Mestrado Integrado Em Engenharia do Ambiente
Métodos de Interpolação
Trabalho Realizado por:
Ana Catarina Gomes Nº 21833
Tânia Charneca Nº 21979
Tânia Teixeira Nº 21850
8 de Junho de 2007
Objectivo
O objectivo deste trabalho é construir uma carta de precipitação com o menor erro possível, tendo por base o ficheiro vectorial rain.vct. Este refere-se à região da Sahel na África Ocidental (Fig.1) para a qual se pretende estimar a precipitação recorrendo aos algoritmos da interpolação.
Introdução
O Sahel é a região compreendida entre o deserto do Sahara e as terras mais férteis a Sul, este inclui países como o Senegal, a Mauritânia, o Mali, o Burkina Faso, o Níger, a parte norte da Nigéria, o Chade, o Chade, o Sudão, a Etiópia, a Eritreia, o Djibouti e a Somália. Este termo por vezes é usado para designar os países da África ocidental, onde existe um complexo sistema de estudo da precipitação. A vegetação dominante é de savana, mas como possui uma zona envolvente com uma flora muito diversificada, esta protege-a dos ventos proveniente do Sahara, mas apesar disso essa zona já tem sido afectada por longos período de seca, com graves consequências a nível Humano.
Fig.1 – Mapa do Sahel
A geoestatística é o modelo usado neste trabalho, isto define que os “pontos próximos no espaço tendem a ter valores mais parecidos do que os pontos afastados”, isto implica que tem de haver uma autocorrelação, continuidade e dependência espacial. Para tal recorre-se à interpolação que é um método que permite fazer-se uma estimativa do valor de um atributo em locais não amostrados baseado em pontos amostrados na mesma região. Segundo o Tobler’s Law of Geography, o raciocínio que a interpolação tem por base é, que em média, os valores do atributo tendem a ser similares em locais mais próximos do que em locais mais afastados.
A interpolação espacial converte dados de observações pontuais, ficheiro em formato vectorial, para campos contínuos, ficheiro em formato raster, (este formato é o mais utilizado para comparar mapas, efectuar operações algébricas ou adicionar vários layers à mesma imagem). A interpolação espacial é muito importante para fornecer isolinhas para visualização geográfica, calcular o atributo da superfície num determinado ponto ou pontos, alterar a unidade espacial que permite a comparação quando se usa estruturas de dados em diferentes layers e ajudar o processo de decisão espacial. Muitas das técnicas de interpolação espacial são desenvolvimentos a duas dimensões dos métodos unidimensionais desenvolvidos para análise de séries temporais.
Os procedimentos de interpolação usados no trabalho foram a Análise de Tendências, o Inverso da Distância Pesada, os Polígonos de Thiessen e a Variografia mais Kriging.
Metodologia
O fluxograma que se segue, figura 2, apresenta os processos intervenientes na interpolação espacial do ficheiro rain.vct. Para a obtenção desses mapas foram usados 4 métodos, que mais à frente serão descritos.
Fig.2 – Fluxograma dos processos intevenientes na interpolação espacial.
Para a determinação da Análise de tendências e do Histograma é necessário proceder à transformação dos dados vectoriais do ficheiro de precipitação para formato raster. Assim, foi necessário proceder à criação duma matriz vazia, pelo comando Initial, e ao seu preenchimento, pelo comando Pointras.
Para as restantes 3 interpolações espaciais não é necessária a utilização destes comandos pois pode-se proceder ao seu tratamento em formato vectorial.
Resultados
Para elaborar a carta de precipitação teve-se por base o ficheiro rain (vectorial), Fig.3.
Fig. 3 - Precipitação no Oeste de África (vectorial)
Verifica-se que há um aumento da precipitação de Norte para Sul e de Oeste para Este o que indica que existe uma tendência espacial numa direcção. Fez-se um histograma para se poder analisar melhor os dados quantitativamente (Fig.4).
Fig. 4 – Histograma dos dados recolhidos
A partir da análise da imagem da Fig. 4 verifica-se que cada classe tem uma amplitude de 5 mm, a média é 147,943, o valor mínimo de precipitação é de 0 mm e o máximo é de 228 mm, existem 261 amostras e o desvio padrão é de 42,042. Verifica-se também que existe mais precipitação na zona entre os 165 e os 175 mm do que noutras classes.
Como não estão disponíveis dados para toda a região em estudo e o objectivo é criar uma carta de precipitação, é necessário proceder a métodos que permitem estimar esses valores através de valores disponíveis. Para isso tem que se interpolar os valores entre os pontos conhecidos para se criar uma superfície contínua. Por último, procede-se ao cálculo dos erros associados a cada método de interpolação para se determinar a melhor superfície de estimação, a partir dos valores teóricos de precipitação ( Quadro 1) e os valores reais para as mesmas coordenadas.
Quadro 1- Valores tóricos de precipitação para 6 pontos, e respectivas coordenadas.
Para a obtenção duma superficie contínua, recorreu-se a 4 métodos de interpolação: análise de tendências, inverso do quadrado da distância, polígonos de Thiessen e Kriging.
Análise de tendência
A análise de tendência é um método para mostrar as tendências em larga escala dos dados ou padrões nos dados em análise e não um método que calcula valores desconhecidos. A base estatística são polinómios: linear,quadrática e cúbica (Fig. 5 e 6, 7 e 8, 9 e 10)
Fig. 5 – Análise de Tendências linear
Fig. 6 – Resultados da análise de tendência linear
Fig. 7 – Análise de Tendência quadrática
Fig. 8 – Resultados da análise de tendência quadrática
Fig. 9 – Análise Tendência cúbica
Fig. 10 – Resultados da análise de tendência, cúbica
Através dos resultados das análises de tendência verifica-se que a que tem um coeficiente de correlação melhor é a análise de tendência de ordem 3 (cúbica) - R2=85,96.
Inverso do quadrado da distância
Este método estima valores desconhecidos para localizações específicas a nível local utilizando uma média dos pontos circundantes em função da distância.
Fig. 11 – Inverso da distância
Também como na análise de tendência verifica-se que existe um comportamento direccional.
Polígonos de Thiessen
É um método de transformação de dados pontuais para áreas, é local e determinista. Para este método é necessário converter os valores de real para integer. Toda a área do polígono tem o mesmo valor de preciptação.
Fig. 12 - Janela dos polígonos de Thiessen
Fig. 13 – Polígonos de Thiessen
Kriging
É um método que se baseia na diferença da variância com o aumento da distância entre dois pontos.
O primeiro passo é analisar os padrões espaciais do conjunto de dados. Para isso obteve-se a nuvem do variograma que traduz a forma como os valores da semivariância estão dispostos no espaço (Fig. 14). Através da nuvem do variograma percebe-se que os dados apresentam um comportamento direccional.
Fig. 14 – Nuvem do variograma
Para analisar as direcções em que a variabilidade espacial ocorre construiu-se um variograma omnidireccional que tem em conta todas as direcções (Fig. 15).
Fig. 15 – Variograma omnidireccional
Verifica-se que a variabilidade aumenta quando aumenta a distância entre os pares de pontos. As distâncias são agrupadas em intervalos e designadas por uma ordem sequencial a que corresponde um lag. Pela figura 15, vê-se que a lag distance é 40,718 o que significa que os lag distam entre si 40,718 km.
Clicando em h-scaterplot obteve-se o gráfico da Fig. 15. Este gráfico mostra os pares de dados e respectivos valores da precipitação no primeiro lag. Pela forma como os pontos estão dispostos no gráfico (na linha 45º), indica que estão correlacionados no espaço. Verifica-se que existem pontos que estão mais distantes dos restantes mas nenhum que se possa considerar outlier.
Fig. 16 - H-Scatterplot
Construiu-se 2 variogramas direccionais, a 95º e a 5º os quais foram comparados com o variograma omnidireccional. (Fig. 17)
Fig. 17 – Variograma omnidireccional e direccional a 95º e 5º
Pode-se observar que que existem alterações aos 200 e 300 km. Isto pode dever-se ao facto de existirem 3 padrões de variabilidade em diferentes escalas, que pode estar dependente de razões de ordem climatológica na região. A partir do variograma omnidireccional retira-se 3 valores dos sues parâmetros que servem para fazer o ajuste de um modelo aos pontos. Os valores são:
Nugget = 240
Range = 200
Sill = 550
O modelo que melhor se ajustou aos pontos foi o modelo de Gauss como mostra a figura 18.
Fig. 18 – Modelo ajustado, Gauss
Este modelo ajustou-se apenas até a distâncias entre pares de 200 aproximadamente. Para pontos superiores a este valor o modelo não apresenta um bom ajuste.
Aplicando o algoritmo de interpolação kriging obtém-se uma superfície com os valores de precipitação estimados para toda a região em estudo (Fig.19) e uma superfície com as variâncias estimadas para a mesma região (Fig.20). A partir desta última consegue-se identificar as áreas onde a estimativa foi boa (variâncias baixas) e onde a estimativa foi pobre (variâncias altas).
Fig. 19 – Kriging
Fig.20 – Erros associados ao Kriginge o ficheiro rain
Análise comparativa
O quadro que se segue apresenta os valores de precipitação de cada um dos métodos de interpolação, obtidos para as coordenadas referentes aos 6 pontos teóricos do quadro 2.
Apresenta também os erros obtidos em cada um desses métodos em relação aos valores teóricos.
Quadro 2 – Dados associados aos métodos de interpolação e respectivos erros.
Para determinar a qual dos métodos pertence a melhor superficie de interpolação é necessário proceder ao cálculo do erro médio. O erro associado à interpolação espacial de cada um dos 6 pontos é determinado através da expressão:
Assim, o erro médio consiste na média dos erros destes 6 pontos. Considerando os valores das médias dos erros presentes no quadro 2, verfica-se que a melhor superficie de interpolação é a obtida pelo método do Inverso da distância pesada.
Conclusões
Para a elaboração da carta de precipitação recorreu-se a métodos de interpolação e à Geoestatística e concluiu-se que têm grande utilidade na estimação de valores de um mapa. Estes métodos são permitem estimar valores para uma área tendo por base valores pontuais na mesma região criando assim cartas, neste caso de precipitação.
Para escolher qual o método a aplicar é necesário ter em conta o tipo de carta que se quer. Neste trabalho o objectivo é criar uma carta de precipitação e como tal tem q ter uma superficíe contínua e não abrupta como acontece com os polígonos de Thiessen.
É necessário que o mapa seja coincidente com os dados originais, o que neste caso significa que tem q ter uma tendência espacial numa direcção. Todos os métodos de interpolação deram mapas em que se verifica um aumento da precipitação de Norte para Sul.
Por fim, é preciso escolher o mapa com o menor erro possível e analisando o quadro 2 verifica-se que a melhor superfíce de interpolação, ou seja, a que contém um menor erro, é a superfície obtida através do método do Inverso da distância.
Assim, o mapa de preciptação da região da Sahel na África Ocidental é estimado através do método do Inverso da distância.
Bibliografia
Seixas J. Métodos de Interpolação. Introdução à geoestatistica. [Online]. [2007] [acedido a 7 de Junho 2007]. Disponível em: http://air.dcea.fct.unl.pt/aulas/eatig/apoio/interpolacao.ppt
Sahel. [Online]. [2007] [acedido a 7 de Junho 2007]. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sahel