buengbang20

เลือกไซต์นี้

ผู้เขียนหน้าเว็บ

  • B. Surasak
    กันยายน 19, 2011

การนำทาง

Mathematics‎ > ‎

จำนวนจริง

จำนวนจริง

1.  ระบบจำนวนจริง

            ระบบจำนวนจริง  คือ ระบบที่ประกอบด้วยเซตจำนวนจริง R  พร้อมด้วยการดำเนินการ บวก  และ คูณที่สอดคล้องกับสมบัติปิด  การสลับที่  การเปลี่ยนหมู่  การมีเอกลักษณ์  การมีอินเวอร์ส  การแจกแจง  รวมทั้งสมบัติอีก  3  ข้อ  ในระบบย่อย R+  คือ  สมบัติไตรวิภาค  สมบัติปิดของการบวกใน  R+   และสมบัติการคูณใน  R+   และสมบัติความบริบูรณ์   

2.   จำนวนจริง   ( Real Number )
               จำนวนจริง   ( Real Number )  R

                 จำนวนตรรกยะ   Q  

               จำนวนอตรรกยะ Q/

      จำนวนตรรกยะ Rational  Number (Q)
            จำนวตรรกยะ  คือ  จำนวนที่สามารถเขียนในรูป    โดยที่   a,  b   เป็นจำนวนเต็ม  และ      ใช้   Q  แทนเซตของจำนวนตรรกยะ  เช่น       
                   -   จำนวนเต็ม  ได้แก่ 
. . . , -2,  -1,  0,  1,  2,  . . .
                   -   เศษส่วน  ได้แก่    

                   -   ทศนิยมซ้ำ  ได้แก่  
0.5,  0.4444…,  0.3
Ÿ,  0.2Ÿ5Ÿ,  1. 4Ÿ25Ÿ
     จำนวนอตรรกยะ
( Irrational  Number ) 

            จำนวนอตรรกยะ  คือ  จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง  ใช้ Q/   แทนเซตจำนวนอตรรกยะ เช่น 
                   -  ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ   เช่น  1.234231254… 
                   -  จำนวนในรูปกรณฑ์  เมื่อหาค่าแล้ว  ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ  , . . .

                   -  ค่าประมาณ 
 

3.  สมบัติการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
      สมบัติการเท่ากันต่อไปนี้  เป็นข้อตกลงพื้นฐานที่ไม่ต้องพิสูจน์ 
           
1.   สมบัติการสะท้อน                             a  =  a

            2.   สมบัติการสมมาตร                            ถ้า  a  =  b   แล้ว  b  =  a

            3.   สมบัติการถ่ายทอด                            ถ้า  a  =  b   และ   b  =  c  แล้ว   a  =  c  

            4.   สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน      ถ้า  a  =  b    แล้ว   a + c  =  b + c  

            5.   สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน       ถ้า  a  =  b    แล้ว   ac  =  bc  

4.  สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
       4.1 สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก  กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

            1. สมบัติปิดการบวก                       a + b เป็นจำนวนจริง

            2. สมบัติการสลับที่ของการบวก         a + b = b + c

            3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก     a + ( b + c) = ( a + b ) + c

            4. เอกลักษณ์การบวก                      0 + a = a = a + 0  (0 เป็นเอกลักษณ์การบวก)

            5. อินเวอร์สการบวก                        a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a  (-a เป็นอินเวอร์สของการบวก)

     4.2  สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ   กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

                   1. สมบัติปิดการคูณ                                         ab  เป็นจำนวนจริง

            2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ                    ab = ba

            3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ         a(bc) = (ab)c

            4. เอกลักษณ์การคูณ      1 · a   = a = a · 1                      (1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ)

            5. อินเวอร์สการคูณ         a · a-1 = 1 = a · a-1, a 0         (a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0)

            6. สมบัติการแจกแจง     a( b + c )  =  ab + ac,      ( b + c )a  =  ba + ca

                       จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

                  ทฤษฎีบทที่ 1  กฎการตัดออกสำหรับการบวก 

                                    เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ    ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b 

                                                                                    ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

                   ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

                                    เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ    ถ้า ac = bc และ c 0 แล้ว a = b

                                                                                    ถ้า ab = ac และ a 0 แล้ว b = c

                   ทฤษฎีบทที่ 3  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ    a · 0 = 0 ,     0 · a = 0

                   ทฤษฎีบทที่ 4  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ   (-1)a = -a,     a(-1) = -a

                   ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ  ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

                   ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ    a(-b) = -ab,  (-a)b = -ab ,   (-a)(-b) = ab

              เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณ

ในระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

          การลบและการหารจำนวนจริง

                   บทนิยาม   เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ   a - b = a + (-b)

                                    นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

                   บทนิยาม   เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b 0,    

                                    นั่นคือ    คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b   (ส่วนกลับของb)

5.  สมการพหุนามตัวแปรเดียว

      บทนิยาม   สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

                       anxn + an-1xn-1 + an-2 xn-2  + … +  a1x1 + a0 x0  =  0

                    เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง  ที่เป็นสัมประสิทธิ์
ของพหุนาม  โดยที่
a
n
0   เรียกสมการนี้ว่า  "สมการพหุนามกำลัง n" เช่น   
                             x
3 - 2x2 + 3x -4 = 0

                             4x2 + 4x +1 = 0

                            2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0

6.  การแยกตัวประกอบของพหุนามตัวแปรเดียว
       การแยกตัวประกอบพหุนาม  คือ  การเขียนพหุนามนั้นในรูปพหุนามที่ต่ำกว่า 

            เช่น            5x2 + 4x                              แยกตัวประกอบได้   x(5x + 4)

                             3x2 – 26x + 35         แยกตัวประกอบได้   (3x – 5)(x – 7)

     6.1 เทคนิคการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว          

                         x (x + 1)          =     x(x) + x(1)

                    นั่นคือ      x2 +  x              =       x (x + 1)            ………………

          ดังนั้น      x2 +  5x            =       x (x + 5) 

                        x2  -  6x             =       x (x  - 6)

                                         (x + 1)(x – 1)    =     (x + 1)x  - (x + 1)(1)  .........                

                                                            =     ( x2 + x ) - (x + 1)               

                                                            =       x2 + x   -  x  -  1

                                                            =       x2 -  1

       นั่นคือ        x2 -  1               =       (x + 1)(x – 1)      ………………ผลต่างกำลังสอง

       ดังนั้น        x2  -  4              =       x2 -  22                =       (x + 2)(x – 2) 

                        4x2  -  16          =       (2x)2  -  42           =       (2x + 4)(2x – 4) 

                        25x2  -  100      =       (5x)2  -  102         =       (5x + 10)(5x – 10)

                        x2  + 5x + 4      =       (x + 1)(x + 4)

                        x2  - 5x + 4       =       (x - 1)(x - 4) 

                                   x2  -  5x  -  6     =       (x + 1)(x - 6) 

                        x2  - 5x  - 14     =       (x - 7)(x + 2) 

                                   x2 +  2x  - 5      =       x2  +  2x(1) + 12 – 12   5 

                                                            =       ( x + 1)2 -  6

                                                =       ( x + 1)2 -             

                                                =       (x +1+ )(x + 1- )

                   หรือ           6x2 +  3x  - 3    =      (3) ( 2x2 +  x  - 1)

                                                =      (3) (2x - 1)(x + 1)

 

     6.2 เทคนิคการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีมากกว่าสองตัวแปรเดียว

            ในรูปแบบพหุนามดีกรีมากกว่าสองตัวแปรเดียว   ในการแยกตัวประกอบจำเป็นต้องมีความรู้ในเรื่องต่างๆ ดังนี้

                   1.  ทฤษฎีบทเศษเหลือ

                   2.  ทฤษฎีบทตัวประกอบ

                   3.  ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

                   4.  เทคนิคการหารพหุนาม

                   5.  การแยกตัวประกอบในพหุนาม

            ทบทวนการแยกตัวประกอบพหุนาม

                   1)    a2 + 2ab + b2  =  (a + b)2                  2)    a2 – 2ab + b2  =  (a – b)2

                   3)    a2 – b2   =  (a – b)(a + b)                   4)    a3 + b3   =  (a – b)( a2 + ab + b2  )

                   5)    a3 – b3   =  (a – b)( a2 – ab + b2  )      6)    (a + b)3  =  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 

                   7)    (a – b)3  =  a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

            วิธีการข้างต้นใช้ได้กับบางพหุนามเท่านั้น  ในกรณีทั่วไป  ในการแยกตัวประกอบพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีมากกว่า 1  หรือสมการพหุนามในรูป  anxn + a n-1xn-1 + a n-2 xn-2  + … +  a1x1 + a0 x0  =  0 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ  และ an, a n-1, a n-2 ,..., a1, a0   เป็นจำนวนจริง โดยที่ an 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ

                   กรณี  an = 1 การแยกตัวประกอบพหุนาม p(x) จะหาตัวประกอบพหุนามที่เป็นพหุนามดีกรี  1  โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ  และทฤษฎีบทตัวประกอบ
                   กรณี 
an
1 การแยกตัวประกอบพหุนาม p(x) จะหาตัวประกอบพหุนามที่เป็นพหุนามดีกรี  1  โดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ


     ทฤษฎีบทเศษเหลือ

                   เมื่อ f(x) = anxn + a n-1xn-1 + an-2 xn-2  + … +  a1x1 + a0 x0  โดย n > 2 และ   an, a n-1,..., a1, a0  เป็นจำนวนจริง และ an 0  ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ

การหาร มีค่าเท่ากับ f(c)  นั่นคือ เศษของ  คือ  f(c)
                   ตัวอย่าง   จงหาเศษจากการหาร 3x
2 - 2x + 5  ด้วย  x + 1

                             วิธีทำ   ในที่นี้  x – c  =  x + 1             ดังนั้น   c =  - 1
                                        ให้                f(x)       =    3x
2 - 2x + 5 
                                        เศษหาร         f(- 1)   =    3(- 1)
2 - 2(- 1)  + 5
                                                                        =    10


     ทฤษฎีบทตัวประกอบ

            เมื่อ f(x) = anxn + a n-1xn-1 + an-2 xn-2  + … +  a1x1 + a0 x0             โดย n > 2   และ an, a n-1,..., a1, a0  เป็นจำนวนจริง และ an 0 พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

                   ถ้า   แล้ว f(c) =  0     แสดงว่า   x – c  เป็นตัวประกอบของ f(x)

 

                   ตัวอย่าง   กำหนด  p(x)  = 3x3 + 4x2 + 3x + 2   จงแสดงว่า  x + 1 เป็นตัวประกอบ

                             วิธีทำ   ในที่นี้  x – c  =   x + 1    ดังนั้น   c =  - 1
                                        ให้     p(- 1)  =   3(- 1)
3 + 4(- 1)2 + 3(- 1) + 2 
                                                            =   0
                                      นั่นคือ   p(- 1)  =  0    แสดงว่า   x + 1  เป็นตัวประกอบของ  p(x)

                   ตัวอย่าง   จงหาค่า  t   ที่ทำให้  x – 2  หาร    2x3 + 2x2 – 4x + t    ลงตัว

                             วิธีทำ    ในที่นี้  x – c  =   x – 2    ดังนั้น   c =  2

                                          และ   p(2)   =  2(2)3 + 2(2)2 – 4(2) + t    ลงตัว  นั่นคือ   p(2)  =  0 

                                          ดังนั้น    0    =   16    +   8      8     +  t

                                                    - 16   =    t   

 


     ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

            เมื่อ f(x) = anxn + a n-1xn-1 + an-2 xn-2  + … +  a1x1 + a0 x0             โดย n > 2 และ an, a n-1,,..., a1, a0  เป็นจำนวนจริง และ an 0  ถ้า   เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m   0   และ ห.ร.ม. ของ m และ k  เท่ากับ 1 แล้ว

                   (1)  m  จะเป็นตัวประกอบของ an

                   (2)  k   จะเป็นตัวประกอบของ a0

            ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้

                             1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ f( ) = 0
 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

                             2. นำ x - c หรือ          ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1

                   3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1, 2.
            ตัวอย่าง     จงแยกตัวประกอบของพหุนาม  x
3 - 2x2 - x + 2   

                             วิธีทำ   1)    k  =
                                        2)    m =  
                                        3)     คือ                                                                    …….*

                                    ให้        p(x)   =  x3 - 2x2 - x + 2  

                                                p(1)  =  (1)3 - 2(1)2 - (1) + 2     ;  (x - 1)   เป็นตัวประกอบ   …….**

                                                   = x2 - x – 2                                  …….***

                                                 x3 - 2x2 - x + 2                         = (x-1)(x2 - x - 2)

                                                                              = (x-1)(x-2)(x+1)                        …….****
                                   ตัวประกอบของพหุนาม  x
3 - 2x2 - x + 2   คือ  (x-1)(x-2)(x+1)               

      

 

7. การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

     7.1   การแก้สมการพหุนามดีกรี 1 ตัวแปรเดียว

                   ตัวอย่าง  จงหาเซตคำตอบ   2x + 1 = 3x – 5

                             วิธีทำ            2x + 1 = 3x – 5

                                                 1 + 5  = 3x – 2x

                                                       6  =   x

                                    เซตคำตอบ   2x + 1 = 3x – 5  คือ  { 6 }

     7.2  การแก้สมการพหุนามดีกรีสอง ตัวแปรเดียว

            หลักการแก้สมการพหุนามดีกรีมากกว่า  1  ต้องแยกตัวประกอบพหุนามตามหลักการขั้นต้นก่อน  แล้วแยกพิจารณาตัวประกอบทุกตัวที่เป็นไปได้ 

             ตัวอย่าง  จงหาเซตคำตอบของสมการ   x2 + 7x + 10 = 0

                   วิธีทำ   1)   แยกตัวประกอบ  x2 + 7x + 10  =  (x+5)(x+2)

                              2)   แก้สมการ   x2 + 7x + 10  =  0

                                                (x+5)(x+2)                =  0

                                                                       X =  {- 5, -2 }

                             เซตคำตอบของสมการ   x2 + 7x + 10  คือ  {- 5, -2 }

     

          ถนัดแบบใดลองทำ

                   x2 – 3x – 18  =  0              x2 – 6x – 16 = 0                        x2 + 5x – 24 = 0

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   x2 + x – 30 = 0                  x2 – 14x + 48 = 0                     21 – 10x + x2 = 0

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   2 + x – x2 = 0                    2x2 + 7x + 3 = 0                       3x2 + 7x + 2 = 0          

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   5x2 + 13x + 6 = 0             7x2 + 3x – 4 = 0                       9x2 + 12x + 4 = 0

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   4x2 + 8x + 3 = 0               4x2 + 16x + 15 = 0                   x2 – 9 = 0                    

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   25 – x2 = 0                        9x2 – 16 = 0                             36x2 – 25 = 0

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   x2 + 8x + 6 = 0                 x2 + 10x + 3 = 0                       x2 + 4x + 2 = 0            

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………

                   …………………………..    ……………………………          …………………………
 

           7.3  การแก้สมการพหุนามดีกรีมากกว่าสอง ตัวแปรเดียว

                   ตัวอย่าง     จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

                             วิธีทำ   1)    แยกตัวประกอบ 

                                                  คือ                                                     

                                          ให้  p(x)   =  x3 - 10x2 + 27x -18

                                                 p(1)   = (1)3 – 10(1)2 + 27(1) -18  = 0             ;  (x - 1)   เป็นตัวประกอบ   

                                            = x2 - 9x + 18                              

                                          x3 - 10x2 + 27x -18       =  (x-1)(x2 - 9x + 18)

                                                                                    =  (x-1)(x-3)(x-6)

                                 2)  แก้สมการ  x3 - 10x2 + 27x -18 = 0

                                              (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0

                                                                                          x   = 1,  3,  6

                                     เซตคำตอบของสมการ    x3 - 10x2 + 27x -18    คือ {1, 3, 6}

   

 

ตัวอย่างข้อสอบ

1. ข้อใดเป็นจำนวนตรรกยะ

ก.                           ข.                           ค.                           ง.    

2. ข้อใดเป็นจำนวนอตรรกยะทุกจำนวน

ก.            ข.                   ค.                ง.

3. ข้อใดเป็นเท็จ

ก.  0.001001001...  เป็นจำนวนตรรกยะ  ข.     0.110110110110...   เป็นจำนวนอตรรกยะ

ค.  0.59999...  เป็นจำนวนตรรกยะ          ง.     p    เป็นจำนวนอตรรกยะ

4.   x2 + 10x + 16  มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  (x + 4)(x + 4)          ข.  (x – 4)(x – 4)           ค.  (x – 2)(x – 8)           ง.   (x + 2)(x + 8)

5.  (x + 2)(x – 3)   มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  x2 – x – 6                 ข.  x2 + x – 6                ค.  x2 – 5x + 6              ง.  x2 + 5x + 6

6.  x2 – 10 x    มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  (x – 10)(x + 1)         ข.  (x – 10)(x + 10)       ค.  x(x – 10)                 ง.  10(x2 + x)

7.  (x + 3)2  มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  x2 + 6x – 9              ข.  x2 + 6x + 9              ค.  x2 – 6x + 9                          ง.  x2 + 9

8.  x2 – x – 12   มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  (x + 6)(x – 2)           ข.  (x – 6)(x + 2)           ค.  (x – 3)(x + 4)          ง.   (x + 3)(x – 4)

9.  x2 – 9  มีค่าตรงกับข้อใด

ก.  (x + 1)(x + 9)          ข.  (x – 3)(x + 3)           ค.  (x – 3)(x – 3)           ง.   (x + 3)(x + 3)

10.   2x2 + x – 6  มีค่าตรงกับข้อใด

ก.   (2x + 3)(x + 2)       ข.   (2x – 3)(x + 2)        ค.   (2x + 3)(x – 2)       ง.   (2x – 3)(x – 2)

11.   x2 – 1  มีค่าตรงกับข้อใด

ก.   (x – 1)(x – 1)          ข.   (x – 1)(x + 1)          ค.   (x + 1)(x + 1)         ง.    x(x – 1)

12.   คำตอบของ  x2 – 5x  =  0  คือข้อใด

ก.    0 , 5                      ข.   0  , 5                   ค.    0 , 0                      ง.   5  , 5

13.   คำตอบของสมการ x2 – 16 = 0  คือข้อใด

ก.        4                       ข.    – 4                                    ค.    ± 4                       ง.    ± 8

14.  คำตอบของสมการ  x2 = 7   คือข้อใด

ก.        7                       ข.    – 7                                    ค.    ± 7                       ง.    ±

15.  คำตอบของสมการ x2 – 2x – 8 = 0 คือข้อใด

ก.   – 2 ,  4                   ข.      2 , – 4                 ค.      2 ,  4                   ง.    –2 , – 4

16.   คำตอบของสมการ x2 + 7x + 12 = 0 คือข้อใด

ก.   – 3 , – 4                  ข.      3 , – 4                 ค.   – 3 ,  4                   ง.       3 , 4

17.   คำตอบของสมการ x2 + 4x – 2  = 0 คือข้อใด

ก.   x  =         ข.   x  =            ค.   x  =         ง.   x  =

18.   คำตอบของสมการ x2 + x – 3  = 0 คือข้อใด   

ก.   x  =           ข.   x  =        ค.   x  =           ง.  x =

19.  คำตอบของสมการ      คือข้อใด

.  { -2  , -3 }                .  { 2  , 1 }                   .  { -2  , 1}                  .  { -2  , -1 }

20.  คำตอบของสมการ     คือข้อใด

.  { 2  , 4 }                   .  { –2  , 4 }                 .  { –2  ,4 }              .   { 2  , – 4 }

 

 
8. สมบัติของการไม่เท่ากัน

      บทนิยาม a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b

                             a > b     หมายถึง    a มากกว่า b

           กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

            1.    สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

            2.    สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

            3.    จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ      a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

                                                                        a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

            4.    สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

                             ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

                             ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

            5.    สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

            6.    สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

                             ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

                             ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

      บทนิยาม a b        หมายถึง            a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b

                             a b           หมายถึง            a มากกว่าหรือเท่ากับ b

                             a < b < c     หมายถึง            a < b และ b < c

                             a b c     หมายถึง            a b และ b c

 

 

  9.  ช่วงของจำนวนจริง

 

  กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b

                  1. ช่วงเปิด (a, b)

                       (a, b) = { x | a < x < b }

                       

                 2. ช่วงปิด [a, b]

                       [a, b] = { x | a x b }                                                                                                                      

                3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]

                      (a, b] = { x | a < x b }

                       

                4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)

                      [a, b) = { x | a x < b }

                       

                5. ช่วง (a, )

                      (a, ) = { x | x > a}

                       

                6. ช่วง [a, )

                      [a, ) = { x | x a}

                       

                7. ช่วง (-, a)

                     (-, a) = { x | x < a}

                       

                8. ช่วง (-, a]

                     (-, a] = { x | x a}

                       

 

 


 10การแก้อสมการ

          ตัวอย่าง   จงหาเซตคำตอบของ   2  <  - 2x – 4  <  6 

              วิธีทำ      จาก         2           <         - 2x – 4      <     6            นำ  4  บวกตลอด

                                           2 + 4     <      - 2x – 4 + 4  <     6 + 4                    

                                           6           <         - 2x            <     10            นำ - 2 หารตลอด

                                                 <                  <               

-   3           >              x            >    - 5             

                            เซตคำตอบ  คือ  (-5, -3)

          ตัวอย่าง   จงหาเซตคำตอบของ       <  2x – 2   

              วิธีทำ      จาก               <    2x – 2                   

                                           2x + 6                    <    4x + 4       

                                           4 + 6         <    4x + 2x

                                             10            <    6x

                                                         <    x

                            เซตคำตอบ  คือ  ( ,)

          ตัวอย่าง  จงหาเซตคำตอบของอสมการ  x2 - x  + 6  >  0

                   วิธีทำ      จาก         x2 - x  + 6          >   0

                                           (x – 3 )(x + 2)        >   0

                                 จะได้ค่าวิกฤต  คือ   x  =  - 2 , 3

                                                    +                              -                       +

                                                            - 2                                3

                            เซตคำตอบ  คือ  (-∞, -2) U (3, )

 

          ตัวอย่าง  จงหาเซตคำตอบของอสมการ  4 + 5x - 6x2  >  0

                   วิธีทำ      จาก         4 + 5x - 6x2    >  0

                                               6x2 – 5x – 4     <  0    ( นำ -1 คูณตลอด)

                                          (3x – 4 )(2x + 1)   <  0

                                 จะได้ค่าวิกฤต  คือ   x  =  ,

                                                    +                              -                       +

                                                                                       

                                 เซตคำตอบ  คือ  ( , )

          ตัวอย่าง  จงหาเซตคำตอบของอสมการ  (x + 1)10(x – 1)5(x + 2)3(x – 3 )>  0

                                 จะได้ค่าวิกฤต  คือ   x  =  -2, -1, 1, 3

 

                                        +                  -                        +                      -                  +

                                               -2                      -1                     1                      3                     

                            เซตคำตอบ  คือ  (-∞, -2) U (-1, 1) U (3, )

   

 

 

11.  ค่าสัมบูรณ์ absolute value
        ค่าสัมบูรณ์
  หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus) ในคณิตศาสตร์ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0  คือ จำนวนที่ไม่มีเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น 3 คือค่าสัมบูรณ์ของ 3 และ 3
       
บทนิยาม  กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

 

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

    

               เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก       |x| < a หมายถึง -a < x < a 

                                                            |x| a หมายถึง -a x a

             เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก        |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a

                                                            |x| a หมายถึง x -a หรือ x a
        การแก้สมการในรูปค่าสัมบูรณ์

              เมื่อ 
* , r  แทนเทอมของตัวแปร  และ a แทนจำนวนจริงบวก หรือศูนย์ 

ถ้า   |*| = a      แล้ว  * = a  หรือ  * = - a     

                                    ถ้า   |*| = r  แล้ว  (* = r  หรือ  * = - r)  และ   * r 

            ตัวอย่าง             | 2x + 1 | = 5    
                 วิธีทำ           จะได้    2x + 1  = 5     หรือ  2x + 1  = - 5 
                                                    2x    = 4     หรือ       2x   = - 6 

                                                      x    = 2     หรือ         x   = - 3
                                    ดังนั้น   เซตคำตอบของสมการคือ  { 2, -3 }

          

        การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์
                ตัวอย่าง         | 2x + 1 | < 5    
                                    จะได้          -5  <    2x + 1       <  5    
                                                -5 - 1  <    2x + 1 - 1  <  5 – 1
                                                     -6  <      2x           <  4
                                                  -6 /2 <      2x / 2      <  4 / 2
                                                     -3  <        x           < 2         

                                    ดังนั้น   เซตคำตอบของอสมการคือ  (-3 , 2 )

            ตัวอย่าง             | 2x + 1 | 5    
                                    จะได้    2x + 1 
5     หรือ  2x + 1 
- 5 
                                                    2x   
4     หรือ       2x  
- 6 
                                                      x   
2     หรือ         x   - 3
                                    ดังนั้น   เซตคำตอบของอสมการคือ  { x |  x
2 หรือ x - 3 }

    

12.   สมบัติความบริบูรณ์  ( The Axiom of Completeness)

            ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด

        ขอบเขตบน  (Upper  Bound )

            ถ้า S เป็นสับเซตของ R

            1.  S มีขอบเขตบน ก็ต่อเมื่อ  มีจำนวนจริง a ซึ่ง  a x  สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัว เมื่อ

            2.  เรียก  a ว่า ขอบเขตบนของ  S

            3.  จำนวนจริงที่มีค่าน้อยที่สุดในเซตของขอบเขตบนของ S  เรียกว่า  ค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ S”

            4.  ขอบเขตบนน้อยสุดมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น  ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย  lub. (S)  หรือ sup. (S)

        ขอบเขตล่าง  (Bounded Below )

            ถ้า S เป็นสับเซตของ R

            1.  S มีขอบเขตล่าง ก็ต่อเมื่อ  มีจำนวนจริง a ซึ่ง  a x  สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัว เมื่อ

            2.  เรียก  a ว่า ขอบเขตล่างของ  S

            3.  จำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุดในเซตของขอบเขตล่างของ S  เรียกว่า ค่าขอบเขตล่างมากสุดของ S”

            4.  ขอบเขตล่างมากสุดมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น  ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย  glb. (S)  หรือ inf. (S)

      ตัวอย่าง       ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]

                        จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบน

                        น้อยสุดคือ 6      หรือ sup. (S) = 6

                        จะได้ว่า 1  และจำนวนจริงทุกตัวที่น้อยกว่า 1 เป็นขอบเขตล่างของ S และขอบเขตล่าง

                        มากสุดคือ 1      หรือ inf. (S) = 1

      ตัวอย่าง       ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)

                        จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบน

                        น้อยสุดคือ 7      หรือ sup. (S) = 7

                        จะได้ว่า 2  และจำนวนจริงทุกตัวที่น้อยกว่า 2 เป็นขอบเขตล่างของ S และขอบเขตล่าง

                        มากสุดคือ 2      หรือ inf. (S) = 2

      ตัวอย่าง       ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}

                        จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบน

                        น้อยสุดคือ 5      หรือ sup. (S) = 5

                        จะได้ว่า 0  และจำนวนจริงทุกตัวที่น้อยกว่า 0 เป็นขอบเขตล่างของ S และขอบเขตล่าง

                        มากสุดคือ 0      หรือ inf. (S) = 0

      ตัวอย่าง       ให้ S = [-2, ]

                        จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน

                        จะได้ว่า - 2  และจำนวนจริงทุกตัวที่น้อยกว่า - 2 เป็นขอบเขตล่างของ S และขอบเขตล่าง

                        มากสุดคือ - 2    หรือ inf. (S) = - 2

      ตัวอย่าง       ให้ S Ø

จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขต

บนน้อยสุด

จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตล่างของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขต

ล่างมากสุด  

13.   ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น  
        การหารลงตัว

              บทนิยาม   กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b
0
                               b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม c ซึ่ง  a = bc
                               และเขียนแทน “b หาร a ลงตัวได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

                    จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม c ที่ทำให้ a  bc  และ เขียนแทน     

                         “b หาร a ไม่ลงตัว ได้ด้วยสัญลักษณ์ b    a

                ตัวอย่าง         3 | 9     เพราะมี     c  =  3          ที่ทำให้              9    =    3(3)

                                    -5 | 10 เพราะมี     c  =  -2         ที่ทำให้              10  =  -5(-2)

 6 | 0    เพราะมี     c  =  0          ที่ทำให้              0    =    6(0)
สมบัติการหารลงตัว      

       ทฤษฎีบทที่ 1   กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ  ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
       ทฤษฎีบทที่ 2   กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก   ถ้า a | b แล้วจะได้ a
b

                ทฤษฎีบทที่ 3   กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ  ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
                                 เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

        การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
            1. จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
                        บทนิยาม   จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p
0, p 1, p -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
            2. จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
                        บทนิยาม   จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
                                         นั่นคือ  สำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

            ตัวอย่าง      จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2}                                        2 เป็นจำนวนเฉพาะ
                              จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3}                   
3 เป็นจำนวนเฉพาะ
                              จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4}
                   4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

 

        ขั้นตอนวิธีการหาร
                        ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้วจะมี q และ r  ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
                                     a = bq + r    เมื่อ     0  
  r  <  |b|
                        นั่นคือ a เป็นตัวตั้ง  b ตัวหาร  q  ผลหาร  และเศษ  r

            ตัวอย่าง    กำหนด  a = 48,  b = 7 จงหา q และ r

                           เขียนให้อยู่ในรูป           a    =     bq    +  r
                                                            48  =  (7 × 6) + 6

                                    ได้   q = 6 และ r = 6

         ตัวหารร่วม
                        กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c   ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น ตัวหารร่วมของ a และ b

               ตัวหารร่วมมาก  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็นตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

            ตัวอย่าง     จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                วิธีทำ            ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

                                    ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

                                  ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

                                    ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

                        นั่นคือ   ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

 

       การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

                 

 

ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

                        วิธีทำ

                                       
                                    ในที่นี้    r
k = 12
                                    ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ 7,392 และ 3,192

                        วิธีทำ

 

ตัวอย่าง   จงหา ห.ร.ม. ของ ((595, 252), 132)   

                        วิธีทำ

 

 

    จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

            บทนิยาม  จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

    ตัวคูณร่วมน้อย
            กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด

ซึ่ง  a | c  และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

            ตัวอย่าง  จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24

                        วิธีทำ    พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...

                                    พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...

                                    นั่นคือ   ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

                                    หรือ   [ 36 , 24 ]  =  72

    ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

         หลักการ   ถ้า  a, b  เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ  ตัวคูณร่วมน้อยจะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น

                                 ab   =   ( ห.ร.ม. ของ a และ b ) x ( ค.ร.น. ของ a และ b ) 

                                 ab   =   (a , b )  x  [ a , b ] 

         ตัวอย่าง    กำหนด  a,  b  เป็นจำนวนจริง  ซึ่ง ห.ร.ม.  ของ  a  และ  b  เท่ากับ  3  และ  ค.ร.น.

                         ของ  a  และ  b  เท่ากับ 630  ถ้า  b = 30  แล้ว  a  มีค่าเท่าใด

               วิธีทำ     จาก         a x 30    =        3     x     630

                                               a       =        63

Comments