2 - TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

 

 



 

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

 

 


 

La trigonométrie sphérique est l’outil mathématique de l’astrométrie. C’est la trigonométrie sphérique qui permet d’effectuer les calculs faisant intervenir la position des astres sur la sphère céleste, par l’étude d’un triangle sphérique, appelé triangle de position. De très nombreux problèmes d’astronomie de position, ainsi que l’établissement des formules de passage d’un système de coordonnées célestes à un autre, sont résolus par l’étude d’un triangle sphérique. On appelle triangle sphérique la surface limitée par trois arcs de grand-cercle joignant trois points d’une sphère qui sont les sommets du triangle. Soit ABC ce triangle (figure 1). Les angles de ses trois sommets sont notés respectivement A, B et C, ce sont des angles sphériques ; les côtés du triangle sont les longueurs des arcs (AB), (AC) et (BC) qui limitent sa surface. Les côtés du triangle sont sous-tendus par les angles c, b et a respectivement, si nous choisissons une sphère de rayon unité. Un triangle sphérique est rectangle lorsqu’un de ses angles est droit, il est rectilatère lorsqu’un de ses côtés est de 90°. Un triangle sphérique qui a deux angles droits est birectangle, dans ce cas, il est également birectilatère, et le troisième côté, seul élément dont la valeur est arbitraire est égal à l’angle opposé.



Figure 1

 

On démontre qu’un triangle sphérique est déterminé dès que trois de ses éléments, angles ou côtés sont connus, car on peut alors calculer un quatrième élément du triangle en fonction des trois éléments connus, à l’aide des formules de trigonométrie sphérique. Chaque formule lie quatre éléments du triangle sphérique, et puisqu’il y a six éléments dans un triangle, cela donne quinze formules de trigonométrie sphérique faisant intervenir les six éléments du triangle. Ces quinze formules peuvent être classées en quatre catégories différentes (R. D’Hollander 1999 § 2.2).


 

Relations de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique quelconque

 

Trois formules fondamentales relient les trois côtés et un angle :

 

                                   cos a  =  cos b cos c  +  sin b .sin c cos A                           

                                   cos b  =  cos c cos a  +  sin c .sin a cos B                             (1)

                                   cos c  =  cos a cos b  +  sin a  sin b cos C                           

 

Trois formules corollaires des formules (1) relient trois angles et un côté :

 

                                   cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

                                   cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b                                (2)

                                   cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

 

Trois formules en sinus relient deux angles et les côtés opposés :

 

                                   sin a / sin A = sin b / sin  B  = sin c / sin C                             (3)

 

Six formules en cotangente relient quatre éléments consécutifs du triangle sphérique:

 

                                   cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A                                (4)

 

Si on fixe l’angle C, on peut permuter les côtés a et b, donc aussi les angles A et B, d’où la seconde formule :

                                   cotg b sin a = cos a cos C + sin C cotg B

 

En fixant l’angle A puis l’angle B il y a quatre autres relations en cotangente soit au total six, qui lient deux angles et deux côtés consécutifs.                         

 

 

Formules de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique rectangle en A

 

Si nous posons A = 90° dans les quinze formules précédentes, nous obtenons respectivement :

 

cos a = cos b cos c     (5)                              cos a = cotg B cotg C            

                                                                                  cos B = sin C cos b          (6)

                                                                                  cos C = sin B cos c

 

sin b = sin a sin B                                         cos C = cotg a tg b

sin c = sin a sin C       (7)                              cos B = cotg a tg c                 (8)

                                                                sin c = cotg B tg b                                                                                              sin b = cotg C tg c                                                                                                                               

 

Formules de trigonométrie sphérique dans un triangle sphérique rectilatère

 

Supposons que le côté a soit égal à 90°. Des simplifications sont obtenues dans les formules (1) à (4) puisque : cos a = 0, cotg a = 0, et sin a = 1 :

 

La première formule de (1) devient     :         0 = cos b cos c + sin b sin c cos A

 

soit :                         cos A = - cotg b cotg c                      (9)

 

La deuxième formule de (1) devient :            cos b = sin c cos B                            (10)

 

La troisième formule de (1) devient :             cos c = sin b cos C                            (11)

 


Relations de passage d’un système de coordonnées célestes à un autre

 

Pour établir les relations de passage d’un système de coordonnées célestes à un autre, appliquons les relations trigonométriques dites du groupe de Gauss aux triangles sphériques (O. Moreau 1997 p 101) :

 

                                   cos a  =  cos b cos c  +  sin b  sin c cos A                             (12)

           sin a / sin A = sin b / sin  B  = sin c / sin C                          (13)

                                    sin a  cos B  =  cos b sin C  -  sin b  cos c  cos A                   (14)

 

D’autres relations équivalentes sont obtenues par permutation circulaire des sommets et des côtés.

 

Relations entre les coordonnées horizontales et les coordonnées horaires

 

La figure 2 représente un astre A repéré sur la sphère céleste par les deux systèmes de coordonnées horizontales et horaires. L’astre est observé depuis l’hémisphère terrestre nord. On reconnaît un triangle sphérique particulier PZA sur la demi-sphère, qui est représenté en bas et à droite sur la figure 2. Les sommets du triangle sphérique PZA sont respectivement le pôle céleste boréal P, le zénith du lieu Z et l’astre A. C’est à ce triangle sphérique que nous allons appliquer les relations de trigonométrie sphérique pour établir les relations de passage  entre les coordonnées horizontales et les coordonnées horaires

 

Passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires

 

Si nous identifions le triangle sphérique ZPA de la figure 2, au triangle sphérique ABC défini par la figure 1, dans lequel les relations 12 à 14 s’appliquent, nous pouvons écrire :

A = π - a, P ≡ B = H

et

(PA) (BC) = a = 90° - δ, (ZA) (AC) = b = 90° - h, (ZP) (AB)  = c = 90° - φ




Figure 2

 

les relations (12), (13) et (14) s’écrivent alors respectivement :


cos (90°- δ) = cos (90°- h)  cos (90°- φ) + sin (90°- h)  sin (90°- φ)  cos (p - a)

sin (90° - δ) / sin (π - a) = sin (90° - b) / sin H

sin (90°- δ) cos H = cos (90°- h)  sin (90°- φ) - sin (90°- h)  cos (90°- φ)  cos (π - a)

 

et en utilisant les relations trigonométriques connues :

sin (90°- x) = cos x, cos (90°- x) = sin x, cos (90°+ x) = - sin x, sin (90°+ x) = cos x

et  sin (π - x) = sin x, cos (π - x) = - cos x

les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires :

                                    sin δ = sin φ cos z – cos φ sin z cos a

                                   cos δ sin H = sin z sin a

                                   cos δ cos H = cos φ cos z  + sin φ sin z cos a


Passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales

 

Pour obtenir les relations de passage inverse, identifions le triangle sphérique PZA (figure 2) au triangle ABC, nous pouvons écrire :

A = H, Z B = π - a

et 

(ZA) (BC) = a =  90° - h, (PA) (AC) = b = 90° - δ, (PZ) (AB) = c = 90° - φ

 

les relations (12), (13) et (14) s’écrivent alors respectivement :

 

cos (90°- h) = cos (90°- δ)  cos (90°- φ) + sin (π - a)  sin (90°- φ)  cos H

 

sin (90° - h) / sin H = sin (90° - δ) / sin (π - a)

 

sin (90°- h)  cos (π - a) = cos (90°- δ)  sin (90°- φ) - sin (90°- δ)  cos (90°- φ)  cos H

 

en utilisant les relations trigonométriques les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales :

 

                                   cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H

                                   sin z sin a = cos δ sin H

                                   sin z sin a = - cos φ sin δ + sin φ cos δ cos H

 

Relations entre les coordonnées équatoriales et les coordonnées écliptiques

 

La figure 3 représente un astre A repéré sur la sphère céleste par les deux systèmes de coordonnées équatoriales et écliptiques. L’astre est observé depuis l’hémisphère terrestre nord. On reconnaît un triangle sphérique particulier QPA sur la demi-sphère, qui est représenté en bas et à droite sur la figure 3.


C’est à ce triangle sphérique que nous allons appliquer les relations de trigonométrie sphérique pour établir les relations de passage

 

Passage des coordonnées équatoriales aux coordonnées écliptiques

 

Si nous identifions le triangle sphérique PQA (figure 3) au triangle sphérique ABC défini par la figure1, dans lequel les relations 12 à 14 s’appliquent, nous pouvons écrire :

 

P A = 90° + α, Q B = 90° - λ

et

(QA) (BC) = a = 90° - β, (PA) (AC) = b = 90° - δ, (QP) (BA) = c = ε

 

Figure 3

 

les relations (12), (13) et (14)  s’écrivent alors respectivement :

 

cos (90°- β) = cos ε cos (90°- δ) + sin ε sin (90°- δ)  cos (90°+ α)

sin (90° - β) / sin (90° + α) = sin (90° + α) / sin (90° - λ)

sin (90°- β)  cos (90°- λ) = sin ε sin (90°- δ) - cos ε cos (90°- δ)  cos (90°+ α)

 

en utilisant les relations trigonométriques les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des coordonnées équatoriales aux coordonnées écliptiques :

                                   sin β  =  cos ε  sin δ – sin ε  cos δ  sin a

                                   cos β  cos λ  = cos α  cos δ                                     

                                   cos β  sin λ  = sin ε  sin δ + cos ε  cos δ  sin α

 

Passage des coordonnées écliptiques aux coordonnées équatoriales

 

Pour obtenir les relations de passage inverse, identifions le triangle sphérique QPA (Figure 3) au triangle ABC, nous pouvons écrire :

Q A = 90° - λ, P B = 90° + α

et

 (PA) (BC) = a = 90° - δ, (QA) (AC) = b = 90° - β, (QP) (AB) = c =  ε

 

les relations (12), (13) et (14)  s’écrivent alors respectivement :

cos (90°- δ) = cos ε cos (90°- β) + sin ε sin (90°- β)  cos (90°- λ)

sin (90° - δ) / sin (90° - λ) = sin (90° - β) / sin (90° - α)

sin (90°- δ)  cos (90°+ α) = cos (90°- β) sin e - sin (90°- β) cos e cos (90°- λ)

 

en utilisant les relations trigonométriques connues les trois relations précédentes conduisent aux relations de passage des écliptiques aux coordonnées équatoriales :

sin δ  =  cos ε  sin β + sin ε  cos β  sin l

cos δ  cos α  = cos β  cos λ                        

cos δ  sin α  = cos ε  cos β  sin λ – sin ε  sin β

 

Résolution de problèmes fondamentaux d’astronomie de position

 

Triangle de position

 

Le triangle de position d’un astre permet de repérer l’astre sur la sphère céleste à partir de deux points fixes, le pôle boréal céleste P et le zénith du lieu Z. Ce triangle sphérique est constitué par trois points de la sphère céleste : le pôle céleste boréal P, le zénith du lieu Z et l’astre A représentant une étoile ou le Soleil (figure 2).


Le triangle de position est défini par trois arcs de grand cercle formant trois angles :

-   l’angle (ZPA) est par définition l’angle horaire de l’astre, H (figure 2)

-   l’angle (PZA) est égal à π - a, où a est l’azimut de l’astre (figure 2)

-  l’angle (ZAP) troisième angle du triangle PZA est appelé angle à l’astre. Cet angle n’intervient pas dans les calculs que nous allons effectuer,

et par trois côtés :

-   l’arc (PA) est par définition la distance polaire de l’astre p, liée à la déclinaison de l’astre par la relation : p = 90° - δ (figure 2)

-  l’arc (PZ) est par définition la colatitude de l’astre, qui est reliée à la latitude par la relation : θ = 90° - φ (figure 2)

-  l’arc (ZA) est la distance zénithale de l’astre z, reliée à la hauteur de l’astre h, par la relation : z = 90° - h (figure 2).

 

L’angle à l’astre n’intervient pas dans les calculs que nous effectuons. La latitude φ est toujours connue, nous pouvons l’associer à trois des quatre élément restant du triangle de position : H, a, z et p, de quatre manières différentes, ce qui conduit à douze problèmes fondamentaux d’astronomie de position, que nous résoudrons en utilisant les relations de trigonométrie sphérique existant entre les éléments du triangle de position. Dans ce qui suit, nous raisonnons sur le cas de la figure 2 relative à un astre A vers l'Est.
 

Résolution de problèmes fondamentaux d’astronomie de position


1- Calculer l’angle horaire H d’un astre observé vers l’Ouest, connaissant sa déclinaison et sa distance zénithale.

Identifions le triangle de position ZAP (figure 2) au triangle sphérique ABC défini par la figure 1, dans lequel s’appliquent les relations de trigonométrie sphérique. Nous pouvons écrire :

P ≡ C = H, Z A = π - a

et

(PA) (BC) = a = 90° - δ, (PZ) (CA) = b = 90° - φ, (ZA) (AB) = c = z = 90° - h

 

La troisième formule fondamentale de (1) :  cos c  =  cos a cos b  +  sin a  sin b cos C, appliquée au côté (ZA) (AB) s’écrit avec les notations astronomiques :

 

cos z = cos (90° - δ) cos (90° - φ) + sin (90° - δ) sin (90° - φ) cos H

d’où :

cos H = (cos z – sin δ sin φ) / (cos δ cos φ)                        (15)

 

L’astre étant visé vers l’Ouest, on prend la détermination positive. Si l’astre était visé vers l’Est, on prendrait la détermination négative. Vers l’Ouest, signifie du côté de l’Ouest, alors que à l’Ouest, signifie dans la direction du point cardinal Ouest.

 

2-  Calculer la distance zénithale d’un astre observé vers l’Ouest, connaissant sa déclinaison et son angle horaire H.

 

La distance zénithale est obtenue à l’aide de la troisième formule fondamentale de (1)  qui s’écrit :

cos z = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos H                    (16a)

 

La hauteur de l’astre h est reliée à la distance zénithale z par la relation : h + z = 90°, cos z = cos (90° - h) =  sin h, la relation (16a) permet d’écrire :

 

sin h = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos H                    (16b)

 

3- Calculer la déclinaison d’un astre observé vers l’Ouest, connaissant son angle horaire H et sa distance zénithale.

 

La déclinaison apparaît par son sinus et son cosinus dans (16a) :

 

cos z = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos H                    (17)

 

On peut résoudre l’équation (17) par une méthode itérative. Mais aussi par introduction d’un angle auxiliaire Ψ. Pour cela posons : tg Ψ = cotg φ cos H, et introduisons tg Ψ dans (17) :

 

cos z = sin φ ( sin δ + cos δ tg Ψ) =  (sin φ / cos Ψ) (sin δ cos Ψ + cos δ sin Ψ)

 

cos z = (sin φ / cos ψ)  sin (δ + ψ),   d’où : sin (δ + ψ) = (cos z cos ψ) / sin φ     (18)

 

Le calcul de la déclinaison se fait en deux temps. D’abord le calcul de l’angle auxiliaire ψ. Cet angle étant connu, on calcule sin (δ + ψ) à l’aide de (18). On déduit la valeur de la déclinaison de celle de l’angle (δ + ψ).

 

            4- Calculer l’angle horaire d’un astre, connaissant sa déclinaison et son azimut.

 

L’identification des triangles ZAP (figure 2) et ABC défini par la figure 1 permet d’écrire :

 

A = π - a, P C = H    et   (PA) (CB) = a = 90° - δ, (PZ) ≡  (CA) b = 90° - φ

 

L’angle de sommet Z (figure 2) s’exprime en fonction de l’azimut a de l’astre : Z = π - a. Dans ce problème, quatre éléments consécutifs interviennent : a = 90° - δ, b = 90° - φ, C = H et A = π - a, nous utiliserons la formule (4) : cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A, liant les quatre éléments consécutifs. Cette formule s’écrit :

 

tg δ cos φ = sin φ cos H + sin H cotg A       (19)

 

On peut résoudre l’équation (19) par une méthode itérative. Mais aussi par introduction d’un angle auxiliaire ψ. Pour cela posons : tg ψ = cotg A / sinj, et introduisons tg ψ dans (19) qui s’écrit :

 

tg δ cos φ = sin φ (cos H + sin H tg ψ) = (sin φ / cos ψ)  cos (H - ψ)

d’où :

cos (H - ψ) = tg δ cotg φ cos ψ                                (20)

 

Le calcul de l’angle horaire est effectué de la même façon que dans l’exemple précédent.

 

            5- Calculer l’azimut d’un astre, connaissant sa déclinaison et son angle horaire.

 

La relation (19) donne :         

cotg A = (tg δ cos φ - sin φ cos H) / sinH                            (21a)

 

On déduit l’azimut a de la valeur de l’angle A= π - a, obtenue par le calcul. Mais, on obtient directement la valeur de l’azimut a, puisque les angles A et a sont reliés par l’égalité A= π - a, cotg (π - a) = - cotg a, la relation (21a) s’écrit : 

 

    cotg a = - (tg δ cos φ - sin φ cos H) / sin H                     (21b)

 

            6- Calculer la déclinaison d’un astre, connaissant son azimut et son angle horaire.

 

La relation (19) donne :         

  tg δ = (sin φ cos H +sin H cos A) / cos φ                          (22)

 

            7- Calculer l’angle horaire d’un astre, connaissant son azimut et sa distance zénithale.

Nous identifions le triangle de position PAZ au triangle sphérique ABC. De l’azimut a, nous déduisons la valeur de l’angle au sommet Z : Z C = π - a. Les quatre éléments qui interviennent sont consécutifs :P ≡  A = H, (PZ) (AC) = b = 90° - j, Z ≡ C = π - a et (ZA) CB) = a = z (figure 2). Il y a lieu d’appliquer la formule en cotangente (4) : cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A, qui s’écrit :

cotg z cos φ = sin φ cos Z + sin Z cotg H

d’où :

                             cotg H = (cotg z cos φ - sin φ cos Z) / sinZ                                 (23)

 

H est positif pour l’astre vers l’Ouest, et négatif pour l’astre vers l’Est.

 

            8- Calculer l’azimut d’un astre, connaissant son angle horaire et sa distance zénithale.

 

La relation précédente :

 cotg z cos φ = sin φ cos Z + sin Z cotg H                           (24)

 

permet de calculer la valeur de l’angle Z = π - a par une méthode itérative. Mais aussi par introduction d’un angle auxiliaire ψ. Pour cela posons : tg ψ = cot H / sin φ, et introduisons tg ψ dans (24) :

 

cotg z cos φ = sin φ ( cos Z + sin Z (cotg H / sin φ))= (sin φ /cos ψ)(cos ψ cos Z + sin Z sin ψ)

 

cotg z cos  =  (sin  / cos ψ) (cos (Z - ψ)

d’où :

  cos (Z - ψ) = tg z cotg φ cos ψ                                            (25)

 

La valeur de l’azimut est déduite de celle de l’angle Z  = π - a.

 

            9- Calculer la distance zénithal d’un astre, connaissant son angle horaire et son azimut.

 

La connaissance de l’azimut a permet de calculer Z = π - a. De la relation (24) on tire :

 

      cos z = (sin φ cos Z + sin Z cotg H) / cos φ                                (26)

 

            10- Calculer l’azimut d’un astre, connaissant sa déclinaison et sa distance zénithale.

 

La troisième formule fondamentale de (1) :  cos c  =  cos a cos b  +  sin a  sin b cos C, permet d’écrire :

sin δ = cos z sin φ + sin z cos φ cos Z

d’où :

         cos Z = (sin δ - cos z sin φ) / sin z cos φ                                (27a)

 

On déduit la valeur de l’azimut a = π -  Z, de celle de l’angle Z . Ou, puisque Z = π - a, cos Z = cos (π - a) = - cos a, la relation (27a) s’écrit :

 

                                           cos a = - (sin δ - cos z sin φ) / sin z cos φ                           (27b)

 

            11- Calculer la distance zénithale d’un astre, connaissant sa déclinaison et son azimut.


De la valeur de l'azimut, nous déduisons celle de l'angle z = π - a. La distance zénithale est calculée par méthode itérative, à partir de la formule :

       sin δ = cos z sin φ + sin z cos φ cos Z                            (28)

 

Mais aussi par introduction d’un angle auxiliaire ψ. Pour cela posons : tg ψ = cotg y cos Z, nous obtenons :

sin δ = (sin φ / cos ψ) ( cos z cos ψ + sin z sin ψ) =  (sin φ / cos ψ) cos (z - ψ)

d’où :

      cos (z - ψ) = (sin δ cos ψ) / sin φ                                       (29)

           

12- Calculer la déclinaison d’un astre, connaissant sa distance zénithale et son azimut.

 

Ce problème est résolu à l’aide de la formule (28), dans laquelle Z = π - a :

 

       sin δ = cos z sin φ + sin z cos φ cos (π - a)                    (30)

 

            13- Ascension droite du Soleil exprimée en fonction de sa longitude écliptique.

 

Si nous appelons S la position du Soleil sur l’écliptique, la longitude écliptique du Soleil l est égale à l’arc (gS) tracé sur l’écliptique (figure 4).


 

Figure 4

Le cercle horaire passant par S est orthogonal à l’équateur céleste qu’il coupe en H. L’arc de l’équateur céleste (ϒH) = α mesure l’ascension droite du Soleil. Le triangle sphérique HSϒ, rectangle en H, est équivalent au triangle sphérique ABC, rectangle en A étudié plus haut. Utilisons la première des relations (8) : cos C = cotg a tg b, qui s’écrit avec les notations astronomiques C = ε, a = λ et b = α : cos ε  = cotg λ tg α, de laquelle nous déduisons :

 

tg α = tg λ cos ε                                                         (31)

 

Cette relation relie l’ascension droite α du Soleil, sa longitude écliptique λ et l’obliquité de l’écliptique ε.

 

            14- Ascension droite du Soleil exprimée en fonction de sa déclinaison.

 

Sur la figure 4, l’arc de l’équateur céleste (γH) = α mesure l’ascension droite du Soleil, et l’arc (SH) = δ mesure sa déclinaison. Le triangle sphérique HSγ, rectangle en H, est équivalent au triangle sphérique ABC, rectangle en A. Utilisons la quatrième des relations (8) :  sin b = cotg C tg c, cette relation s’écrit avec les notations astronomiques C = ε, b = α et c = δ :

sin α  = cotg ε tg δ                                                     (32)

 

Cette relation relie les coordonnées équatoriales du Soleil, ascension droite α et déclinaison δ, et l’obliquité de l’écliptique .

 

Sources

 

Olivier Moreau   Mieux connaître la voûte céleste   Annexe 5  Ed. Jean-Paul Gissert   1997

Raymond D’Hollander   L’Astrolabe   chapitre 2     Ed. Institut Océanographique   1999

André Danjon    Astronomie générale  § 6 à 10   Albert Blanchard  Paris   1994

 

 

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