☆1: Unidades naturais. Em unidades onde ℏ = c = 1, mostre que:
(a) 1 kg = 5,61 ⨉ 10²⁶ GeV
Dica: use E = mc².
(b) 1 s = 1,52 ⨉ 10²⁴ GeV ⁻¹
Dica: use E = hf.
(c) 1 m = 5,07 ⨉ 10¹⁵ GeV ⁻¹
Dica: use c = 2,998×10⁸ m/s.
Comentário: em unidades naturais, segue que [energia] = [massa] = [comprimento] ⁻¹ = [tempo] ⁻¹.
☆2: Operações com tensores. Quais expressões abaixo representam uma operação válida? Justifique.
(Lembrete: índices gregos variam de 0 a 3 e índices latinos de 1 a 3.)
(a) Aᵦ Bᵦ
(b) Aₙ Bₙ
(c) Aᵦᵧᵩᵪ Bᵝᵞᵠᵡ
(d) (Aᵦᵧ Bᵝᵞ)(Cᵦᵧ Dᵝᵞ)
(e) Aᵦᵧ + Bₘₙ
☆3: Simetria em índices tensoriais. Aᵩᵪ é antissimétrico nos seus índices.
(a) Escreva Aᵩᵪ na forma de uma matriz 4 × 4. Sabendo que essa matriz é antissimétrica, explique quantos elementos linearmente independentes o tensor Aᵩᵪ contém. (Resposta: 6.)
(b) Escreva a expressão para Aᵩᵪ Aᵠᵡ realizando o somatório nos índices repetidos e simplifique ao máximo a sua expressão.
Agora considere um tensor Bᵩᵪ que é simétrico nos seus índices.
(c) Explique quantos elementos linearmente independentes o objeto Bᵩᵪ contém. (Resposta: 10.)
(d) Mostre que AᵝᵞBᵦᵧ = 0.
☆4: Energia relativística. Seja pᵝ = (E , p) e p = 𝛾mv. Use a métrica (+,−,−,−) e unidades naturais (c = 1).
(a) Discuta se a contração pᵝ pᵦ depende do referencial.
(b) Calcule pᵝ pᵦ e use isso para mostrar que E² = p² + m².
(c) Seja um referencial (coordenadas x', y', z', t') com velocidade v paralela ao eixo x. Utilize as transformações de Lorentz p₁' = γ(p₁ - v E) e E' = γ(E - v p₁) para mostrar que E² - p² = E'² - p'².
(d) Partindo de E² = p² + m², mostre que E = 𝛾m.
☆5: Energia relativística. No caso não-relativístico, a energia total de uma partícula é a cinética p²/2m mais a potencial V(x). No caso relativístico a expressão E² = p²c² + m²c⁴ fornece a energia de uma partícula livre, isto é, essa expressão contém contribuições somente da energia cinética (E = γmc² - mc²) e da energia de repouso (E = mc²). No caso relativístico, qual é a expressão para a energia total, isto é, incluindo a energia potencial V(x)?
☆6: Consequências básicas da relatividade especial. Considere dois referenciais, S e S', com movimento relativo v = const. paralelo ao eixo x. Fazendo uso das transformações de Lorentz entre S e S' e da expressão para o intervalo infinitesimal invariante (ds² = dt² - dx²), faça o que se pede abaixo:
(a) Verique a relatividade da simultaneidade.
(b) Deduza a expressão para a dilatação do tempo.
(c) Deduza a expressão para a contração do espaço.
☆7: "Dedução" da lagrangiana relativística para a partícula livre. Lembrando que p = ∂L/∂v use a definição do momento relativístico (p = γmv) para deduzir a lagrangiana (5.21).
☆8: Problema 5.6 do livro-texto. Partindo de S = ∫ L dt como dado em (5.25), utilize as equações de Euler-Lagrange para obter que a força resultante sobre a partícula no campo eletromagnético é F = q(E + v × B).
☆9: Problema 5.7 do livro-texto. Hamiltoniana da partícula imersa no campo eletromagnético no limite não-relativístico.
☆10: Invariância do eletromagnetimo sob transformações de calibre.
(a) Aplique a transformação de calibre Aᵝ → Aᵝ - ∂ᵝΛ na expressão (5.53) para a densidade de lagrangiana ℒ do eletromagnetismo. Você verá que a nova lagrangiana ℒ' não é igual à lagrangiana original ℒ.
(b) Mostre que, apesar do resultado anterior, a nova ação S' = ∫ d⁴x ℒ' é igual a ação original S = ∫ d⁴x ℒ quando "termos de borda" são descartados.
☆11: Termo extra na lagrangiana do campo eletromagnético. Retorne ao Exemplo 5.6 do livro-texto, mas desta vez adicione o termo (5.65) à lagrangiana (5.53). Verifique que a adição deste termo não muda as equações de Maxwell dadas por (5.55).
☆12: Campo vetorial massivo. Seja a lagrangiana ℒ = a FᵝᵞFᵦᵧ + b AᵝAᵦ. (Essa é a forma da chamada lagrangiana de Proca.)
(a) Obtenha as equações de "Maxwell" para essa lagrangiana.
(b) Obtenha a equação de onda para o 4-potencial.
(c) Determine "a" e "b" de modo que A ~ exp[i(p•x-Et)] (ondas planas) satisfaça E² = p² + m².
☆13: Eletromagnetismo não-linear. Seja a lagrangiana ℒ = (-1/4) FᵝᵞFᵦᵧ + a FᵝᵞFᵦᵧFᵠᵡFᵩᵪ. Obtenha as equações de "Maxwell" para essa lagrangiana e discuta sobre a linearidade das equações.
☆14: Equação de Klein-Gordon. Classicamente, o 4-momento é pᵝ = (E,p). Quanticamente, o 4-momento é um operador atuando em funções. A energia é representada pelo operator hamiltoniano H e o momento é p = −i∇, isto é, pᵝ = (H,−i∇).
(a) Aplique o operador pᵝpᵦ em uma função 𝜑(x,t) e obtenha a equação de Klein-Gordon.
Atenção: H não é igual a i∂/∂t. Por outro lado, postulamos que 𝜑 satisfaz a "equação de Schrödinger", isto é, H𝜑 = i∂𝜑/∂t. (Diferente do caso não-relativístico, aqui H ≠ −1/2m ∇² + V.) Veja que esse postulado não diz que H é um operador representado por i∂/∂t, mas sim que sua ação sobre 𝜑 coincide com a ação de i∂/∂t em 𝜑.
(b) Considere uma solução para 𝜑 do tipo onda plana, com frequência ω=E e vetor de onda k=p. Mostre que a energia da partícula descrita por 𝜑 satisfaz E² = p² + m².
☆15: Problema 6.1 do livro-texto. Usar a lagrangiana de Klein-Gordon para obter a equação de Klein-Gordon, o momento canônico do campo e a densidade de hamiltoniana.
☆16: Campo escalar. Seja a lagrangiana ℒ = 1/2 (∂ᵝ𝜑)(∂ᵦ𝜑) - V(x) para o campo escalar real 𝜑.
(a) Considere V(𝜑) = α𝜑² sendo α uma constante real e positiva. Faça um gráfico de V por 𝜑. Há um mínimo para V? Em caso afirmativo, o valor de 𝜑 no mínimo de V é chamado de estado fundamental.
(b) Considere V(𝜑) = α𝜑² ± β𝜑⁴ sendo α e β constantes reais e positivas. Faça o gráfico de V(𝜑) e determine para qual sinal a energia potencial possui um limite inferior. Qual o valor de 𝜑 no estado fundamental?
(c) Considere V(𝜑) = - α𝜑² + β𝜑⁴. Faço o gráfico de V(𝜑) e responda se o estado fundamental é degenerado. Em caso afirmativo, discuta sob qual tipo de transformação o estado fundamental é simétrico.
(d) Repita o item anterior, mas para a lagrangiana ℒ = 1/2(∂ᵝ𝚽ᵀ)(∂ᵦ𝚽) - [ - α𝚽ᵀ𝚽 + β(𝚽ᵀ𝚽)² ], onde 𝚽ᵀ = (𝜑,𝜓) é uma matriz linha cujos elementos são os campos escalares reais 𝜑 e 𝜓. Repare que agora seu gráfico será tridimensional, de V por 𝜑 e 𝜓.
Comentário: Este é um modelo de campo "vetorial" (vetor no espaço dos campos). Ao desenvolver as contas da lagrangiana, realizando o produto matricial, você nota que há dois campos escalares idênticos, 𝜑 e 𝜓. Caso β = 0, esses campos são totalmente independentes um do outro.
☆17: Dois campos escalares. Verifique que a lagrangiana (7.14) mantém a mesma forma após a transformação indicada em (7.15).
☆18: Problema 7.3 do livro-texto.
☆19: Problema 7.4 do livro-texto.
☆20: Relação canônica de comutação. Considere que o operador posição é apenas a operação de multiplicação pela variável x e que o operador momento linear é p = −iℏ∂/∂x.
(a) De modo explícito, desenvolva a expressão [x,p] f(x) e verifique que o resultado é iℏ f(x).
Comumente a relação canônica de comutação [x,p] = iℏ é tomada como um postulado da mecânica quântica, válido independente da representação escolhida para os operadores x e p. No item (a), escolhemos a representação que satisfaz a relação canônica de comutação quando tais operadores agem sobre funções na variável x.
(b) Qual seria uma possível representação de x e p tal que [x,p] g(p) = iℏ g(p)?
Atenção: neste caso, g(p) é uma função da variável p e não uma função do operador p.
☆21: Operadores 𝒂 e 𝒂†. Obviamente, pode-se idealizar experimentos nos quais x e p podem ser medidos, ainda que com precisão limitada. Discuta se é possível idealizar experimentos onde 𝒂 ou 𝒂† poderiam ser medidos.
☆22: Problema 2.2 do livro-texto.
☆23: Problema 2.3 do livro-texto. O resultado deste problema é particularmente importante e será usado em praticamente todos os nossos estudos de quantização de campos.
☆24: Problema 8.1 do livro-texto.
☆25: Problema 8.2 do livro-texto. Muito importante, pois seu resultado será usado na parte de quantização dos campos.
☆26: Problema 11.1 do livro-texto. O resultado desse problema mostra que resultados de diferentes medidas do campo 𝜑 não afetam uma a outra quando são realizadas em pontos x e y causalmente desconectados. Isso ilustra que o problema da mecânica quântica de partículas discutido ao final do capítulo 8 não persiste na mecânica quântica de campos.
☆27: Comutador entre operadores de criação/destruição. Use [𝜑(x,t),Π(y,t)] = iδ³(x-y) e que [𝜑,𝜑] = [Π,Π] = 0 para mostrar que [aₚ,aₖ] = 0. Dica: Escreva aₚ em termos de 𝜑 e Π.
☆28: Problema 10.3 do livro-texto.
☆29: Problema 10.4 do livro-texto. A lagrangiana do campo eletromagnético Aᵝ é ℒ = -1/4 Fᵝᵞ Fᵦᵧ.
(a) Utilizando o Teorema de Noether, obtenha o tensor energia momento canônico (𝚹ᵝᵞ) e as cargas conservadas (Pᵝ).
(b) Interprete fisicamente as cargas conservadas P⁰ e P.
(c) Mostre que um tensor energia-momento dado por Tᵝᵞ = 𝚹ᵝᵞ + ∂ᵩ(FᵝᵠAᵞ) é conservado, simétrico e gera cargas conservadas fisicamente equivalentes a Pᵝ. Verifique que ele equivale à eq. (10.47) do livro-texto.
(d) Mostre que a componente 00 de Tᵝᵞ é a densidade de energia do campo eletromagnético, dado por u = E² + B².
(e) Mostre que a componente 0i de Tᵝᵞ é a densidade de momento do campo eletromagnético (vetor de Poynting), dado por S = E × B.
(f) Mostre que a componente ij de Tᵝᵞ é o tensor das tensões de Maxwell, dado por tᵢⱼ = EᵢEⱼ + BᵢBⱼ - ½ δᵢⱼ (E² + B²).
☆30: Problema 12.1 do livro-texto. Obter a hamiltoniana do campo escalar complexo em termos dos operadores a e b e seus conjugados hermitianos.
☆31: Problema 12.7 do livro-texto. Neste problema, você vê que a carga de Noether Q é um operador associado com uma matriz U que implementa uma transformação linear no operador Ψ correspondente ao campo escalar complexo.
☆32: Problema 14.1 do livro-texto.
☆33: Problema 14.2 do livro-texto. Neste problema, você verifica que, após a quantização do campo eletromagnético, a partícula resultante (fóton) tem spin 1.
☆34: Problema 17.2 do livro-texto. Neste problema, você confere, de um modo diferente do feito em sala de aula, que o propagador do campo escalar é proporcional à função de Green associada à eq. de Klein-Gordon.
☆35: Problema 17.3 do livro-texto. Este problema apresenta uma maneira alternativa de obter o propagador em uma teoria sem interações.
☆36: Potencial de Yukawa. Considere o campo escalar real 𝜑(x,t) satisfazendo a equação de Klein-Gordon com fontes: (∂ᵦ∂ᵝ + m²)𝜑 = j(x,t). Suponha que a fonte é puntiforme: j(x,t) = g𝛅³(x). Utilize o método da função de Green e integração por contornos para mostrar que 𝜑 assume a forma do potencial de Yukawa no caso estático: 𝜑(x) = (g/4𝛑) exp(-mr)/r, onde r = |x|.
☆37: Propagador de Feynman. Mostre que a contração entre 𝜑(x) e 𝜑(y) corresponde ao propagador de Feynman Δ(x-y).
☆38: Praticando o teorema de Wick. Escreva o VEV ⟨0|T[aₚ(∞) 𝜑(x) 𝜑(x) 𝜑(x) 𝜑(x) aₖ†(-∞)]|0⟩ em termos de contrações entre os operadores. Note que o operador aₚ(∞) está sendo avaliado em t = ∞, enquanto que aₖ†(-∞) está sendo avaliado em t = -∞.
☆39 Problema 19.1 do livro-texto. Problema para praticar o uso das regras de Feynman no espaço dos momentos.
☆40: Problema 19.2 do livro-texto. Modelo de campo escalar real com interação do tipo 𝜑³.
☆41: Problema 19.3 do livro-texto. Modelo de dois campos escalares reais com interação do tipo 𝜑₁²𝜑₂.