Объявления

Семинар 27 мая

Отправлено 28 мая 2016 г., 01:50 пользователем Alexey Balitskiy

Теорема Бёрнсайда о конечных группах. В доказательстве использовались следующие факты без объяснений:
  • из неприводимости многочлена (с целыми коэффициентами) над Z следует его неприводимость над Q (см., например, здесь);
  • подгруппа конечнопорождённой абелевой группы конечнопорождённая (см., например, здесь).
Литература:
  • G. James, M. Liebeck: Representations and characters of Groups (глава 31).

Семинар 20 мая

Отправлено 23 мая 2016 г., 23:41 пользователем Alexey Balitskiy

Одна теорема Фробениуса о конечных группах: если в конечной группе есть подгруппа, любые два несовпадающих сопряжения которой пересекаются лишь тривиально, то группа распадается в полупрямое произведение этой подгруппы и некоторой нормальной.

Литература:

Семинар 13 мая

Отправлено 13 мая 2016 г., 14:17 пользователем Alexey Balitskiy

Начала теории представлений конечных групп:
  • характеры и их базовые свойства;
  • соотношения ортогональности для характеров;
  • однозначность разложения представления в сумму неприводимых;
  • разложение регулярного представления и теорема Бёрнсайда, связывающая порядок группы со степенями её неприводимых представлений.

Семинар 6 мая

Отправлено 13 мая 2016 г., 08:20 пользователем Alexey Balitskiy

Начала теории представлений конечных групп:
  • лемма Шура;
  • сопряжённое (двойственное) представление;
  • прямая сумма представлений;
  • тензорное произведение векторных пространств и свойство универсальности;
  • тензорное произведение представлений;
  • лемма про представление, действующее в пространстве матриц Hom(V,W) умножениями и слева и справа.

Семинар 29 апреля

Отправлено 30 апр. 2016 г., 00:53 пользователем Alexey Balitskiy   [ обновлено 30 апр. 2016 г., 00:54 ]

Начала теории представлений конечных групп.
  • представление, инвариантное подпространство, подпредставление, неприводимость представления, разбиение в прямую сумму;
  • сплетающий морфизм, изоморфизм представлений;
  • теорема Машке (для случая конечных групп).
Литература:
  • Ж.-П. Серр: "Линейные представления конечных групп";
  • G. Davidoff, P. Sarnak, A. Valette: "Elementary number theory, group theory, and Ramanujan graphs".

Семинар 22 апреля

Отправлено 22 апр. 2016 г., 11:41 пользователем Alexey Balitskiy

Неразрешимость в радикалах алгебраического уравнения x^5 - x + a = 0.
Вспомогательные понятия:
  • коммутант группы, разрешимость группы;
  • группа гомотопических классов петель;
  • группа Галуа алгебраического уравнения.
Литература:
  1. С. Табачников, Д. Фукс: "Математический дивертисмент", лекция 7 (там кратко и без групповой терминологии).
  2. В. Алексеев: "Теорема Абеля в задачах и решениях" (там несколько иначе определяется группа Галуа).

Семинар 15 апреля

Отправлено 15 апр. 2016 г., 12:30 пользователем Alexey Balitskiy

Группы перестановок. Чётность, циклическая структура, действие сопряжениями.
Простота знакопеременной группы.

Литература: любой учебник алгебры или источник в интернете по сабжу "alternating group simplicity".

Вместо семинара 8 апреля

Отправлено 12 апр. 2016 г., 01:48 пользователем Alexey Balitskiy

Семинар отменён, слушателям предлагается заняться самообразованием и ознакомиться самостоятельно (или вспомнить) стартовые понятия теории групп (группы, подгруппы, нормальные подгруппы, гомоморфизмы групп). Можно читать учебник Сержа Ленга (стр. 17-32), можно искать в интернете лекции, например https://www.youtube.com/watch?v=VSB8jisn9xI

Семинар 1 апреля

Отправлено 3 апр. 2016 г., 05:08 пользователем Alexey Balitskiy   [ обновлено 12 апр. 2016 г., 01:42 ]

  1. Комбинаторная теорема Алона о нулях (Combinatorial Nullstellensatz).
  2. Формула Дайсона.
Литература:
  1. R. Karasev, F. Petrov: "Partitions of nonzero elements of a finite field into pairs" arXiv:1005.1177.
  2. N. Alon: "Combinatorial Nullstellensatz" http://www.math.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/null2.pdf.

Семинар 25 марта

Отправлено 26 мар. 2016 г., 03:35 пользователем Alexey Balitskiy

  1. Основная теорема о симметрических многочленах.
  2. Целые алгебраические числа, их сумма.
  3. Результант многочленов.
Литература: 
  1. И. Макдональд "Симметрические функции и многочлены Холла".
  2. С. Ленг "Алгебра".

1-10 of 13