Corso tenuto da Cinzia Casagrande e Paola Frediani
Secondo anno della Laurea Triennale in Matematica, a.a. 08/09, primo semestre, 84 ore, 9 crediti.
Orario: lunedi' 14-16, martedi' 10-11, mercoledi' 14-16, giovedi' 9-11.
Alcuni temi d'esame dell'anno scorso: febbraio 07, giugno 07, settembre 07, gennaio 08, febbraio 08, marzo 08, giugno 08.
Esercizi per le vacanze di Natale
APPELLI D'ESAME
Primo appello: scritto 29/1 ore 9.30 aula C8, orali 3/2 ore 9.30 aula C8. Testo del compito.
Secondo appello: scritto 16/2 ore 9.30 aula C8, orali 18/2 aula C29, 19-20/2 aula C8. Testo del compito.
Terzo appello: scritto 16/6 ore 9.30 aula C8, orali 18/6 ore 9.30 aula Beltrami, 19/6 ore 9.30 aula C8. Testo del compito.
Quarto appello: scritto 8/7 ore 9.30 aula C8, orali 10/7 ore 9.30 aula C8. Testo del compito.
Quinto appello: scritto 23/9 ore 9.30 aula C8. Testo del compito.
Registro delle lezioni
1/10/2008 , 14-16 (P)
Spazi proiettivi, coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi , intersezione di sottospazi proiettivi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme S dello spazio proiettivo. Formula di Grassmann. Esempi e conseguenze.
2/10/2008, 9-11 (C)
Esercizi su equazioni di sottospazi, cartesiane e parametriche. Relazione tra spazio proiettivo e spazio affine, passaggio da coordinate omogenee a coordinate affini e viceversa, chiusura proiettiva di un sottospazio. Cambiamenti di coordinate omogenee. Isomorfismi di spazi proiettivi e proiettivita', gruppo proiettivo PGL(n+1,k).
6/10/2008, 14-16 (P)
Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Esercizi su sottospazi proiettivi e su proiettivita'. Quadriche affini. Quadriche a centro. Classificazione delle quadriche affini su R e su C. Esempi di quadriche a centro e non a centro.
7/10/2008, 10-11 (P)
Classificazione delle coniche affini su R e su C. Esempi di quadriche in R^3, loro classificazione affine e loro proprieta' topologiche. Esercizi su coniche reali e complesse.
8/10/2008, 14-16 (P)
Quadriche proiettive. Relazione di equivalenza proiettiva tra due quadriche proiettive e loro classificazione nel caso reale e complesso. Coniche proiettive. Chiusura proiettiva di una conica affine, punti impropri e deomogenizzazione di una conica proiettiva rispetto alle tre variabili. Esempi ed esercizi su coniche affini e proiettive. Topologia degli spazi proiettivi reali e complessi, connessione.
9/10/2008, 9-11 (C)
Curve in R^n: definizione, cambiamenti di parametro, regolarita`. Curve rettificabili. Ogni curva di classe C^1 e` rettificabile. Lunghezza d'arco, parametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco di una curva regolare. Versore tangente e curvatura. Esempi: rette, circonferenza, catenaria.
13/10/2008, 14-16 (C)
Curve biregolari in R^3, sistema di riferimento intrinseco, torsione, formule di Frenet. Una curva e' piana se e solo se il versore binormale e' costante. Elica circolare. Esistenza di una curva avente curvatura e torsione assegnate, unicita` a meno di rototraslazione.
14/10/2008, 10-11 (P)
Topologia degli spazi proiettivi reali e complessi. Lo spazio proiettivo reale e' omeomorfo al quoziente della sfera unitaria per la relazione di equivalenza che identifica punti tra loro antipodali. Gli spazi proiettivi reali e complessi sono connessi, compatti e di Hausdorff.
15/10/2008, 14-16 (P)
La retta proiettiva reale e' omeomorfa alla circonferenza. La retta proiettiva complessa e' omeomorfa alla sfera S^2. Gli spazi proiettivi reali sono omeomorfi al quoziente della semisfera chiusa per la relazione di equivalenza che identifica i punti sul bordo tra loro antipodali. Il piano proiettivo reale e' il quoziente del disco chiuso unitario per la relazione che identifica i punti opposti.
16/10/2008, 9-11 (C)
Curvatura orientata di una curva piana, formule di Frenet per curve piane, la curvatura orientata determina la curva a meno di rototraslazioni del piano. Comportamento locale di una curva rispetto alla retta tangente e al piano osculatore. Curve non parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco, formule per curvatura, torsione e per il sistema di riferimento di Frenet.
20/10/2008, 14-16 (C)
Esercizi su curve nello spazio e nel piano. Interpretazione di una curva parametrizzata come descrizione del moto di un punto nello spazio. Trattrice.
21/10/2008, 10-11 (P)
Teorema della funzione inversa (solo enunciato). Teorema del rango (versione suriettiva e iniettiva) con dimostrazione, una volta assunto il teorema della funzione inversa. Enunciato del teorema del Dini (o della funzione implicita) e esempi.
22/10/2008, 14-16 (P)
Il teorema del rango implica il teorema del Dini. Dimostrazione del teorema della funzione inversa assumendo il teorema del Dini. Punti critici e valori critici di un'applicazione di classe C^k da un aperto di R^m a valori in R^n. Esempi. Definizione di 1-sottovarieta' differenziabile di R^3 e di R^2. Esempi. Esempio di una curva regolare in R^2 che non e' una 1-sottovarieta' di R^2. 1-sottovarieta' di R^3 come controimmagini di valori regolari di applicazioni C^k da R^3 in R^2.
27/10/2008, 14-16 (P)
Definizione di superficie regolare in R^3. Esempi: la sfera. Il grafico di un'applicazione C^k da un aperto di R^2 a valori in R e' una superficie regolare. Esempi: paraboloide ellittico e iperbolico. Controimmagine di un valore regolare di un'applicazione C^k da un aperto di R^3 a valori in R e' una superficie regolare. Esempi: la sfera, iperboloide ellittico e iperbolico, ellissoide. Esercizi su 1-sottovarieta' di R^3 (sezioni piane di un cono).
28/10/2008, 10-11 (P)
Esercizi su curve piane e in R^3. Definizione di cerchio osculatore per curve in R^3. Evoluta di una curva piana.
29/10/2008, 14-16 (C)
Esercizi su curve. Cicloide. Esempio di curva piana regolare e iniettiva il cui sostegno non e` una 1-sottovarieta`.
30/10/2008, 9-11 (C)
Superfici di rotazione. Esempi: cilindro, cono, toro. Una superficie regolare e` il grafico di una funzione regolare nell'intorno di ogni punto. Un'applicazione regolare, iniettiva, e con differenziale iniettivo, a valori in una superficie regolare, e` una parametrizzazione locale. L'inversa di una parametrizzazione locale e` localmente la restrizione di una funzione regolare su un aperto di R^3.
3/11/2008, 14-16 (P)
Il cambiamento di parametrizzazione e' un diffeomorfismo. Definizione di applicazione differenziabile da un aperto di una superficie regolare a valori reali e da un aperto di una superficie regolare a valori in un altra superficie. Definizione di diffeomorfismo tra due superfici. Esempi: la mappa antipodale e' un diffeomorfismo di S^2. Definizione di piano tangente ad una superficie in un punto. Il piano tangente in p e' l'immagine del differenziale di una parametrizzazione locale in p. Piano tangente alla sfera in un punto.
4/11/2008, 10-11 (C)
Esercizi su piano tangente e applicazioni differenziabili. Piano tangente a una superficie di livello.
5/11/2008, 14-16 (P)
Definizione di differenziale di un'applicazione differenziabile tra due superfici regolari e da una superficie regolare a valori in R. Esempi. Diffeomorfismi locali e teorema della funzione inversa per applicazioni differenziabili tra due superfici regolari. Esecizi su piano tangente e applicazioni differenziabili.
6/11/2008, 9-11 (C)
Superfici orientabili. Una superficie e' orientabile se e solo se ammette un campo di versori normali. Il nastro di Moebius.
10/11/2008, 14-16 (P)
Prima forma fondamentale di una superficie. Espressione della prima forma fondamentale in termini di una paremtrizzazione locale. Esempi: piano, cilindro, sfera. Coordinate sferiche sulla sfera. Lunghezza d'arco di una curva su una superficie e angolo tra vettori tangenti. Area di un dominio regolare chiuso e limitato di una superficie. Esempi: calcolo dell'area della sfera.
11/11/2008, 10-11 (P)
Calcolo dell'area del toro di rivoluzione. Isometrie locali e globali tra due superfici. Esempi: il piano e' localmente isometrico al cilindro, ma non globalmente isometrico.
12/11/2008, 14-16 (P)
Isometria locale tra il piano e il cono senza il vertice. Superfici localmente isometriche. Mappa di Gauss per una superficie orientabile. Differenziale della mappa di Gauss. Esempi: piano, sfera, cilindro, paraboloide iperbolico. Il differenziale della mappa di Gauss e' un'applicazione lineare autoaggiunta.
13/11/2008, 9-11 (P)
Seconda forma fondamentale di una superficie in un punto. Curvatura normale di una curva regolare su una superficie. Interpretazione geometrica della seconda forma fondamentale. Teorema di Meusnier. Curvatura di una sezione normale di una superficie lungo una direzione tangente. Esempi: piano, sfera, cilindro. Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Linee di curvatura. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Esempi. Punti iperbolici, ellittici, parabolici e planari. Esempi.
17/11/2008, 14-16 (C)
Matrici della seconda forma fondamentale e del differenziale della mappa di Gauss rispetto alla base del piano tangente indotta da una parametrizzazione locale. Esempio: l'elicoide.
18/11/2008, 10-11 (P)
Punti planari, punti umbilicali: esempi. Se una superficie connessa orientata ha tutti i punti umbilicali, allora e' contenuta o in una sfera o in un piano.
19/11/2008, 14-16 (P)
Direzioni asintotiche e linee asintotiche. Indicatrice di Dupin. Equazione differenziale delle linee asintotiche. Condizione necessaria e sufficiente affinche' in un intorno di un punto iperbolico le curve coordinate siano linee asintotiche. Esercizi su prima e seconda forma fondamentale, natura dei punti, linee asintotiche, isometrie.
20/11/2008, 9-11 (C)
Simboli di Christoffel, espressione in termini dei coefficienti della prima forma fondamentale e delle loro derivate. Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di Gauss e di Mainardi-Codazzi. Teorema di Bonnet (solo enunciato).
24/11/2008, 14-16 (C)
Comportamento locale di una superficie rispetto al piano tangente affine. Prima e seconda forma fondamentale delle superfici di rotazione, curvatura gaussiana e natura dei punti.
25/11/2008, 10-11 (C)
Superfici di rotazione che intersecano l'asse di rotazione.
26/11/2008, 14-16 (P)
Equazione differenziale delle linee di curvatura. Superfici rigate. Esempi: coni e cilindri su curve piane, iperboloide iperbolico. Punti regolari, calcolo della curvatura Gaussiana nei punti regolari.
27/11/2008, 9-11 (C)
Campi vettoriali lungo una curva e derivata covariante. Espressione della derivata covariante in coordinate locali. Campi vettoriali paralleli lungo una curva, esistenza e unicita` per ogni valore assegnato in un punto. Trasporto parallelo. Geodetiche. Equazioni differenziali delle geodetiche, esistenza e unicita` locale della geodetica per un punto con vettore tangente assegnato (senza dimostrazione). Le isometrie locali preservano la derivata covariante, i campi vettoriali paralleli e le geodetiche.
1/12/2008, 14-16 (C)
Proprieta` delle geodetiche. Geodetiche del piano, della sfera e del cilindro. Curvatura geodetica. Angoli tra vettori in R^3, determinazione continua dell'angolo tra due campi vettoriali lungo una curva su una superficie orientata. Formula per la curvatura geodetica in una parametrizzazione locale ortogonale.
2/12/2008, 10-11 (C)
Poligoni curvilinei su una superficie. Regioni regolari, regioni regolari semplici. Integrale di una funzione continua su una regione regolare contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale. Teorema di Gauss-Bonnet locale.
3/12/2008, 14-16 (P)
La pseudosfera di Beltrami. Calcolo di prima, seconda forma fondamentale, curvatura Gaussiana. Calcolo esplicito delle geodetiche. Superfici sviluppabili. Esempi.
4/12/2008, 9-11 (C)
Triangolazioni di una regione regolare. Integrale di una funzione continua su una regione regolare. Caratteristica di Eulero-Poincare' di una regione regolare. Classificazione topologica delle superfici compatte e connesse in R^3 (solo enunciato). Orientazione positiva del bordo di una regione regolare su una superficie orientata. Teorema di Gauss-Bonnet, enunciato e inizio della dimostrazione.
10/12/2008, 14-16 (C)
Fine della dimostrazione del teorema di Gauss-Bonnet. Applicazioni ai triangoli geodetici e alle superfici compatte. Ogni superficie compatta contiene un aperto di punti ellittici. Esercizi.
11/12/2008, 9-11 (P)
Esempi di superfici sviluppabili. Esercizi su isometrie, geodetiche, linee asintotiche.
15/12/2008, 14-16 (P)
Omotopia di applicazioni continue tra due spazi topologici. Omotopia relativamente ad un sottoinsieme. L'omotopia e` una relazione di equivalenza. Esempi. Spazi omotopicamente equivalenti. L'equivalenza omotopica e` una relazione di equivalenza. Spazi contraibili. R^n e` contraibile. Esempi. Retrazioni, retratti di deformazione e retratti di deformazione forte. Esempi ed esercizi.
16/12/2008, 10-11 (C)
Esercizi su equivalenza omotopica. Richiami sugli archi in uno spazio topologico, arco inverso, prodotto di archi. Omotopia di archi. Lemma di incollamento.
17/12/2008, 14-16 (C)
Proprieta' del prodotto di archi rispetto all'equivalenza di archi. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Presi due punti base nella stessa componente c.p.a., i gruppi fondamentali sono isomorfi. Omomorfismo tra gruppi fondamentali indotto da un'applicazione continua. Cenni su categorie e funtori. Il gruppo fondamentale definisce un funtore dalla categoria degli spazi topologici con punto base alla categoria dei gruppi.
18/12/2008, 9-11 (C)
Il gruppo fondamentale e` invariante per equivalenza omotopica. Spazi topologici semplicemente connessi. Esempi: le sfere (senza dim.) Retrazioni e gruppo fondamentale, caso dei retratti di deformazione, esempi. Il gruppo fondamentale di un prodotto; il toro. Il piano meno due punti e` omotopicamente equivalente al bouquet di due circonferenze.
7/1/2009, 14-16 (P)
Il gruppo fondamentale della circonferenza e' isomorfo a Z. Dimostrazione.
8/1/2009, 9-11 (C)
Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse.
12/1/2009, 14-16 (C)
Esercizi su equivalenza omotopica e gruppo fondamentale. Gli spazi proiettivi complessi sono semplicemente connessi.
13/1/2009, 10-12 (P)
Esercizi su curve in R^3, su omotopia e gruppo fondamentale.