5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Hay dos tecnicas directas para encontrar tales puntos, estas t\ecnicas ge-ne-ralmente se denominan criterio de la primera derivada y criterio de la segunda derivada.

Para entrar en materia necesitamos definir con precisi\on que entenderemos por maximo, mínimo, etc.

Sea MATH, diremos que $f(a)$ es el valor m\aximo de la funcion $f$ (\o Valor M\aximo absoluto de $f$ o simplemente el m\aximo de $f$) si para todo elemento $x \in A$ se cumple $f(x) \leq f(a) $ En forma totalmente an\aloga se define mínimo absoluto o mí nimo. $f(a)$ es el valor mínimo absoluto en $A$ si
MATH

Note que necesariamente el valor m\aximo (el valor mínimo) es la imagen de un punto MATH; Se dice ``en $a$ est\a el m\aximo de $f$''(``en $a$ est\a el mínimo de $f$").

Si $f$ no es inyectiva, puede existir varios otros elementos de $A$ donde $f$ alcance el valor m\aximo o el valor mínimo, sin embargo el valor m\aximo o el valor mínimo absoluto si existen son \unicos.

Por ejemplo la funci\on $f(x) = \func{sen}x$ no es inyectiva, el valor m\aximo de $f$ es $1$ y el valor mínimo de $f$ es $-1$ y estos valores son alcanzados en m\as de un punto.

Hay otro concepto de m\aximo (o mínimo) de $f$ que es menos exigente, este es m\aximo local o relativo (mínimo local o relativo).

En el gráfico de ventas de un producto en el año, una multitienda tiene dos "grandes" meses de ventas Marzo y Diciembre (ver gráfico siguiente)


Deriva__2048.png


pero claramente ambos no son máximo absolutos.

  • Sea MATH. Diremos que en $\alpha \in A$ hay un m\aximo relativo o m\aximo local si existe una vecindad de $\alpha ,\ V_\alpha$ tal que $f(\alpha ) $ es el m\aximo absoluto de la funci\on $f|_{V_\alpha}$, es decir, MATH, an\alogamente se define mínimo local

  • Sea MATH. Diremos que $f$tiene un m\aximo relativo estricto en $\alpha \in A$ si existe una vecindad de $\alpha ,\ V_\alpha$ tal que MATH. An\alogamente se define mí nimo relativo estricto

  • Sea MATH una función continua con gráfica dada en la figura
    Deriva__2061.png
    . Claramente $f(d)$ es el máximo absoluto, a diferencia de los valores $f(a),\ f(l)$ que son solamente máximo relativo y de los valores $f(e),\ f(b)$ que son mínimos relativos unicamente ($f(d),\ f(c)$ son también relativos) Diremos que un valor $f(a)$ con $a \in A$ es un valor extremo de $f$ en $A$ si es el m\aximo o mínimo de alguna especie en $A$ y punto extremo al punto $a$ donde alcanza el valor extremo. Sea MATH . La gr\afica de $f$ es un trozo de una par\abola y claramente se puede notar mediante su gr\afica que $f(0)=2$ es el mínimo absoluto y que $f(-4)$ es el m\aximo absoluto (tambi\en relativo) y $f(1)$ m\aximo absoluto estricto. En este caso $f$ tiene tres valores extremos $f(0),f(-4), f(1)$. Sea MATH . Como la funci\on es estrictamente decreciente $f$ tiene s\olo dos valores extremos $f(-\ln (5)) = 25 $ que es el m\aximo absoluto en $A$. MATH que es el mínimo absoluto en $A$. Sea MATH. Claramente $f$ es estrictamente creciente, por lo tanto el m\aximo se encuentra en $5$, y este es $f(5) = 13$. Pero esta funci\on no tiene un mínimo, ya que MATH, sin embargo $f(x)$ es acotado inferiormente por $4$, pues
    MATH
    No podemos decir que $4$ es mínimo absoluto ni local ya que \el debe ser imagen de un elemento del dominio que se est\a utilizando, en este caso $]2,5]$

    En estos dos \ultimos ejemplos se puede visualizar lo \util que resulta tener la informaci\on relativa al decreciento o creciento de una funci\on.

    Consideremos la figura $\bigstar $


    Deriva__2097.pngFigura $\bigstar $

    Supongamos que ella representa la gráfica de una función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $]a,b[$

    Notemos que en el intervalo $]a,c[$, donde la funci\on es creciente, la pendiente de la tangente a la gr\afica de $f$ en $(u,f(u))$ es positiva, por lo tanto MATH Esto ocurre para cualquier $u \in ]a,c[ $, así $f^{\prime}(x) > 0 $ para todo $x$ en $]a,c[ $.

    Lo mismo ocurre en el intervalo $] d, b [$, es decir, $f$ es creciente ahí y tambi\en $f^{\prime}(x) > 0 $ en $]d , b [ $.

    Sin embargo en el intervalo $] c, d[ $ la funci\on es decreciente y la recta tangente trazada en $(v, f(v) ) $ tiene pendiente negativa, así MATH si $x \in ]c,d[ $.

    Finalmente, usando figura $\bigstar $ se tiene que las tangentes a la gráfica en los puntos extremos $c$ y $d$ tienen pendiente cero, es decir;
    MATH
    Note que $f(a),\ f(b)$ son también extremos pero las "derivadas derechas e izquierda Note_8 ", de existir no son nulas.

    Como conclusi\on del caso anterior tenemos que los extremos se pueden encontrar donde la derivada se anula, donde no existe la derivada o en los extremos del intervalo.

    Veamos a continuaci\on algunos ejemplos donde estos casos ocurre.

    Sea MATH, la derivada se anula en $0$, es decir, $f^{\prime }(0)=0$ y $f$ tiene un mínimo en $0$ (ver figura $\heartsuit ,$ gráfico izquierdo.).
    Deriva__2132.pngFigura $\heartsuit $

    Sea MATH, la derivada no existe en $0$, sin embargo $f$ tiene un mínimo en $0$ (ver figura $\heartsuit ,$ gráfico central.). Sea $a\neq 0$ y sea MATH, la derivada de $f$ no se anula en $a$, es decir, MATH y $f$ tiene un mínimo en $a$.(ver figura $\heartsuit ,$ gráfico derecho). Sea $f$ derivable en MATH, $A$ vecindad de $a$ y $f(a)$ un mínimo relativo entonces $f^{\prime}(a) = 0 $.

    Demostración: Como $f(a)$ es un mínimo relativo se tiene que
    MATH

    De esta forma
    MATH
    Así, si $h >0 $
    MATH
    y si $h < 0 $
    MATH
    luego
    MATH
    y como $f$ es derivable en $a$ si tiene obtenemos la siguiente cadena
    MATH
    de donde se concluye que $f^{\prime}(a) = 0 $ $\Box$

    Sea $f(M) $ un valor m\aximo de $f$, $f$ derivable en $M$, entonces $f^{\prime}(M)=0$

    Demostraci\on: Si $f(M)$ es un valor m\aximo de $f$, $-f(M) $ es un valor mínimo de $-f$, por teorema anterior MATH.

    $\Box$

    Observaci\on: Si $f^{\prime}(a) =0$, no necesariamente $f $ tiene un extremo en $a$.

    Por ejemplo; $f(x) = x^3 $ definida en $\QTR{Bbb}{R}$ tiene derivada en $x=0$ pero no tiene extremos, a pesar que en $0$ la derivada es anula.

    Conclusi\on:

    Si $f$ esta definida en una vecindad de $p$ y $f^{\prime}(p) =0$ (por lo tanto es derivable en $p$) entonces puede ocurrir que:

  • $f(p)$ sea un m\aximo relativo.

  • $f(p)$ sea un mínimo relativo.

  • $f(p)$ no sea valor extremo.

¿Pero cómo decidir cuál de estos casos se cumple?

Primero veamos cómo decidir en el caso que sean extremos, trabajando con una función $f$ continua definida en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $]a,b[$.

Por lo tanto, si $f$ es un función derivable en $]a,b[$y continua en $[a,b]$ podemos asegurar que $f$ alcanza el máximo y el mínimo en algún punto $c\in ]a,b[$donde $f^{\prime }(c)=0$ o en los bordes $x=a$o $x=b $.

Así, para determinar cuál es el valor máximo y cuál es el valor mínimo basta evaluar la función en los extremos del intervalos $x=a$ o $x=b$, y los puntos donde la derivada se anula y considerar el valor máximo y el valor mínimo entre estos valores.

Sea MATH Tenemos que $f$ es continua en $[-1,3]$ y derivable en $]-1,3[$. Puesto que MATH entonces evaluando $f$ en los puntos $x=0, x=-1, x=3$ obtenemos;
MATH
Así el m\aximo absoluto de $f$ es $8$ y el mínimo absoluto es $-1 $. Se desea construir un oleoducto de un punto $A$ a otro punto $B$ que distan $5km$ y se encuentran en riberas opuestas de un río de cauce recto de $3km$ de ancho. El oleoducto ir\a bajo el agua de $A$ a un punto $P$ en la ribera opuesta y luego sobre el suelo de $P$ a $B$. El costo por kil\ometro de tubería bajo el agua es el cu\adruple del costo sobre tierra. Calcule la posici\on de $P$ que minimizar\a el costo (desprecie la pendiente de lecho del río).

Solución: Sea $x$la distancia (en kms) del punto $O$al punto $P$ ver figura MATH


Deriva__2228.pngfigura MATH

.

Por Pit\agoras en el tri\angulo $AOB$se tiene
MATH
luego $\overline{OB} =4$, de donde $\overline{PB}=4-x$.

Adem\as, en el tri\angulo $AOP$, se tiene
MATH

Sea $c$ el costo por $km$ de tubería sobre tierra, entonces el costo por km de tubería bajo el agua es $4c$

Luego la función que representa el costo de construción del oleoducto es
MATH
donde $0\leq x\leq 4$.

Como $C(x)$es una función continua en $[0,4]$y derivable en $]0,4[$ entonces $C(x)$alcanza su máximo en algún punto a donde $f^{\prime }(a)=0$o en los bordes del intervalos $[0,4]$.


MATH

Como MATH,
evaluando la funci\on $C(x) $ en MATH y en los puntos $x=0$ y $x=4$ se tiene;


MATH
Como $c>0$ y MATH,
entonces el mínimo costo es $(3\sqrt{15} +4)c$ y la posici\on del punto $P$ debe ser MATH del punto $B$.

Un campo petrolero tiene ocho pozos que producen un total de 1600 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevo que se tiene, la producci\on media por pozo disminuye en 10 barriles diarios ?`Cu\antos pozos adicionales se deben formar para obtener la mayor producci\on de crudo al día?

Soluci\on: Sea $x$: el n\umero de pozos adicionales; MATH. Si se tiene 8 pozos que producen un total de 1600 barriles entonces la producci\on media por pozo es 200 barriles diarios. Por cada pozo nuevo que se tiene la producci\on media por pozo disminuye en 10 barriles luego, la producci\on media por pozo es
MATH
por lo tanto la producci\on de crudo al día es
MATH
Como $x\geq 0 $ y $P(x) \geq 0$, entonces $200-10x \geq 0$ (de donde $0 \leq x \leq 20 $).

En consecuencia la función a maximizar es;

MATH, con $x\in \lbrack 0,20]$.

Como $P$ es una funci\on continua en el intervalo cerrado $[0,20]$ y derivable en $]0,20[$, $P$ alcanza su m\aximo en alg\un punto $a$ donde $f^{\prime}(a)=0$ o en los bordes del intervalo.


MATH
luego;
MATH
Así al evaluar la funci\on $P$ de producci\on en los puntos $x=0, x=6, x=20$ tenemos;
MATH
De esta forma la producci\on m\axima se obtiene con 6 pozos adicionales.

El propietario de un huerto de manzana, calcula que si siembra 24 \arboles por acre, entonces cada \arbol adulto dar\a 600 manzanas al a\no. Por cada tres \arboles m\as que se planten por acre el n\umero de manzanas que produce cada \arbol disminuye en 12 al a\no. ?`Cu\antos \arboles se deben plantar por acre para obtener el mayor n\umero posible de manzanas al a\no?

Soluci\on: Sea $3x$ el n\umero de \arboles que se plantan (sobre los 24 \arboles) por acre.

Puesto que por cada tres \arboles m\as que se planten por acre el n\umero de manzanas que produce cada \arbol disminuye en 12 al a\no, entonces si se plantan $(24 + 3x)$ \arboles por acre el n\umero de manzanas que produce cada \arbol ser\a $600 -12x$, luego la producci\on de manzanas al a\no ser\a;
MATH
Como MATH y $P(x) \geq 0$, entonces $600-12x \geq 0 $ (de donde $x \leq 50 $).

Así;
MATH

Luego
MATH


MATH

Dado que $P$ es continua en $[0,50]$ y derivable en $]0,50[$ entonces evaluando en los puntos $x=0,x=21,x=50$ tenemos
MATH
luego la máxima producción de manzana se obtiene cuando se plantan 63 árboles más por acre es, es decir, 87 árboles por acre.

Test de la Primera Derivada

Observaci\on: En los ejemplos anteriores s\olo bast\o evaluar en los puntos donde $f^{\prime}(p) =0$ y en los bordes del intervalo $[a,b]$, pero en general si queremos determinar los extremos de una funci\on necesitamos informaci\on sobre el crecimiento y decrecimiento de la funci\on $f$ en una vecindad de $p$.

Así, para $\epsilon >0$ se obtiene los siguientes casos:

  • Si $f$ es estrictamente creciente en la vecindad izquierda de $p$, $]p-\epsilon ,p[$ y estrictamente decreciente en la vecindad derecha de $p$, MATH se tiene que $f(p)$ es un máximo local estricto. (figura MATH izquierda).


Deriva__2309.pngFigura MATH

  • Análogamente si $f$ es estrictamente decreciente en $]p-\epsilon ,p[$ y $f$ es estrictamente creciente en MATH entonces $f(p)$ es un mínimo relativo estricto (figura MATH gráfico derecho).

  • Si no ocurre alguna de las dos alternativas anteriores, $f(p)$ no es valor extremo.

    De lo anterior es claro que necesitamos una forma de visualizar cuando $f$ es creciente y cuando es decreciente. Con ese objeto enunciaremos los teoremas siguientes.

Un punto $c\in \text{Dom}f$, se dice que es un punto crítico de $f$ si ocurre una de las siguientes posibilidades;
MATH
Sea $f(x) = 3(x-2)^2 $. $x=2$ es un punto crítico de $f$, pues $f^{\prime}(2) =0 $. Sea $f(x) = |x-5|$ luego tenemos que su derivada es:
MATH
Puesto que MATH, $x =5$ es un punto crí tico Sea MATH, entonces tenemos que MATH si $x\not=0$. Por lo tanto $x=0$ es un punto crí tico.

Concavidad

Sea MATH, $I$ un intervalo
  1. Diremos que la función $f$ es convexa o concava hacia arriba en $I$ si $\forall a,b,x\in I$ tal que $a<x<b$ el punto $(x,f(x))$ (de la gráfica de $f$ ) está abajo de la recta secante que une los puntos $(a,f(a)) $ y $(b,f(b))$ figura$\cup \cap $ gráfico izquierdo.

  2. Diremos que la función $f$ es concava o concava hacia abajo en $I$ si $\forall a,b,x\in I$ tal que $a<x<b$ el punto $(x,f(x))$ (de la gráfica de $f$ ) está sobre la recta secante que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ figura $\cup \cap $ gráfico. derecho


    Deriva__2811.pngFigura $\cup \cap $

La par\abola $y = 3x^2 + 6x +2 $ es concava hacia arriba o convexa. La par\abola $y = -3x^2 + 6x +2 $ es concava hacia abajo o concava. La funci\on $y =\func{sen}x$ es concava hacia abajo en el intervalo $[0, \pi]$ y concava hacia arriba en el intervalo $[\pi, 2\pi ]$



Aplicaciones de máximos y mínimos

Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . .

Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objectivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objectivo.) Especiíicamente:

1. Identifique la o los incógnitas.
Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema.

2. Identifique la función objectivo.
Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.

3. Identifique la o los restricciones.
Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables.

4. Enuncie el problema de optimización.
Ésta tendré la forma "Maximize [o minimize] la función objectivo sujeta a la o los restricciones."

5. Elimine variables adicionales.
Si la función objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objectivo.

6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo.
Aplique las técnicas descritas más arriba.

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