Отправлено 28 мая 2016 г., 01:50 пользователем Alexey Balitskiy
Теорема Бёрнсайда о конечных группах. В доказательстве использовались следующие факты без объяснений:- из неприводимости многочлена (с целыми коэффициентами) над Z следует его неприводимость над Q (см., например, здесь);
- подгруппа конечнопорождённой абелевой группы конечнопорождённая (см., например, здесь).
Литература: - G. James, M. Liebeck: Representations and characters of Groups (глава 31).
|
Отправлено 23 мая 2016 г., 23:41 пользователем Alexey Balitskiy
Одна теорема Фробениуса о конечных группах: если в конечной группе есть подгруппа, любые два несовпадающих сопряжения которой пересекаются лишь тривиально, то группа распадается в полупрямое произведение этой подгруппы и некоторой нормальной.
Литература:
|
Отправлено 13 мая 2016 г., 14:17 пользователем Alexey Balitskiy
Начала теории представлений конечных групп:- характеры и их базовые свойства;
- соотношения ортогональности для характеров;
- однозначность разложения представления в сумму неприводимых;
- разложение регулярного представления и теорема Бёрнсайда, связывающая порядок группы со степенями её неприводимых представлений.
|
Отправлено 13 мая 2016 г., 08:20 пользователем Alexey Balitskiy
Начала теории представлений конечных групп:- лемма Шура;
- сопряжённое (двойственное) представление;
- прямая сумма представлений;
- тензорное произведение векторных пространств и свойство универсальности;
- тензорное произведение представлений;
- лемма про представление, действующее в пространстве матриц Hom(V,W) умножениями и слева и справа.
|
Отправлено 30 апр. 2016 г., 00:53 пользователем Alexey Balitskiy
[
обновлено 30 апр. 2016 г., 00:54
]
Начала теории представлений конечных групп. - представление, инвариантное подпространство, подпредставление, неприводимость представления, разбиение в прямую сумму;
- сплетающий морфизм, изоморфизм представлений;
- теорема Машке (для случая конечных групп).
Литература: - Ж.-П. Серр: "Линейные представления конечных групп";
- G. Davidoff, P. Sarnak, A. Valette: "Elementary number theory, group theory, and Ramanujan graphs".
|
Отправлено 22 апр. 2016 г., 11:41 пользователем Alexey Balitskiy
Неразрешимость в радикалах алгебраического уравнения x^5 - x + a = 0. Вспомогательные понятия: - коммутант группы, разрешимость группы;
- группа гомотопических классов петель;
- группа Галуа алгебраического уравнения.
Литература: - С. Табачников, Д. Фукс: "Математический дивертисмент", лекция 7 (там кратко и без групповой терминологии).
- В. Алексеев: "Теорема Абеля в задачах и решениях" (там несколько иначе определяется группа Галуа).
|
Отправлено 15 апр. 2016 г., 12:30 пользователем Alexey Balitskiy
Группы перестановок. Чётность, циклическая структура, действие сопряжениями. Простота знакопеременной группы.
Литература: любой учебник алгебры или источник в интернете по сабжу "alternating group simplicity". |
Отправлено 12 апр. 2016 г., 01:48 пользователем Alexey Balitskiy
Семинар отменён, слушателям предлагается заняться самообразованием и ознакомиться самостоятельно (или вспомнить) стартовые понятия теории групп (группы, подгруппы, нормальные подгруппы, гомоморфизмы групп). Можно читать учебник Сержа Ленга (стр. 17-32), можно искать в интернете лекции, например https://www.youtube.com/watch?v=VSB8jisn9xI. |
Отправлено 3 апр. 2016 г., 05:08 пользователем Alexey Balitskiy
[
обновлено 12 апр. 2016 г., 01:42
]
- Комбинаторная теорема Алона о нулях (Combinatorial Nullstellensatz).
- Формула Дайсона.
Литература: |
Отправлено 26 мар. 2016 г., 03:35 пользователем Alexey Balitskiy
- Основная теорема о симметрических многочленах.
- Целые алгебраические числа, их сумма.
- Результант многочленов.
Литература: - И. Макдональд "Симметрические функции и многочлены Холла".
- С. Ленг "Алгебра".
|
|
