OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U. Definimos las siguientes operaciones
entre conjuntos:
Unión: A ∪ B = { } x ∈U : x ∈ A ó x ∈ B
Intersección: A ∩ B = { } x ∈U : x ∈ A y x ∈ B
Diferencia o resta: A \ B = { } x ∈U : x ∈ A y x ∉ B
Diferencia simétrica: A∆B = ( ) ( ) A \ B ∪ B \ A
Complementario: A U A { } x U x A

 

Propiedades:


1) A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B
2) A ∪ ( ) ( ) B ∪ C = A ∪ B ∪ C (propiedad asociativa de la unión)
A ∩ ( ) ( ) B ∩ C = A ∩ B ∩ C (propiedad asociativa de la intersección)
3) A ∪ ( ) ( ) ( ) B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C (propiedad distributiva)
A ∩ ( ) ( ) ( ) B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C (propiedad distributiva)
4) ( )
c c c
A ∪ B = A ∩ B (leyes de Morgan)
( )
c c c
A ∩ B = A ∪ B
5) A ∪ B = B ∪ A (conmutativa de la unión)
A ∩ B = B ∩ A (conmutativa de la intersección)
6) A∆B = ( ) ( )

Ejercicios resueltos

1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}

2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},

{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},

{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}

Ejercicios propuestos

Nivel I

1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

 

Nivel II

1.-Dado  ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?

(1)   (2)   (3) 

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A = { x I x es día de la semana}

b) B = { vocales de la palabra conjunto}

c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}

d) D = {x I x es un número par}

e) E = {x I x < 15}

f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }

3.- Demuestre con diagrama de Venn que 

4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

  

5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar,

(1)  ; (2) 

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