e' un G-rivestimento, il gruppo degli automorfismi di p coincide con G. Esempi.
Richiami su omotopia ed equivalenza omotopica; spazi topologici contraibili. Retratti e retratti di deformazione. Esempi.
30/10/2012, 11-13
Il gruppo fondamentale, definizione e panoramica sulle sue proprieta'. Funtorialita'. Dipendenza dal punto base e connessione per archi. Invarianza omotopica. Spazi topologici semplicemente connessi. Esempi. Retrazioni e gruppo fondamentale. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse (dim. parziale). La congettura di Poincare'. Esercizio: il rivestimento del piano sul nastro di Moebius.
31/10/2012, 14-16
Sollevamenti di cammini. Sollevamenti di omotopie tra cammini (senza dimostrazione). Teorema di monodromia: i sollevamenti di cammini omotopi sono omotopi. L'omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da un rivestimento e' iniettivo. Azione di monodromia del gruppo fondamentale dello spazio rivestito sulla fibra del punto base. Esercizi: i rivestimenti di C^* dati da z^n e da e^z.
6/11/2012, 11-13
Applicazioni dell'azione di monodromia: se p: Xtilde -> X e' un rivestimento, al variare dei punti nella fibra di x, le immagini del gruppo fondamentale di Xtilde formano una classe di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di X con punto base x. Il grado di p e' pari all'indice di tali sottogruppi. Se p e' un G-rivestimento, G e' isomorfo al gruppo quoziente del gruppo fondamentale di X modulo l'immagine del gruppo fondamentale di Xtilde. Applicazioni: il rivestimento universale e il gruppo fondamentale della circonferenza, del toro, del piano meno un punto, degli spazi proiettivi reali, della bottiglia di Klein.
7/11/2012, 14-16
Panoramica (senza dimostrazioni) degli ulteriori risultati su rivestimenti e gruppo fondamentale. Criterio di esistenza di un sollevamento. Caratterizzazioni dei G-rivestimenti. Corrispondenza tra classi di isomorfismo di rivestimenti di X e classi di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di X. Se X e' localmente c.p.a. e ogni suo punto ha un intorno aperto semplicemente connesso, la corrispondenza e' biunivoca. Rivestimenti della circonferenza e del nastro di Moebius. Rivestimenti universali di varieta' topologiche in dimensioni 1 e 2.
Gruppi abeliani: insiemi di generatori, insiemi linearmente indipendenti, basi. Gruppi abeliani liberi, rango. Gruppo abeliano libero su un insieme arbitrario.
13/11/2012, 11-13
Gruppi abeliani finitamente generati, sottogruppo di torsione, rango. Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati (senza dimostrazione). Esempi. Se G e' un gruppo abeliano finitamente generato e H e' un suo sottogruppo, allora sia H che G/H sono finitamente generati, e rk(G)=rk(H)+rk(G/H). Se G/H e' libero, G e' isomorfo alla somma diretta di H e G/H.
Complessi di catene e morfismi di complessi. Gruppi di omologia di un complesso di catene. Omomorfismi in omologia indotti da un morfismo di complessi; per ogni n l'omologia da' un funtore dalla categoria dei complessi di catene alla categoria dei gruppi abeliani. Caratteristica di Eulero di un complesso di catene finito di gruppi abeliani f.g.: la somma alternata dei ranghi coincide con la somma alternata dei ranghi dei gruppi di omologia.
Primi richiami sui simplessi in R^N.
14/11/2012, 14-16
Simplessi orientati, simplesso standard, coordinate baricentriche. Un sottoinsieme compatto, convesso, e a interno non vuoto in R^n e' omeomorfo a un disco chiuso di R^n.
Complessi simpliciali (euclidei, finiti), triangolazioni, spazi topologici triangolabili. Esempi. Delta-complessi (su spazi topologici compatti e Hausdorff). Esempi.
20/11/2012, 11-13
Complesso di catene associato ad un Delta-complesso, gruppi di omologia simpliciale. Esempi: il toro e la sfera. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincare' di un Delta-complesso; la caratteristica si puo' calcolare dal numero di simplessi di ogni dimensione. Esercizio: il rivestimento doppio del toro sulla bottiglia di Klein.
21/11/2012, 14-16
Esercizi. Struttura di Delta-complesso e omologia simpliciale della bottiglia di Klein. Simplessi singolari, complesso delle catene singolari di uno spazio topologico, omologia singolare. Se f e' un'applicazione continua tra spazi topologici, f induce un morfismo tra i complessi delle catene singolari, e quindi omomorfismi in omologia; funtorialita'. Gruppi di omologia singolare del punto. Se X e' un Delta-complesso, gli omomorfismi naturali dai gruppi di omologia simpliciale di X ai gruppi di omologia singolare di X sono isomorfismi di gruppo (senza dimostrazione).
27/11/2012, 11-13
Esercizi: il gruppo degli automorfismi di una varieta' topologica agisce transitivamente sulla varieta'. Struttura di Delta-complesso e omologia simpliciale del piano proiettivo reale. Se X e' c.p.a., H_0(X) e' isomorfo a Z. I gruppi di omologia di X sono isomorfi alla somma diretta dei gruppi di omologia delle componenti c.p.a. di X. Omologia ridotta.
28/11/2012, 14-16
Esercizi. Commutatori e abelianizzato di un gruppo. Omomorfismo di Hurewicz tra il gruppo fondamentale e il primo gruppo di omologia di X; se X e' connesso per archi, il primo gruppo di omologia e' isomorfo all'abelianizzato del gruppo fondamentale (dim. solo che l'omomorfismo e' ben definito). Esempio: la bottiglia di Klein. Invarianza omotopica dei gruppi di omologia singolare: enunciato e prima parte della dimostrazione.
4/12/2012, 11-13
Seconda parte della dimostrazione dell'invarianza omotopica, l'operatore prisma. Applicazioni. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincare'. Successioni esatte: definizione e primi esempi.
5/12/2012, 14-16
Successioni esatte corte, successioni esatte corte spezzanti. Comportamento dei ranghi nelle successioni esatte. Relazione tra successioni esatte e complessi di catene. Successioni esatte corte di complessi di catene, successione esatta lunga in omologia. Esercizio: i sottogruppi di Z^2.
11/12/2012, 11-13
Successione di Mayer-Vietoris, versione usuale e versione per l'omologia ridotta. Gruppi di omologia delle sfere. Applicazioni: il teorema del punto fisso di Brouwer. Retratti forti di deformazione. Gruppi di omologia della somma a un punto di due spazi topologici.
12/12/2012, 14-16
Gruppi di omologia delle superfici compatte. Invarianza della dimensione. Omologia relativa: definizione, successione esatta lunga di omologia relativa. Esempi: cosa succede se A e' contraibile o se X e' contraibile; significato di H_0(X,A).
18/12/2012, 11-13
Se (X,A) e' una buona coppia, l'omologia relativa e' isomorfa all'omologia ridotta del quoziente X/A (solo enunciato). Esempi ed esercizi sull'omologia relativa. Teorema di escissione (solo enunciato). Esercizi. Gruppi Hom(A,B). Funtore controvariante Hom(-,G). Prime proprieta'.
19/12/2012, 14-16
Introduzione alla coomologia. Complesso di cocatene a coefficienti in un gruppo G associato ad un complesso di catene. Gruppi di coomologia a coefficienti in G di un complesso di catene. Esempi. Omomorfismo di Kronecker. Proprieta' dei gruppi Ext(A,B) (senza definizione). Teorema dei coefficienti universali in coomologia (solo enunciato). Esempi.
8/1/2013, 11-13
Coomologia singolare di uno spazio topologico a coefficienti in un gruppo abeliano G. Applicazione del teorema dei coefficienti universali, esempi. Coomologia simpliciale di un Delta-complesso, esempi: il toro, il piano proiettivo reale. Proprieta' fondamentali (senza dimostrazione): isomorfismo tra coomologia singolare e coomologia simpliciale; funtorialita' della coomologia singolare; invarianza omotopica della coomologia singolare. Esercizio: gruppi di omologia degli spazi proiettivi complessi.
9/1/2013, 14-16
Prodotto cup tra cocatene singolari a coefficienti in un anello, prodotto cup in coomologia. Esempio: il toro (calcolato usando la coomologia simpliciale). Anello di coomologia, anelli graduati; esempi. Esercizio: gruppi di omologia dello spazio proiettivo reale di dimensione 3.
15/1/2013, 11-13
Panoramica (senza dimostrazioni) sulle proprieta' dell'omologia singolare delle varieta' topologiche compatte. Orientabilita' in termini di H_n(X). Dualita' di Poincare' per la coomologia intera di una varieta' topologica compatta e orientabile: enunciato, osservazioni ed esempi. Esercizi sul calcolo dell'omologia singolare.
16/1/2013, 14-16
Forme differenziali e coomologia di de Rham per un aperto di R^n. Isomorfismo tra i gruppi di omologia singolare e i gruppi di omologia ottenuti considerando solo i simplessi lisci. Integrale di una k-forma differenziale lungo un k-simplesso liscio. Isomorfismo di de Rham (solo enunciato). Esempio: il piano meno un punto. Esercizi sul calcolo dell'omologia singolare.