History topic: A history of the calculus

The main ideas which underpin the calculus developed over a very long period of time indeed. The first steps were taken by Greek mathematicians.

To the Greeks numbers were ratios of integers so the number line had "holes" in it. They got round this difficulty by using lengths, areas and volumes in addition to numbers for, to the Greeks, not all lengths were numbers.

Zeno of Elea, about 450 BC, gave a number of problems which were based on the infinite. For example he argued that motion is impossible:-

If a body moves from A to B then before it reaches B it passes through the mid-point, say B1 of AB. Now to move to B1 it must first reach the mid-point B2 of AB1 . Continue this argument to see that A must move through an infinite number of distances and so cannot move.

Leucippus, Democritus and Antiphon all made contributions to the Greek method of exhaustion which was put on a scientific basis by Eudoxus about 370 BC. The method of exhaustion is so called because one thinks of the areas measured expanding so that they account for more and more of the required area.

However Archimedes, around 225 BC, made one of the most significant of the Greek contributions. His first important advance was to show that the area of a segment of a parabola is 4/3 the area of a triangle with the same base and vertex and 2/3 of the area of the circumscribed parallelogram. Archimedes constructed an infinite sequence of triangles starting with one of area A and continually adding further triangles between the existing ones and the parabola to get areas

A, A + A/4 , A + A/4 + A/16 , A + A/4 + A/16 + A/64 , ...

The area of the segment of the parabola is therefore

A(1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + ....) = (4/3)A.

This is the first known example of the summation of an infinite series.

Archimedes used the method of exhaustion to find an approximation to the area of a circle. This, of course, is an early example of integration which led to approximate values of π.

Here is Archimedes' diagram

Among other 'integrations' by Archimedes were the volume and surface area of a sphere, the volume and area of a cone, the surface area of an ellipse, the volume of any segment of a paraboloid of revolution and a segment of an hyperboloid of revolution.

No further progress was made until the 16th Century when mechanics began to drive mathematicians to examine problems such as centres of gravity. Luca Valerio (1552-1618) published De quadratura parabolae in Rome (1606) which continued the Greek methods of attacking these type of area problems. Kepler, in his work on planetary motion, had to find the area of sectors of an ellipse. His method consisted of thinking of areas as sums of lines, another crude form of integration, but Kepler had little time for Greek rigour and was rather lucky to obtain the correct answer after making two cancelling errors in this work.

Three mathematicians, born within three years of each other, were the next to make major contributions. They were Fermat, Roberval and Cavalieri. Cavalieri was led to his 'method of indivisibles' by Kepler's attempts at integration. He was not rigorous in his approach and it is hard to see clearly how he thought about his method. It appears that Cavalieri thought of an area as being made up of components which were lines and then summed his infinite number of 'indivisibles'. He showed, using these methods, that the integral of xn from 0 to a was an+1/(n + 1) by showing the result for a number of values of n and inferring the general result.

Roberval considered problems of the same type but was much more rigorous than Cavalieri. Roberval looked at the area between a curve and a line as being made up of an infinite number of infinitely narrow rectangular strips. He applied this to the integral of xm from 0 to 1 which he showed had approximate value

(0m + 1m + 2m + ... + (n-1)m)/nm+1.

Roberval then asserted that this tended to 1/(m + 1) as n tends to infinity, so calculating the area.

Fermat was also more rigorous in his approach but gave no proofs. He generalised the parabola and hyperbola:-

Parabola:    y/a = (x/b)2  to  (y/a)n = (x/b)m

Hyperbola:   y/a = b/x  to  (y/a)n = (b/x)m.

In the course of examining y/a = (x/b)p, Fermat computed the sum of rp from r = 1 to r = n.

Fermat also investigated maxima and minima by considering when the tangent to the curve was parallel to the x-axis. He wrote to Descartes giving the method essentially as used today, namely finding maxima and minima by calculating when the derivative of the function was 0. In fact, because of this work, Lagrange stated clearly that he considers Fermat to be the inventor of the calculus.

Descartes produced an important method of determining normals in La Géométrie in 1637 based on double intersection. De Beaune extended his methods and applied it to tangents where double intersection translates into double roots. Hudde discovered a simpler method, known as Hudde's Rule, which basically involves the derivative. Descartes' method and Hudde's Rule were important in influencing Newton.

Huygens was critical of Cavalieri's proofs saying that what one needs is a proof which at least convinces one that a rigorous proof could be constructed. Huygens was a major influence on Leibniz and so played a considerable part in producing a more satisfactory approach to the calculus.

The next major step was provided by Torricelli and Barrow. Barrow gave a method of tangents to a curve where the tangent is given as the limit of a chord as the points approach each other known as Barrow's differential triangle.

Here is Barrow's differential triangle

Both Torricelli and Barrow considered the problem of motion with variable speed. The derivative of the distance is velocity and the inverse operation takes one from the velocity to the distance. Hence an awareness of the inverse of differentiation began to evolve naturally and the idea that integral and derivative were inverses to each other were familiar to Barrow. In fact, although Barrow never explicitly stated the fundamental theorem of the calculus, he was working towards the result and Newton was to continue with this direction and state the Fundamental Theorem of the Calculus explicitly.

Torricelli's work was continued in Italy by Mengoli and Angeli.

Newton wrote a tract on fluxions in October 1666. This was a work which was not published at the time but seen by many mathematicians and had a major influence on the direction the calculus was to take. Newton thought of a particle tracing out a curve with two moving lines which were the coordinates. The horizontal velocity x' and the vertical velocity y' were the fluxions of x and y associated with the flux of time. The fluents or flowing quantities were x and y themselves. With this fluxion notation y'/x' was the tangent to f(x, y) = 0.

In his 1666 tract Newton discusses the converse problem, given the relationship between x and y'/x' find y. Hence the slope of the tangent was given for each x and when y'/x' = f(x) then Newton solves the problem by antidifferentiation. He also calculated areas by antidifferentiation and this work contains the first clear statement of the Fundamental Theorem of the Calculus.

Newton had problems publishing his mathematical work. Barrow was in some way to blame for this since the publisher of Barrow's work had gone bankrupt and publishers were, after this, wary of publishing mathematical works! Newton's work on Analysis with infinite series was written in 1669 and circulated in manuscript. It was not published until 1711. Similarly his Method of fluxions and infinite series was written in 1671 and published in English translation in 1736. The Latin original was not published until much later.

In these two works Newton calculated the series expansion for sin x and cos x and the expansion for what was actually the exponential function, although this function was not established until Euler introduced the present notation ex.

Newton's next mathematical work was Tractatus de Quadratura Curvarum which he wrote in 1693 but it was not published until 1704 when he published it as an Appendix to his Optiks. This work contains another approach which involves taking limits. Newton says

In the time in which x by flowing becomes x+o, the quantity xn becomes (x+o)n i.e. by the method of infinite series,

xn + noxn-1 + (nn-n)/2 ooxn-2 + . . .

At the end he lets the increment o vanish by 'taking limits'.

Leibniz learnt much on a European tour which led him to meet Huygens in Paris in 1672. He also met Hooke and Boyle in London in 1673 where he bought several mathematics books, including Barrow's works. Leibniz was to have a lengthy correspondence with Barrow. On returning to Paris Leibniz did some very fine work on the calculus, thinking of the foundations very differently from Newton.

Newton considered variables changing with time. Leibniz thought of variables x, y as ranging over sequences of infinitely close values. He introduced dx and dy as differences between successive values of these sequences. Leibniz knew that dy/dx gives the tangent but he did not use it as a defining property.

For Newton integration consisted of finding fluents for a given fluxion so the fact that integration and differentiation were inverses was implied. Leibniz used integration as a sum, in a rather similar way to Cavalieri. He was also happy to use 'infinitesimals' dx and dy where Newton used x' and y' which were finite velocities. Of course neither Leibniz nor Newton thought in terms of functions, however, but both always thought in terms of graphs. For Newton the calculus was geometrical while Leibniz took it towards analysis.

Leibniz was very conscious that finding a good notation was of fundamental importance and thought a lot about it. Newton, on the other hand, wrote more for himself and, as a consequence, tended to use whatever notation he thought of on the day. Leibniz's notation of d and ∫ highlighted the operator aspect which proved important in later developments. By 1675 Leibniz had settled on the notation

y dy = y2/2

written exactly as it would be today. His results on the integral calculus were published in 1684 and 1686 under the name 'calculus summatorius', the name integral calculus was suggested by Jacob Bernoulli in 1690.

After Newton and Leibniz the development of the calculus was continued by Jacob Bernoulli and Johann Bernoulli. However when Berkeley published his Analyst in 1734 attacking the lack of rigour in the calculus and disputing the logic on which it was based much effort was made to tighten the reasoning. Maclaurin attempted to put the calculus on a rigorous geometrical basis but the really satisfactory basis for the calculus had to wait for the work of Cauchy in the 19th Century.

Article by: J J O'Connor and E F Robertson

Historia del cálculo

Por :Covadonga Escandón Martínez

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos.

Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:
Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.
Leucippo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Diagrama de Arquímedes

Diagrama de Arquímedes

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas
A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...
El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.

Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de
(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.
Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:
Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.
Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.
Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Triángulo de Barrow

Triángulo de Barrow

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.

Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.

En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo.

Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. Barrow tuvo algo de culpa ya que el editor de la obra de Barrow había quebrado y después de esto ¡otros tenían temor de publicar obras matemáticas! La obra de Newton sobre Análisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después.
En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex.

Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:
En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xn se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas,
xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ...
Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.

Leibniz aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672. También conoció a Hooke y a Boyle en Londres en 1673 donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow. Leibniz sostendría una larga correspondencia con Barrow. Al volver a París, Leibniz realizó un trabajo buenísimo sobre el cálculo, pensando en los fundamentos de manera muy distinta a Newton.

Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación
y dy = y²/2
escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía (28 libros/artículos)

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