4. Competencias de Cálculo Diferencial

Establecer de manera práctica las competencias del programa de cálculo diferencial. Enlace

Un alumno que acredita la materia de cálculo diferencial debe contar con las siguientes competencias:

Unidad 1. Numeros Reales
Tema 1.5.0
Ecuaciones y desigualdades lineales
Ecuaciones
Una ecuación es un enunciado de igualdad entre dos expresiones.
Propiedades de la igualdad
Sean  u, v, w, y z números, variables o expresiones algebraicas reales.
 1.-  Reflexiva  u = u.
 2.-  Simétrica  Si u = v, entonces v = u.
 3.-  Transitiva  Si u = v  y  v = w, entonces u = w.
 4.-  Adición  Si u = v  y  w = z, entonces u + w = v + z.
 5.-  Multiplicación  Si u = v  y  w = z, entonces uw = vz.
 
Resolución de ecuaciones
Una solución de una ecuación en x es un valor de x para el que la ecuación es verdadera. Resolver una ecuación en x significa determinar todos los valores de x para los cuales la ecuación es verdadera; es decir, determinar todas las soluciones de la ecuación.
Ejemplo. Confirmación de una solución
Probar que x = 2 es una solución de la ecuación x^3+x-10=0
solución
(2)^3+(2)-10=0
8+2-10=0
10-10=0
0=0.
Desigualdades lineales en una variable
Utilizamos desigualdades para describir el orden en los números reales. Por ejemplo si x esta en la recta numérica, a  la izquierda de 5, o si x es cualquier número real menor que 5, escribimos x<5. La desigualdad más básica en álgebra es una desigualdad lineal.
 
Definición de desigualdad lineal en x
Una desigualdad lineal en x es aquella que puede escribirse en la forma  ax + b < 0,  ax + b <=0,  ax + b > 0, o ax + b => 0, donde a y b son números reales y a diferente de 0.
 
Resolver una desigualdad en x    significa determinar todos los valores de x para los que la desigualdad es verdadera.  Una solución de una desigualdad en x es un valor de x para el  que la desigualdad es verdadera. El conjunto de todas las soluciones de una desigualdad es el conjunto solución.
Propiedades de las desigualdades 
Sean  u, v, w, y z números, variables o expresiones algebraicas reales y sea c un número real.
 1.- Transitiva  Si u < v  y  v < w, entonces u < w.
 2.- Suma

 Si u < v, entonces u + w < v + w.

 Si u < v  y  w < z,  entonces u + w < v + z.

 3.- Multiplicación  Si u < v, y c > 0, entonces uc < vc.

 Si u < v  y c < 0,  entonces uc < vc.

Las propiedades anteriores se cumplen si < se reemplaza por <=. Existen propiedades análogas para > y =>.
 
Tema 1.5.1 Resolución de Desigualdades: Resolver desigualdades:

Entendemos por desigualdad una desigualdad con variables.
La solución de una desigualdad es el conjunto de valores que la satisface, es decir que al sustituírlos se cumple la desigualdad.
Este conjunto solución puede ser:
Un intervalo, una unión de intervalos o el conjunto vacio.
y estos se pueden representar en:
  • Notación de Conjuntos. S = {x | 1 < x < 5} U {x | x >= 8}
  • Parentesis y Corchetes ( 1,5 ) U [8,+ infinito )
  • Gráfica.
Debe solucionar:

Desigualdades:
  1. Lineales:
  2. Lineales con Valor Absoluto
  3. Cuadráticas
  4. Racionales Cuadráticas
Unidad 2. Funciones.

Dada una curva graficarla:(con sus translaciones)
  • Tipos:
  • Constante
  • Lineal
  • Raíz Lineal y Cuadrática.
  • Potencias con exponente 5
  • Raciona Lineal y Cuadratica.
Función composición.
(f o g)(x) = f(g(x))
Operaciones de la función.
 
Encontrar el Dominio y Rango de las funciones anteriores.

  • Composición.
  • Dom(f +g) = Dom(f) intersección Dom(g)
  • Dom(f/g) = (Dom(f) intersección Dom(g)) - {x| g(x) =0}
  • Dom(f o g) = Dom(g) intersección {x | g(x) pertenece Dom(f(x)}
Encontrar la función inversa

Preguntas:
Sea f la función definida como sigue f(x) = 1 para 0 <= x <= 1; f(x) = 2 para 1 < x <= 2. La función no esta definida si x < 0 o si x > 2.
a)  Trazar la gráfica de f
b)




Unidad 3  Limites y Continuidad.
Competencias:
  • Identificar los límites de manera gráfica.
  • Limites de un cociente de funciones (Cuadráticas, raíz, trigonométrica, constante)
  • Limites en la seccionalmente continua (lineal y cuadrática)
  • Cálculo de asíntotas (Racional cuadrática)
  • Continuidad referenciando a funciones seccionalmente continuas.



Unidad 5. Aplicaciones de las Derivadas
Movimiento Rectilineo
Concavidad y puntos de inflexión
Recta Normal Tangencial
Teorema de Rolle teorema del valor medio
Monotonia y funciones crecientes y decrecientes
Máximos y Mínimos
Calculo usando diferenciales


Calculo se invento en 250 a.c por Arquimedes

 

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