UNIDAD 4: DERIVADAS

CONCEPTOS        >>EJEMPLOS<<

4.1 Conceptos de incremento y razón de cambio. La derivada de una función.                                                      

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de en el instante t. Por ejemplo

  • El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

  • La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

  • El volumen de un globo mientras se infla

  • La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en desde el tiempo hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en con respecto del cambio "t en t,por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de es

'Razón de cambio'

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada


FUENTE: RINCON DEL VAGO


4.2 La interpretación geométrica de la derivada.                                                                                               


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

FUENTE: VITUTOR




4.3 Concepto de diferencia. Interpretación geométrica de las diferenciales.                                                         

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta         derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función    se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida      como cálculo.

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.


4.4 Propiedades de la derivada.


4.5 Regla de la cadena.                                                                                                                                    

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4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación.                                                                                    





4.7 Derivadas de orden superior y regla de L"Hopital.                                                                                        


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4.8 Derivada de funciones implícitas.                                                                                                                  

Derivar implicitamente





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