Curve algebriche e superfici di Riemann 09/10

Corso tenuto insieme ad Alberto Canonaco.

Laurea Magistrale in Matematica, a.a. 09/10, primo semestre, 48 ore, 6 crediti.

Orario: lunedi' 11-13 nel laboratorio didattico, giovedi' 14-16 in aula C8. Inizio delle lezioni: giovedi' 1/10.

Ricevimento studenti: su appuntamento.

Registro delle lezioni

1/10/2009, 14-16 (C)

Introduzione al corso. Richiami su funzioni olomorfe e singolarità isolate. Carte complesse, compatibilità tra carte. Atlanti complessi e strutture complesse. Superfici di Riemann, struttura topologica e differenziabile reale, genere topologico di una superficie di Riemann compatta. Esempi: il piano complesso, la sfera di Riemann, i tori complessi.

5/10/2009, 11-13 (A)

Il grafico di una funzione olomorfa e' una superficie di Riemann. Curve piane affini; una curva piana affine irriducibile e liscia e' una superficie di Riemann non compatta. Definizione di varieta' complessa; lo spazio proiettivo P^n e' una varieta' complessa compatta di dimensione n. Curve piane proiettive; una curva piana proiettiva liscia e' una superficie di Riemann compatta.

8/10/2009, 14-16 (A)

Intersezioni complete (cenni); una curva intersezione completa liscia o intersezione completa locale liscia e connessa e' una superficie di Riemann compatta (solo enunciato). Funzioni olomorfe su una superficie di Riemann. Singolarita' delle funzioni olomorfe e funzioni meromorfe su una superficie di Riemann. Ordine di una funzione meromorfa in un punto e sue proprieta'.

12/10/2009, 11-13 (C)

Proprieta' di funzioni olomorfe e meromorfe su una superficie di Riemann. Le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono le funzioni razionali. Applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann, proprieta'. La sfera di Riemann e' isomorfa alla retta proiettiva complessa.

15/10/2009, 14-16 (C)

Pull-back di funzioni olomorfe e meromorfe. Corrispondenza tra applicazioni olomorfe nella sfera di Riemann e funzioni meromorfe. Funzioni meromorfe su curve affini e proiettive date da quozienti di polinomi. Forma normale locale di un'applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann, molteplicita' in un punto.

19/10/2009, 11-13 (A)

Punti di ramificazione e di diramazione di una funzione olomorfa non costante tra superfici di Riemann. Grado di una funzione olomorfa non costante tra superfici di Riemann compatte; una tale funzione e' un isomorfismo se e solo se ha grado 1. Una superficie di Riemann compatta che ammette una funzione meromorfa globale con un solo polo semplice e' isomorfa a P^1. La somma sui punti di una superficie di Riemann compatta dell'ordine di una funzione meromorfa nel punto e' 0. Formula di Hurwitz.

22/10/2009, 14-16 (A)

Conseguenze della formula di Hurwitz sull'esistenza e sulla ramificazione di funzioni olomorfe non costanti tra due superfici di Riemann compatte in base ai valori del genere. Il gruppo degli automorfismi di P^1 e' PGL_2(C). Funzioni teta e funzioni meromorfe globali su un toro complesso. Classificazione delle funzioni olomorfe non costanti tra due tori complessi e loro grado.

26/10/2009, 11-13 (C)

Classi di isomorfismo di tori complessi. Struttura complessa su un rivestimento di una superficie di Riemann. Caso dei rivestimenti regolari; quoziente di una superficie di Riemann per l'azione libera e propriamente discontinua di un sottogruppo degli automorfismi. Enunciato del teorema di uniformizzazione e conseguenze. Richiami su 1-forme complesse C^{infty}, olomorfe e meromorfe su un aperto del piano complesso; integrali su cammini.

29/10/2009, 14-16 (C)

1-forme C^{infty}, olomorfe e meromorfe su una superficie di Riemann. Integrali di 1-forme su cammini C^{infty} a tratti. Ordine e residuo di una 1-forma meromorfa in un punto. Descrizione delle 1-forme meromorfe sulla sfera di Riemann. Esempio di 1-forma olomorfa e mai nulla su un toro complesso. 1-forme definite da differenziali di funzioni.

5/11/2009, 14-16 (A)

Prefasci (di gruppi, anelli, moduli, o di moduli su un prefascio di anelli) e fasci su uno spazio topologico; esempi. Spiga di un (pre)fascio in un punto. Morfismi di (pre)fasci; esempi. Condizione necessaria e sufficiente perche' un sottoprefascio di un fascio sia un fascio. Nucleo e immagine di un morfismo di fasci.

9/11/2009, 11-13 (A)

Un morfismo di fasci e' iniettivo se e solo se lo e' sulle sezioni di ogni aperto, ed e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo e suriettivo. Successioni esatte di fasci; una successione di fasci e' esatta se e solo se lo e' sulle spighe. Esattezza a sinistra (ma non a destra) di Gamma(X,-). Complesso delle cocatene e gruppi di coomologia (di Cech) di un fascio rispetto a un ricoprimento aperto; funtorialita'. Passaggio a un ricoprimento piu' fine.

12/11/2009, 14-16 (C)

2-forme C^{infty} su una superficie di Riemann. Domini regolari, orientazione naturale del bordo. Integrale di una 2-forma su un dominio regolare. 2-forme definite da differenziali di 1-forme, 1-forme chiuse e esatte. Lemma di Poicare' e Lemma di Dolbeault (solo enunciati).

16/11/2009, 11-13 (C)

Teorema di Stokes e teorema dei residui. Pull-back di 1-forme. Divisori su superfici di Riemann. Divisori principali e canonici. Grado di un divisore su una superficie di Riemann compatta. Pull-back di divisori tramite un'applicazione olomorfa non costante. Divisore di ramificazione, pull-back di un divisore canonico. Un divisore canonico su una superficie di Riemann compatta che possiede funzioni meromorfe non costanti ha grado 2g-2.

19/11/2009, 14-16 (A)

Passando a un ricoprimento piu' fine la mappa indotta su H^1 e' iniettiva. Limiti diretti. Gruppi di coomologia di un fascio per passaggio al limite sui ricoprimenti. Isomorfismo tra H^0(X,-) e Gamma(X,-). Successione esatta di coomologia (fino ad H^1) indotta da una successione esatta corta di fasci; successione esatta lunga se lo spazio topologico e' paracompatto (solo enunciato).

23/11/2009, 11-13 (A)

Ogni 1-cociclo e' una cocatena alternante. H^n(X,F)=0 per n>0 se F e' un fascio grattacielo concentrato in un punto chiuso o se X e' una varieta' differenziabile e F e' un fascio di C^{infty}-moduli (dimostrato solo per n=1). Fascio delle parti principali su una superficie di Riemann. Mappa dei residui per una superficie di Riemann compatta. Estensione della mappa dei residui a tutto H^1(Omega^1_X).

26/11/2009, 14-16 (C)

Equivalenza lineare di divisori, gruppo di Picard. Il gruppo di Picard della sfera di Riemann e' isomorfo a Z tramite il grado. Mappa di Abel-Jacobi per un toro complesso; isomorfismo indotto (di gruppi) tra Pic^0(X) e X. Fasci di O_X moduli associati a un divisore: O_X(D) e Omega^1_X(D). Divisori linearmente equivalenti definiscono fasci isomorfi. Se X ha un divisore canonico K, Omega^1_X(D) e' isomorfo a O_X(D+K). Se X e' compatta e deg D<0, H^0(O_X(D))={0}. Sezioni globali dei fasci O_X(D) sulla sfera di Riemann.

30/11/2009, 11-13 (C)

Su una superficie di Riemann compatta X, gli spazi vettoriali H^0(O_X(D)) hanno dimensione finita. Lo spazio vettoriale H^1(O_X) ha dimensione finita (solo enunciato). Teorema di Riemann-Roch in forma debole. Applicazioni: X possiede funzioni meromorfe non costanti, 1-forme meromorfe non nulle, e divisori canonici; per ogni punto p esiste una funzione olomorfa e non costante su X-p. Dualita' di Serre: costruzione dell'applicazione e inizio della dimostrazione.

3/12/2009, 14-16 (A)

Corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni olomorfe da una superficie di Riemann a P^n e P^n sul campo delle funzioni meromorfe. Sistema lineare completo definito da un divisore su una superficie di Riemann compatta e corrispondenza biunivoca tra |D| e P(L(D)); sistemi lineari. Sistema lineare definito da una funzione olomorfa da una superficie di Riemann compatta a P^n. Punti base di un sistema lineare.

10/12/2009, 14-16 (A)

Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei sistemi lineari senza punti base di dimensione n su una superficie di Riemann compatta X e l'insieme delle funzioni olomorfe con immagine non degenere da X a P^n, quozientato per l'azione di PGL_n+1(C). Immersioni olomorfe in P^n, curve proiettive lisce e divisori molto ampi. Criteri numerici per verificare se un divisore e' senza punti base o molto ampio; divisori senza punti base e molto ampi su P^1 e sui tori complessi.

14/12/2009, 11-13 (C)

Fine della dimostrazione della dualita' di Serre. Applicazioni: uguaglianza dei tre generi, teorema di Riemann-Roch. Ogni divisore di grado almeno 2g e' senza punti base, di grado almeno 2g+1 e' molto ampio; ogni superficie di Riemann compatta e' isomorfa ad una curva proiettiva liscia. Teorema di Chow (solo enunciato): ogni curva proiettiva liscia e' il luogo di zeri di polinomi omogenei. Applicazioni della dualita' di Serre alla mappa dei residui e al problema di Mittag-Leffler.

17/12/2009, 14-16 (C)

Grado di una curva proiettiva liscia. Divisore dato da un polinomio omogeneo, teorema di Bezout. Grado di curve non degeneri, le curve di grado minimo sono le curve razionali normali. Il grado di una curva piana coincide con il grado della proiezione da un punto esterno alla curva. Se una curva piana e' definita da un polinomio omogeneo irriducibile, il suo grado coincide con il grado del polinomio; formula di Plucker.

7/1/2010, 14-16 (A)

Ogni curva piana proiettiva liscia e' luogo di zeri di un polinomio omogeneo non singolare. Una superficie di Riemann compatta ha genere 1 se e solo se e' un toro complesso (cenni di dimostrazione), se e solo se e' una cubica piana proiettiva liscia. Divisori speciali e teorema di Clifford. Superfici di Riemann compatte iperellittiche; esempi. Il sistema lineare canonico e' senza punti base se g>0; mappa canonica.

8/1/2010, 9-11 (A)

Per una superficie di Riemann compatta X la mappa canonica e' un'immersione olomorfa se e solo se X non e' iperellittica; X e' sempre iperellittica per g<3, mentre X non e' iperellittica se e solo se X e' una quartica piana proiettiva liscia per g=3; le curve piane proiettive lisce non sono iperellittiche. Ogni curva proiettiva liscia ammette un'immersione olomorfa in P^3. Forma geometrica del teorema di Riemann-Roch.

11/1/2010, 11-13 (C)

Le superfici di Riemann compatte di genere g>1 dipendono da 3g-3 parametri.