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Valor absoluto

Valor absoluto


En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) onegativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnituddistancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,anillos ordenadoscuerpos o espacios vectoriales.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a\, está definido por:2

|a| = \begin{cases}   \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\        -a, & \mbox{si } a < 0  \end{cases}

Note que, por definición, el valor absoluto de a\, siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métricaen matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

[editar]Propiedades fundamentales

|a| \ge 0No negatividad
|a| = 0 \iff a = 0Definición positiva
 |ab| = |a| |b|\, Propiedad multiplicativa
|a+b| \le |a| + |b|Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

[editar]Otras propiedades

|-a| = |a|\,Simetría
|a-b| = 0 \iff a = bIdentidad de indiscernibles
|a-b| \le |a-c| + |c-b|Desigualdad triangular
|a-b| \ge ||a| - |b||(equivalente a la propiedad aditiva)
\left| \frac {a}{b}\right| =  \frac {|a|}{|b|} (si \ b \ne 0)Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

  • |a| \le b \iff -b \le a \le  b
  • |a| \ge b \iff  b \le a \le -b

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12


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