4. Type-B Travelling Waves

4.1 Emergence of Type-B Periodic Travelling Waves from Hopf Bifurcation

এই subsection-এ আমরা Type-B travelling wave solutions-এর উদ্ভব এবং তাদের bifurcation structure আলোচনা করব। Travelling wave reduction প্রয়োগ করার পর প্রাপ্ত ODE system-এ periodic travelling wave solutions গুলো Hopf bifurcation-এর মাধ্যমে coexisting equilibrium থেকে উৎপন্ন হয়। Numerical continuation computations-এর জন্য COCO continuation package ব্যবহার করা হয়েছে।

প্রথমে system-এর parameter space-এ Hopf B curve নির্ণয় করা হয়। এই curve বরাবর equilibrium solution stability হারায় এবং finite wavelength বিশিষ্ট periodic travelling wave solutions উৎপন্ন হয়। এই periodic solutions গুলো পরবর্তীতে parameter continuation-এর মাধ্যমে অনুসরণ করা হয়। এখানে continuation প্রধানত ((\gamma,c_A))-parameter plane-এ সম্পন্ন করা হয়েছে, যেখানে (\gamma) হলো wavespeed এবং (c_A) হলো interaction parameter।

Periodic travelling wave solutions-এর wavelength (\Lambda) continuation-এর সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ quantity হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে। Hopf bifurcation-এর নিকটে periodic solutions গুলোর wavelength ছোট থাকে। কিন্তু continuation-এর মাধ্যমে parameter পরিবর্তনের সাথে সাথে (\Lambda) ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় এবং শেষ পর্যন্ত heteroclinic structure-এর দিকে অগ্রসর হয়।

এই behaviour Type-B travelling waves-এর global organisation বোঝার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। কারণ এটি নির্দেশ করে যে Hopf bifurcation থেকে উৎপন্ন periodic travelling wave branches পরবর্তীতে large-wavelength limit-এর মাধ্যমে heteroclinic travelling waves-এর সাথে সংযুক্ত হতে পারে।

4.2 Approximation of the Type-B Heteroclinic Bifurcation

Type-B heteroclinic travelling waves সরাসরি numerical continuation-এর মাধ্যমে compute করা অত্যন্ত কঠিন, কারণ heteroclinic orbit-এর wavelength theoretically infinite হয়। অর্থাৎ heteroclinic travelling waves satisfy করে

[
\Lambda \to \infty.
]

genui{"math_block_widget_always_prefetch_v2": {"content": "\Lambda \to \infty"}}

এই কারণে heteroclinic bifurcation curve numerically approximate করার জন্য large but finite wavelength periodic travelling waves ব্যবহার করা হয়েছে। বর্তমান computations-এ (\Lambda=2000) নির্বাচন করা হয়েছে heteroclinic approximation হিসেবে।

Approximation-এর robustness যাচাই করার জন্য একই continuation computations (\Lambda=3000) এবং (\Lambda=4000)-এর ক্ষেত্রেও সম্পন্ন করা হয়। দেখা যায় যে resulting heteroclinic bifurcation curves প্রায় indistinguishable। অর্থাৎ computed heteroclinic curve finite wavelength approximation-এর উপর sensitively নির্ভর করছে না।

এটি নির্দেশ করে যে (\Lambda=2000) ইতোমধ্যেই asymptotic heteroclinic regime-এর যথেষ্ট নিকটে অবস্থান করছে। ফলে এই large-wavelength periodic solutions গুলো Type-B heteroclinic travelling waves-এর একটি নির্ভরযোগ্য approximation প্রদান করে।

Continuation computations থেকে প্রাপ্ত heteroclinic bifurcation curve পরে Hopf B curve-এর সাথে compare করা হয়েছে। এই comparison থেকে parameter space-এ Hopf এবং heteroclinic structures-এর মধ্যে একটি nontrivial interaction লক্ষ্য করা যায়, যা পরবর্তী subsections-এ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হবে।

4.3 Global Structure of Type-B Periodic Travelling Waves

এই subsection-এ periodic travelling wave solutions-এর global geometry বিশ্লেষণ করা হবে। বিভিন্ন parameter slices-এর মাধ্যমে periodic travelling wave branches-এর structure, fold formation এবং heteroclinic limit-এর সাথে তাদের সংযোগ ব্যাখ্যা করা হবে।

4.3.1 Fixed-(c_A) Continuation Slices

Figure 4.1-এ fixed values of (c_A)-এর জন্য periodic travelling wave branches প্রদর্শন করা হয়েছে। Figure-এর বাম panel-এ ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ periodic travelling wave surface-এর three-dimensional representation দেখানো হয়েছে। মধ্য panel-এ corresponding ((\gamma,\Lambda))-slices এবং ডান panel-এ large-wavelength endpoint projection প্রদর্শন করা হয়েছে।

এই continuation computations-এ প্রতিটি coloured curve একটি fixed value of (c_A)-এর জন্য periodic travelling wave branch নির্দেশ করে। Blue colours বৃহৎ (c_A)-values এবং red colours ক্ষুদ্র (c_A)-values নির্দেশ করে। প্রতিটি branch Hopf bifurcation point থেকে শুরু হয়, যেখানে wavelength relatively ছোট থাকে। এরপর continuation-এর মাধ্যমে (\gamma) পরিবর্তনের সাথে সাথে wavelength বৃদ্ধি পেতে থাকে এবং শেষ পর্যন্ত heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হয়।

Figure 4.1-এর middle panel থেকে দেখা যায় যে different values of (c_A)-এর জন্য heteroclinic limit-এর location উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয়। Larger values of (c_A)-এর জন্য heteroclinic structure অপেক্ষাকৃত smaller (\gamma)-values-এ অর্জিত হয়, whereas smaller values of (c_A)-এর জন্য heteroclinic limit পৌঁছাতে larger wavespeed প্রয়োজন হয়।

Figure 4.1-এর right panel-এ periodic travelling wave branches-এর large-wavelength endpoints প্রদর্শিত হয়েছে। এই panel effectively heteroclinic bifurcation curve-এর numerical approximation হিসেবে কাজ করে। এখানে coloured horizontal segments প্রতিটি fixed-(c_A) slice-এর continuation interval নির্দেশ করে। Colour ordering middle panel-এর সাথে consistent রাখা হয়েছে।

এই figure থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ observation হলো periodic travelling wave solutions একটি continuous folded surface গঠন করে ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ। এই surface পরবর্তীতে Hopf এবং heteroclinic bifurcation curves-এর interaction ব্যাখ্যা করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করবে।

Figure 4.1

Type-B periodic travelling wave branches for fixed values of (c_A). Left panel: three-dimensional representation of periodic travelling wave solutions in ((\gamma,c_A,\Lambda))-space. Each coloured curve corresponds to a continuation branch for a fixed value of (c_A). Blue curves correspond to larger values of (c_A), while red curves correspond to smaller values of (c_A). Middle panel: corresponding ((\gamma,\Lambda))-slices showing continuation from Hopf bifurcation to the heteroclinic limit (\Lambda\to\infty). Right panel: projection of the large-wavelength endpoints onto the ((\gamma,c_A))-plane, providing a numerical approximation of the heteroclinic bifurcation curve.

4.3.2 Fixed-(\gamma) Continuation Slices

Figure 4.2-এ fixed values of (\gamma)-এর জন্য periodic travelling wave branches প্রদর্শন করা হয়েছে। Figure-এর বাম panel-এ ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ একই periodic travelling wave surface-এর alternative three-dimensional representation দেখানো হয়েছে। Middle panel-এ corresponding ((c_A,\Lambda))-slices এবং right panel-এ corresponding parameter intervals প্রদর্শিত হয়েছে।

এখানে প্রতিটি coloured curve একটি fixed value of (\gamma)-এর জন্য periodic travelling wave branch নির্দেশ করে। Blue colours smaller (\gamma)-values এবং red colours larger (\gamma)-values নির্দেশ করে।

Smaller values of (\gamma)-এর জন্য periodic travelling wave branches monotonic behaviour প্রদর্শন করে। অর্থাৎ continuation-এর সাথে wavelength (\Lambda) monotonically বৃদ্ধি পায় এবং heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হয়। এই regime-এ branches সরাসরি Hopf bifurcation থেকে heteroclinic limit পর্যন্ত সংযুক্ত থাকে।

কিন্তু larger values of (\gamma)-এর জন্য branch geometry উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয়। Figure 4.2-এর middle panel-এ দেখা যায় যে periodic travelling wave branches non-monotonic behaviour প্রদর্শন করতে শুরু করে। বিশেষভাবে, continuation branches-এ একটি fold structure উদ্ভব হয়, যেখানে

[
\frac{\partial \Lambda}{\partial c_A}=0.
]

genui{"math_block_widget_always_prefetch_v2": {"content": "\frac{\partial \Lambda}{\partial c_A}=0"}}

এই fold periodic travelling wave surface-এর global geometry-তে একটি গুরুত্বপূর্ণ reorganisation নির্দেশ করে। Fold formation-এর কারণে periodic travelling wave branches heteroclinic limit-এর দিকে indirectভাবে অগ্রসর হয়। অর্থাৎ branch প্রথমে parameter space-এর একটি direction-এ অগ্রসর হয়, পরে turning point অতিক্রম করে পুনরায় heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হয়।

Figure 4.2-এর right panel-এ বিভিন্ন fixed-(\gamma) continuation intervals প্রদর্শিত হয়েছে। Blue segments smaller values of (\gamma)-এর জন্য monotone continuation নির্দেশ করে, whereas red segments larger values of (\gamma)-এর জন্য folded continuation structure নির্দেশ করে।

এই results নির্দেশ করে যে periodic travelling wave surface-এর geometry parameter-dependent এবং different parameter regimes-এ qualitatively different continuation behaviour উৎপন্ন করতে পারে।

Figure 4.2

Type-B periodic travelling wave branches for fixed values of (\gamma). Left panel: three-dimensional representation of periodic travelling wave solutions in ((\gamma,c_A,\Lambda))-space. Each coloured curve corresponds to a continuation branch for a fixed value of (\gamma). Blue curves correspond to smaller values of (\gamma), while red curves correspond to larger values of (\gamma). Middle panel: corresponding ((c_A,\Lambda))-slices illustrating the transition from monotone to folded continuation structure. For smaller values of (\gamma), wavelength grows monotonically toward the heteroclinic limit. For larger values of (\gamma), the branches become non-monotone and develop folds before approaching the heteroclinic limit. Right panel: projection of the continuation intervals onto the ((\gamma,c_A))-plane.

4.4 Folded Surface Geometry and Projection Effects

Figures 4.1 এবং 4.2 মূলত একই periodic travelling wave surface-এর বিভিন্ন slices এবং projections প্রদর্শন করে। এই surface ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ একটি continuous folded geometry গঠন করে। Periodic travelling wave solutions Hopf bifurcation থেকে উৎপন্ন হয়ে continuation-এর মাধ্যমে large-wavelength heteroclinic limit পর্যন্ত সংযুক্ত থাকে।

এই surface-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ feature হলো fold formation। Smaller values of (\gamma)-এর জন্য continuation branches monotone behaviour প্রদর্শন করলেও larger values of (\gamma)-এর জন্য folded structure তৈরি হয়। এই folded geometry parameter plane-এ projection-এর সময় গুরুত্বপূর্ণ consequences উৎপন্ন করে।

বিশেষভাবে, periodic travelling wave surface-এর projection onto the ((\gamma,c_A))-plane Hopf এবং heteroclinic bifurcation curves-এর apparent intersection তৈরি করে। অর্থাৎ parameter plane-এ observed crossing প্রকৃতপক্ষে periodic travelling wave surface-এর folded geometry-এর একটি projection effect।

এই interpretation অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি নির্দেশ করে যে Hopf এবং heteroclinic structures পরস্পর disconnected নয়। বরং তারা একই continuous periodic travelling wave surface-এর মাধ্যমে globally connected। Different parameter slices এই same surface-এর ভিন্ন geometric aspects প্রদর্শন করে।

অতএব, Figures 4.1 এবং 4.2-এর combined analysis Type-B travelling wave solutions-এর একটি complete geometric interpretation প্রদান করে।

4.5 Hopf and Heteroclinic Bifurcation Curves

Figure 4.3-এ Type-B travelling waves-এর জন্য Hopf এবং heteroclinic bifurcation curves প্রদর্শন করা হয়েছে ((\gamma,c_A))-parameter plane-এ। Dotted curve Hopf B bifurcation curve নির্দেশ করে এবং solid curve heteroclinic bifurcation curve নির্দেশ করে। Inset panel-এ crossing region-এর enlarged view প্রদর্শন করা হয়েছে।

Heteroclinic bifurcation curve large-wavelength periodic travelling waves ব্যবহার করে numerically approximate করা হয়েছে। Convergence tests থেকে দেখা গেছে যে (\Lambda=2000), (3000) এবং (4000)-এর জন্য resulting curves প্রায় identical। ফলে observed heteroclinic structure numerical artefact নয় বরং system-এর একটি genuine global bifurcation feature।

Figure 4.3-এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ observation হলো Hopf এবং heteroclinic bifurcation curves-এর intersection। প্রথম দৃষ্টিতে এই crossing unexpected মনে হতে পারে। কিন্তু Figures 4.1 এবং 4.2-এর folded surface geometry ব্যবহার করলে crossing-এর origin পরিষ্কারভাবে ব্যাখ্যা করা যায়।

Smaller values of (\gamma)-এর জন্য periodic travelling wave branches monotonicভাবে Hopf bifurcation থেকে heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হয়। কিন্তু larger values of (\gamma)-এর জন্য fold formation-এর কারণে continuation branches parameter plane-এ different orientation প্রদর্শন করে। এই orientation change-এর ফলেই projected bifurcation curves parameter plane-এ intersect করে।

অতএব, Figure 4.3-এ observed crossing প্রকৃতপক্ষে periodic travelling wave surface-এর folded geometry-এর একটি direct consequence। এটি parameter space-এ local Hopf bifurcation এবং global heteroclinic structure-এর মধ্যে একটি nontrivial interaction নির্দেশ করে।

Figure 4.3

Hopf and heteroclinic bifurcation curves for Type-B travelling waves in the ((\gamma,c_A))-plane. The dotted curve represents the Hopf B bifurcation curve, while the solid curve represents the heteroclinic bifurcation curve obtained using large-wavelength periodic travelling wave approximations. The inset panel shows an enlarged view of the crossing region. The intersection between the Hopf and heteroclinic curves is generated by projection of the folded periodic travelling wave surface onto the parameter plane.

4.6 Global Organisation of Type-B Travelling Waves

উপরের numerical continuation computations থেকে দেখা যায় যে Type-B periodic travelling wave solutions একটি globally connected folded surface গঠন করে ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ। এই surface-এর উপর periodic travelling wave branches Hopf bifurcation থেকে উৎপন্ন হয়ে continuation-এর মাধ্যমে progressively larger wavelength অর্জন করে এবং শেষ পর্যন্ত heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হয়।

Different parameter regimes-এ continuation branches qualitatively different behaviour প্রদর্শন করে। Smaller values of (\gamma)-এর জন্য continuation structure monotone থাকে, whereas larger values of (\gamma)-এর জন্য fold formation branch geometry-কে significantly reorganise করে। এই fold structure parameter plane-এ projected bifurcation curves-এর orientation পরিবর্তন করে এবং Hopf ও heteroclinic curves-এর intersection সৃষ্টি করে।

এই results নির্দেশ করে যে Type-B travelling waves-এর global organisation শুধুমাত্র local Hopf bifurcation দ্বারা নির্ধারিত নয়। বরং periodic travelling wave surface-এর global folded geometry parameter space-এ observed bifurcation structure নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

অতএব, Type-B travelling waves system-এর মধ্যে local bifurcation, global heteroclinic structure এবং folded continuation geometry-এর একটি intricate interaction প্রদর্শন করে। এই interaction travelling wave dynamics-এর global organisation বোঝার ক্ষেত্রে fundamental importance বহন করে।

%%%%%%%%%%%

Figure 4.1

Figure 4.1: Fixed values of (c_A)-এর জন্য Type-B periodic travelling wave branches। বাম panel-এ ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ periodic travelling wave solutions-এর three-dimensional representation প্রদর্শিত হয়েছে। প্রতিটি coloured curve একটি fixed value of (c_A)-এর continuation branch নির্দেশ করে। এখানে blue colours বৃহৎ (c_A)-values নির্দেশ করে, whereas red colours ক্ষুদ্র (c_A)-values নির্দেশ করে। Middle panel-এ corresponding ((\gamma,\Lambda))-slices দেখানো হয়েছে, যেখানে periodic travelling wave branches Hopf bifurcation থেকে শুরু হয়ে large-wavelength heteroclinic limit (\Lambda\to\infty)-এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। Right panel-এ large-wavelength endpoints-এর ((\gamma,c_A))-projection প্রদর্শিত হয়েছে, যা heteroclinic bifurcation curve-এর numerical approximation প্রদান করে। Horizontal coloured segments middle panel-এর একই colour ordering অনুসরণ করে continuation interval নির্দেশ করছে।

Figure 4.2

Figure 4.2: Fixed values of (\gamma)-এর জন্য Type-B periodic travelling wave branches। বাম panel-এ ((\gamma,c_A,\Lambda))-space-এ periodic travelling wave surface-এর three-dimensional representation দেখানো হয়েছে। প্রতিটি coloured curve একটি fixed value of (\gamma)-এর continuation branch নির্দেশ করে। এখানে blue colours smaller values of (\gamma) নির্দেশ করে এবং red colours larger values of (\gamma) নির্দেশ করে। Middle panel-এ corresponding ((c_A,\Lambda))-slices প্রদর্শিত হয়েছে, যেখানে continuation structure monotone regime থেকে folded regime-এ transition করছে। Smaller values of (\gamma)-এর জন্য wavelength monotonically heteroclinic limit-এর দিকে বৃদ্ধি পাচ্ছে, whereas larger values of (\gamma)-এর জন্য branches non-monotone behaviour প্রদর্শন করে fold formation-এর মাধ্যমে heteroclinic limit-এর দিকে অগ্রসর হচ্ছে। Right panel-এ corresponding continuation intervals-এর ((\gamma,c_A))-projection প্রদর্শিত হয়েছে।

Figure 4.3

Figure 4.3: ((\gamma,c_A))-parameter plane-এ Type-B travelling waves-এর জন্য Hopf এবং heteroclinic bifurcation curves। Dotted curve Hopf B bifurcation curve নির্দেশ করে এবং solid curve large-wavelength periodic travelling wave approximation ব্যবহার করে প্রাপ্ত heteroclinic bifurcation curve নির্দেশ করে। Inset panel-এ crossing region-এর enlarged view প্রদর্শিত হয়েছে। Figure-এ observed intersection periodic travelling wave surface-এর folded geometry-এর projection effect-এর ফলাফল, যেখানে branch orientation parameter space-এ পরিবর্তিত হয়।