Corso della Laurea Specialistica in Matematica, a.a. 07/08, 60 ore, 7 crediti.
Orario: lunedi' 11-13 aula E9, martedi' 14-16 aula E10, giovedi' 9-11 aula E10.
Ricevimento: giovedi' 11.30-12.30, oppure su appuntamento.
La prima lezione, di introduzione al corso, sara' lunedi' 1/10.
L'ULTIMA LEZIONE sara' lunedi' 10/12. Nel corso della lezione sara' consegnato il testo del COMPITINO (ATTENZIONE al testo dell'esercizio 4, ho corretto un'imprecisione) da svolgere a casa, da riconsegnare lunedi' 17/12 entro le ore 16, nella mia casella di posta. Sempre durante l'ultima lezione verranno dati agli studenti i QUESTIONARI sulla didattica da compilare, quindi invito tutti a essere presenti.
Programma.
Correzioni di alcuni esercizi proposti a lezione:
15/10/2007
7/11/2007
3/12/2007
Correzione del compitino
Registro delle lezioni
1/10/2007, 11-13
Introduzione al corso. Richiami di algebra commutativa: anelli, ideali, campi, anelli di polinomi. Anelli noetheriani. Algebre su un campo.
2/10/2007, 14-16
Chiusi algebrici dello spazio affine, topologia di Zariski, esempi. Ideale di un chiuso algebrico, proprieta'. Irriducibilita' e scomposizione in irriducibili, spazi topologici noetheriani. Caratterizzazioni topologiche dell'irriducibilita' e in termini di I(X).
4/10/2007, 9-11
Ideali massimali dell'anello di polinomi, il Nullstellensatz di Hilbert. Corrispondenza tra chiusi algebrici e ideali radicali quando il campo e' algebricamente chiuso. Esempi ed esercizi su chiusi algebrici e ideali.
8/10/2007, 11-13
Funzioni regolari su un chiuso affine, anello delle coordinate. Morfismi, pull-back, corrispondenza tra chiusi algebrici affini e k-algebre finitamente generate prive di nilpotenti. Esempi. Automorfismi della retta e del piano affine, la congettura jacobiana.
9/10/2007, 14-16
Prodotti di chiusi algebrici affini, ideale di un prodotto, irriducibilita'. Esercizi. Richiami su spazio proiettivo, coordinate omogenee, e polinomi omogenei.
11/10/2007, 9-11
Ideali omogenei dell'anello di polinomi. Chiusi algebrici nello spazio proiettivo, topologia di Zariski, Nullstellensatz proiettivo. Relazione tra chiusi proiettivi e chiusi delle carte affini. Varieta' quasi proiettive, scomposizione in irriducibili.
15/10/2007, 11-13
Funzioni regolari su varieta' quasi proiettive, definizione e proprieta'. Le funzioni regolari sullo spazio proiettivo sono le costanti. Funzioni regolari sulla retta affine meno l'origine. Esercizi.
16/10/2007, 14-16
Applicazioni regolari tra varieta' quasi proiettive, caratterizzazioni equivalenti. Esempi: proiettivita', coniche piane, cubica gobba. Varieta' affini, relazioni con l'algebra delle funzioni regolari, esempi. Varieta' proiettive. Il piano meno l'origine non e' affine.
18/10/2007, 9-11
Curve razionali normali. Aperti principali di una varieta' affine, proprieta'. Ogni varieta' quasi proiettiva ha un ricoprimento di aperti affini. Prodotti di varieta' quasi proiettive, applicazione di Segre.
22/10/2007, 11-13
Proprieta' dei prodotti: i chiusi sono definiti da polinomi biomogenei, le proiezioni sono regolari, la diagonale e' un chiuso, il grafico di un morfismo e' un chiuso. Descrizione della quadrica di P^3 come prodotto. L'immagine di una varieta' proiettiva tramite un morfismo e' chiusa, enunciato e corollari: ogni varieta' proiettiva e' un chiuso proiettivo, le funzioni regolari su una varieta' proiettiva sono costanti.
23/10/2007, 14-16
Dimostrazione che l'immagine di una varieta' proiettiva tramite un morfismo e' chiusa. Esercizi. L'applicazione di Veronese di grado 2, la superficie di Veronese.
25/10/2007, 9-11
L'algebra esterna di uno spazio vettoriale. La grassmanniana G(r,n) come insieme delle classi dei vettori scomponibili nel proiettivizzato della potenza esterna (r+1)-esima di k^{n+1}.
29/10/2007, 11-13
Equazioni della grassmanniana immersa con l'applicazione di Plucker, esercizi su G(1,3). Applicazioni razionali tra varieta' quasi proiettive, l'algebra delle funzioni razionali k(X). Se X e' affine e irriducibile, k(X) e' il campo dei quozienti di k[X].
30/10/2007, 14-16
Applicazioni razionali dominanti, composizione di applicazioni razionali, applicazioni birazionali. Pull-back associato ad un'applicazione razionale dominante. Due varieta' irriducibili sono birazionali se e solo se i loro campi delle funzioni razionali sono isomorfi su k. Esempi.
5/11/2007, 11-13
Correzione di esercizi assegnati durante le lezioni.
6/11/2007, 14-16
Varieta' razionali, le quadriche irriducibili sono razionali. Curve piane razionali. Richiami su estensioni di campi, dipendenza e indipendenza algebrica. Se X e' una varieta' quasi proiettiva irriducibile, k(X) e' finitamente generato su k.
8/11/2007, 9-11
Basi di trascendenza e grado di trascendenza di un'estensione di campi finitamente generata. Campo delle funzioni razionali di un'ipersuperficie affine irriducibile. Ogni varieta' irriducibile e' birazionale a un'ipersuperficie affine irriducibile. Dimensione di varieta' quasi proiettive, relazione tra la dimensione di X e la dimensione dei suoi chiusi.
12/11/2007, 11-13
Dimensione di un prodotto. Dimensione dell'intersezione di un chiuso proiettivo con un'ipersuperficie, enunciato senza dimostrazione. Corollari. Definizione topologica di dimensione.
13/11/2007, 14-16
Dimensione delle fibre di un morfismo. Criterio di irriducibilita' del dominio nel caso proiettivo. Esempi.
15/11/2007, 9-11
Grassmanniane: irriducibilita', razionalita' e dimensione, studio del diagramma di incidenza dato dalla famiglia universale. Esercizi.
19/11/2007, 11-13
Ipersuperfici proiettive di grado d, parametrizzazione tramite il proiettivizzato dello spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado d. Il luogo delle classi dei polinomi riducibili/non ridotti e' un chiuso. Esempi. Rette su superfici di P^3, studio tramite diagramma di incidenza.
20/11/2007, 14-15
Anello locale di una varieta' quasi proiettiva in un punto, prime proprieta'.
21/11/2007, 12-13
Anello locale di una varieta' affine in un punto, isomorfismo con la localizzazione dell'anello delle funzioni regolari rispetto all'ideale massimale del punto.
22/11/2007, 9-11
Esempi di anelli locali di varieta'. Spazio tangente di un chiuso affine come sottospazio affine dello spazio ambiente.
26/11/2007, 11-13
Il differenziale di funzioni regolari induce un isomorfismo tra m_p/(m_p)^2 e lo spazio cotangente. Spazio tangente a una varieta' quasi proiettiva come spazio vettoriale duale di m_p/(m_p)^2. Differenziale di un morfismo. Semicontinuita' superiore della dimensione dello spazio tangente. Se X e' irriducibile, la dimensione dello spazio tangente coincide con la dimensione di X su un aperto.
27/11/2007, 14-16
Dimensione locale in un punto, punti singolari. Se p e' non singolare, l'anello locale e' un dominio a fattorizzazione unica (senza dimostrazione). Applicazioni: un punto che appartiene a piu' componenti irriducibili e' singolare, l'insieme dei punti lisci e' un aperto denso. Ideale locale di un chiuso in un punto. L'ideale locale di un chiuso e' principale se e solo se l'ideale del chiuso e' principale in qualche intorno affine del punto.
29/11/2007, 9-11
Chiusi di codimensione 1, relazione con la principalita' dell'ideale locale quando l'anello locale e' un dominio a fattorizzazione unica. Ogni applicazione razionale da una varieta' non singolare a una varieta' proiettiva e' definita in codimensione 1. Applicazioni, caso delle curve. Esempi.
3/12/2007, 11-13
Correzione di esercizi assegnati durante le lezioni.
4/12/2007, 14-16
Spazio tangente proiettivo. Singolarita' di ipersuperfici proiettive. Le ipersuperfici singolari formano un'ipersuperficie irriducibile nello spazio proiettivo che parametrizza le ipersuperfici di grado d in P^n. Esempi, caso delle coniche piane.
6/12/2007, 9-11
Varieta' quasi proiettive complesse, confronto tra la topologia euclidea e quella di Zariski, la compattezza equivale all'essere proiettivo. Caso non singolare: strutture di varieta' topologica, differenziabile reale, analitica complessa. Caso di dimensione 1, genere. Varieta' delle secanti di una varieta' proiettiva.
10/12/2007, 11-13
Criterio locale di isomorfismo in termini del differenziale (senza dimostrazione). Ogni varieta' proiettiva non singolare di dimensione n e' isomorfa a un chiuso nello spazio proiettivo di dimensione 2n+1.