Уравнения

Линейни уравнения

Уравнения от първа степен с едно неизвестно

Стойност на неизвестното, за която от даденото уравнение се получава вярно числово равенство, се нарича корен на това уравнение. Две уравнения се наричат равносилни( еквивалентни), когато множествата от корените им съвпадат, т.е.корените на първото уравнение са корени и на второто уравнение и обратно. В сила са следните правила:
1. Ако в дадено уравнение един израз се замени с тъждествен на него израз, получава се уравнение, равносилно на даденото.
2. Ако в дадено уравнение някакъв израз се прехвърли от едната му страна в другата с противоположен знак, получава се уравнение, което е равносилно на даденото.
3. Ако двете страни на едно уравнение се разделят или умножат с едно и също число, различно от нула, получаваме уравнение, равносилно на даденото.
Уравнение от вида 
ax + b = 0, където a, b са дадени числа, се нарича уравнение от първа степен по отношение на неизвестното х.

1 задача Решете уравнението:
А) 16x + 10 – 32 = 35 – 10x - 5
Б) y + 3/2y + 25 = 1/2y + 3/4y – 5/2y + y + 37
В) 7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u

Решение:

A) извършваме някои от означените действия и получаваме 
16х – 22 = 30 – 10х.
След използуване на правило 2 намираме 16х + 10х = 30 + 22
След извършване на действие събиране получаваме 26х = 52 
Неизвестен множител намираме като произведението разделим на другият множител.
Затова х = 52/26
Следователно х = 2

Б) аналогично на разглежданията в А) намираме:
y(1 + 3/2) + 25 = y(1/2 + 3/4 – 5/2 + 1) + 37 <=>
5/2y + 25 = -1/4y + 37 <=> 5/2y + 1/4y = 37 - 25 <=>
11/4y = 12 <=> y = 12.4/11 <=> y = 48/11

В) 4u – 4 = 7u – 6 <=> 6 – 4 = 7u – 4u <=> 2 = 3u <=> u = 2/3


2 задача Решете уравнението:
А) 7(3x – 6) + 5(x - 3) - 2(x - 7) = 5 
Б) (x -3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)
2
В) (x + 1)
3 – (x - 1)3 = 6(x2 + x + 1)

Решение:

A) 21x - 42 + 5x - 15 - 2x + 14 = 5<=>
21x + 5x - 2x = 5 + 42 + 15 - 14<=>
24x = 48 <=> x = 2

Б) x2 + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x2 - 8x + 16 <=>
x
2 - 5x – x2 + 8x = 16 + 12 – 4 <=>
3x = 24 <=> x = 8

В) x3 + 3x2 + 3x + 1 – (x3 - 3x2 + 3x - 1) = 6x2 + 6x + 6 <=>
x
3 + 3x2 + 3x + 1 – x3 + 3x2 + 1 = 6x2 + 6x + 6 <=>
2 = 6x + 6 <=> 6x = -4 <=> x = -2/3


3 задача Решете уравнението:
A) ( 5x - 4)/2 = (0,5x + 1)/3
Б) 1 –[(x - 3)/5] = ( -3x + 3)/3
В) (x + 1)/3 – (2x + 5)/2 = -3
Г) [3.(x - 1)]/2 + [2(x + 2)]/4 = (3x + 4,5)/5

Решение:

А) (5x - 4)/2 – (0,5x + 1)/3 <=>
3(5x - 4) = 2(0,5x + 1) <=>
15x -12 = x + 2 <=>
15x – x = 12 + 2<=>
14x = 14 <=> x = 1

Б) 1 – [(x - 3)/5] = 3.(1 - x)/3<=>
1 –[(x - 3)/5] = 1 – x<=>
-x + 3 = - 5x <=>
5x – x = - 3 <=>
x = - 3/4

В) [3.(x - 1)]/2 + [2(x + 2)]/4 = (3x + 4,5)/5 <=>
[2(x + 1) - 3(2x + 5)]/6 = - 3 <=>
(2x + 2 - 6x -15) / 6 = - 3 <=>
-4x - 13 = -18 <=> 
-4x = -18 + 13 <=>
-4x = -5 <=> x = 5/4

Г) Привеждаме към най-малък общ знаменател, който за 2, 4 и 5 е 20
[3.(x - 1)] / 2 + [2(x + 2)] / 4 = (3x + 4,5) / 5 <=>
30(x - 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4,5) <=>
30x - 30 + 10x + 20 = 12x + 18 <=>
40x - 12x = 18 + 10 <=>
28x = 28 <=> x = 1

4 задача Докажете че всяка стойност на неизвестното е корен на уравнението:
А) 7х - 13 = - 13 + 7х
Б) (1/2 – х)
2 – (1/2 + х)2 = - 2х
В) 3х - 3х = 26 - 2(7 + 6)
Г) (-3x + 4x
2)/5 = (0,8x - 0,6)x

Решение: За едно линейно уравнение с неизвестно x всяко x е решение, ако то се свежда до решаване на следното еквивалентно на него уравнение 0.х = 0 или се превръща в тъждество а = а. Действително, в ляво произволна стойност за x, щом умножаваме с нула, ще се получи нула, т.е. дясната страна, или стойността на xняма да влияе на лявата и дясната страна в тъждеството.

A) 7x - 7x = -13 + 13 <=> 0.x = 0 <=> всяко х е решение.

Б) 1/4 - x + x2 –(1/4 + x + x2) = - 2x <=>
1/4 - x + x
2 -1/4 – x – x2 = - 2x <=>
-2x = -2x <=>
-2x + 2x = 0 <=> 
0.x = 0 <=> Следователно всяко х е решение

В) 0.x = 26 - 2.13 <=>
0.x = 26 – 26 <=>
0.x = 0 <=> всяко х е решение.

Г) -3x + 4x2 = 5(0,8x - 0,6)x <=>
-3x + 4x
2 = (4x - 3)x <=>
-3x + 4x
2 = 4x2 - 3x
Следователно всяко х е решение.


5 задача Докажете че уравнението няма корени:
A) 0.x = 34
Б) 5 - 3x = 7 - 3x
В) (x - 3) / 4 = (x + 5) / 4
Г) 2(3x - 1) – 3(2x + 1) = 6

Решение:

А) За лявата страна ще се получава стойност нула при всяко х, а дясната е 34, т.е. число различно от нула. Следователно няма такова х, за което да се получи вярно числово равенство;

Б) 5 - 3x = 7 - 3x <=> 3x - 3x = 7 - 5 <=> 0.x = 2 <=> 0 = 2, което е невъзможно за нито едно х

В) (x - 3) / 4 = (x + 5) / 4 <=> x - 3 = x + 5 <=> x – x = 5 + 3 <=> 0 = 8 => няма решение;

Г) 2(3x - 1) - 3(2x + 1) = 6 <=> 6x - 2 - 6x - 3 = 6 <=> 0.x = 6 + 5 <=> 0 = 11 Няма решение.


6 задача Да се реши уравнението:
А) 2x
2 - 3(1 – x)(x + 2) + (x - 4)(1 - 5x) + 58 = 0
Б) 3.(x + 1)
2 – (3x + 5).x = x + 3
В) x
2 – (x - 1).(x + 1) = 4 
Г) (x - 1).(x
2 + x + 1) = (x - 1)3 + 3x(x - 1)
Д) (3x - 1)
2 – x(15x + 7) = x(x + 1).(x - 1) – (x + 2)3

Решение:

A) 2x2 - 3(x + 2 – x2 - 2x) + x - 5x2 - 4 + 20x + 58 = 0 <=>
2x
2 - 3x - 6 + 3x2 + 6x + x - 5x2 - 4 + 20x + 58 = 0 <=>
0.x
2 + 24x + 48 = 0 <=>
24x = - 48 <=> x = -2

Б) 3(x2 + 2x + 1) - 3x2 - 5x = 3x2 + 6x + 3 - 3x2 -5x = x + 3 <=>
(3 - 3)x
2 + (6 - 5).x – x = 3 - 3 <=>
0 = 0 => всяко х е решение

В) x2 – (x2 -1) = 4 <=>
x
2 – x2 + 1 = 4 <=>
0 = 3 => няма решение

Г) x3 + x2 + x – x2 – x - 1 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3x <=>
0 = 0 => всяко х е решение

Д) 9x2 - 6x + 1 - 15x2 - 7x = x3 –x2 + x2 – x – x3 - 6x2 - 12x - 8 <=>
0 = 9 => няма решение


7 задача Решете уравнението:
A) (6x - 1)/5 - (1 - 2x)/2 = (12x + 49)/10
Б) (x - 3)/2 + (2x - 2)/4 = (7x - 6)/3

Решение:

А) Привеждаме към най-малък общ знаменател и получаваме:
12x - 2 - 5 +10x = 12x + 49 <=>
22x - 12x = 49 + 7 <=>
10x = 56 <=> x = 5,6

Б) (x - 3)/2 + (2x - 2)/4 = (7x - 6)/3 <=>
(x -3 + x - 1)/2 = (7x - 6)/3 <=>
3(2x - 4) = 2(7x - 6) <=>
6x -12 = 14x - 12 <=>
8x = 0 <=> x = 0


8 задача Дадена е функцията f(x) = х + 4. Да се реши уравнението:
[3.f(x - 2)]/f(0) + 4 = f(2x + 1)

Решение:

Пресмятаме f(0), f(x -2), f(2x +1), а именно f(0) = 0 + 4 = 4;
f(x - 2) = x - 2 + 4 = x + 2;
f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5 Тогава уравнението има вида 
[3(x + 2)]/4 + 4 = 2x + 5 <=>
3(x + 2) +16 = 4(2x + 5) <=>
3x + 6 +16 = 8x + 20 <=>
22 - 20 = 8x - 3x <=>
2 = 5x <=> x = 0,4


9 задача Да се реши уравнението:
(2x - 1)
2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)3

Решение:

(2x - 1)2 – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)3 <=>
4x
2 - 4x + 1 -10x2 – x = x – x3 - 8 + 12x - 6x2 + x3 <=>
18x = 9 <=> x = 1/2


10 задача Да се реши уравнението:
(2x + 3)
2 –x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)2 + 4x3 - 1

Решение:

(2x + 3)2 – x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)2 + 4x3 -1 <=>
4x
2 + 12x + 9 – x(1 - 4x2) = 4x2 - 4x + 1 + 4x3 - 1 <=>
12x + 9 – x + 4x
3 = - 4x + 4x3<=>
15x = -9 <=> x = -3/5


11 задача Да се реши уравнението:
(2x - 1)
3 + 2x(2x - 3).(3 - 2x) – (3x - 1)2 = 3x2 - 2

Решение:

Разкриваме скобите, като използуваме формулите за съкратено умножение:
8x
3 - 3(2x)2.1 + 3.2x(1)2 – 13 - 2x(2x - 3)2 – (9x2 - 6x + 1) = 3x2 - 2 <=>
8x
3 - 12x2 + 6x - 1 - 2x(4x2 - 12x + 9) - 9x2 + 6x - 1 = 3x2 - 2 <=>
8x
3 - 21x2 + 12x - 8x3 + 24x2 - 9x = 3x2 <=>
3x
2 + 3x = 3x2 <=>
3x = 0 <=> x = 0


12 задача Да се реши уравнението: 
(2x - 1/2)
2 – (2x - 3)(2x + 3) = x + 1/4

Решение:

Използуваме формули за съкратено умножение, разкриваме скобите и получаваме:
4x
2 - 2x + 1/4 – (4x - 9) = x + 1/4 <=>
4x
2 - 2x + 1/4 - 4x2 + 9 = x + 1/4 <=>
9 = x + 2x <=>
9 = 3x <=> x = 3


13 задача Да се докаже, че двете уравнения са еквивалентни: 
A) (x - 5)/2 + (x - 1)/8 = (1,5x - 10)/4 и (x + 6)/2 – (5,5 - 0,5x)/3 = 1,5
Б) x – (8x + 7)/6 + x/3 = -1.(1 / 6) и 2x – (6 – x)/3 - 2.(1/3).x = -2

Решение:

A) За първото уравнение получаваме последователно:
4(х - 5) + х - 1 = 2(1,5х - 10) <=>
4х - 20 + х - 1 = 3х - 20 <=>
5х – 3х = - 20 + 21 <=>
2х = 1 <=> х = 1/2,
а за второто уравнение имаме
3(х + 6) - 2(5,5 - 0,5y) = 6.1,5 <=>
3х + 18 - 11 + х = 9 <=>
4y = 9 - 7 <=> 
х = 2/4 <=> х = 1/2 Следователно уравненията са еквивалентни.

Б) Решава се аналогично на а). Опитайте сами.


14 задача Да се реши уравнението:
A) (2x + 1)
2 – x(1 - 2x)(1 + 2x) = (2x - 1)2 + 4x3 - 3
Б) (2x - 1)
2 + (x - 2)3 = x2(x - 2) + 8x - 7
В) (x + 2)(x
2 - 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x - 4
Г) (8x + 5)/4 – 1 / 2[2 – (3 – x)/3] = 2x + 5/6
Д) x/3 – (x + 3) / 4 = x – 1 / 3[1 – (3 - 24x)/8]
Е) x/5 – [(2x - 3)
2/ 3] = 1/5 [ 5 – (20x - 43x) / 3)]

Решение:

A) 4x2 + 4x + 1 – x(1 - 4x2) = 4x2 - 4x + 1 + 4x3 - 3 <=>
4x – x + 4x
3 = -4x + 4x3 -3 <=>
3x + 4x = -3 <=>
7x = - 3 <=> x = - 3/7

Б) 4x2 - 4x + 1 + x3 - 3x2.2 + 3x.22 - 8 = x3 -2x2 + 8x - 7 <=>
4x
2 - 6x2 - 4x + 1 + 12x - 8 = - 2x2 + 8x -7 <=>
-2x
2 + 8x - 7 = - 2x2 + 8x - 7 <=> 
0 = 0 => всяко х е решение;

В) х3 + 2х2 - 2х2 - 4х + 4х + 8 + х(1 – х2) = х - 4 <=>
х
3 + 8 + х – х3 = х - 4 <=>
8 = - 4, което е невъзможно. Следователно уравнението няма решение;

Г) (8х + 5)/4 - 1 + (3 – х)/6 = 2х + 5/6 <=>
3(8х + 5) - 12 + 2(3 – х) = 24х + 2.5 <=>
24х + 15 - 12 + 6 - 2х = 24х + 10 <=>
-2х = 10 - 9 <=> х = - 1/2

Д) х/3 – (х + 3)/4 = х - 1/3 + (3 - 24х)/24 <=>
8х - 6(х + 3) = 24х - 8 + 3 - 24х <=>
8х - 6х - 18 = -5 <=>
2х = 18 - 5 <=>
2х = 13 <=> х = 6,5

Е) х/5 – [(2x - 3)/3]2 = 1 – (20x2 - 43x)/15 <=>
3x - 5(4x
2 -12x + 9) = 15 - 20x2 + 43x <=>
3x - 20x
2 + 60x - 45 = 15 - 20x2 + 43x <=>
63x - 43x = 15 + 45 <=>
20x = 60 <=> x = 3

Линейни уравнения

Уравнения с модули. Модул

Модул(абсолютна стойност) на едно положително число или нула се нарича самото число, а модул на едно отрицателно число се нарича противоположното му число т.е.

|a| = a при a ≥ = 0 и
|a| = -a при a < 0

От определението е ясно, че абсолютната стойност на всяко рационално число, което е различно от нула е положително число. Освен това следва, че противоположните числа имат равни модули. Ще разгледаме уравнения от вида |ax + b| = c

1 задача Решете уравнението:
А) |x| = 5
Б) |3x + 4| = 7
В) |1 / 3x + 4| = 0 
Г) |2 - 5x| = - 3
Д) –|3x – 1| = - 11
Е) |3x - 3(x - 1)| = 3

Решение:

При решаването на тези уравнения ще използуваме определението модул на рационално число.

А) Щом |x| = 5, то x = 5 или x = - 5, защото както числото 5, така и -5 имат модул 5 .
Освен това няма други числа с такъв модул;

Б) От |3x + 4| = 7 следва, че 3х + 4 = 7 или 3х + 4 = -7
От първото уравнение намираме 3х = 7 - 4 <=> 3х = 3 <=> х = 1,
а от второто 3х = - 7 - 4 <=> 3х = -11 <=> х = -11/3

В) |1/3x + 4| = 0 означава, че
1/3x + 4 = 0 <=>
1/3x = -4 <=> x = -12

Г) |2 - 5x| = -3 няма решение, защото от дадената горе теория следва, че няма число, на което модулът да е отрицателно число.

Д) -|3х – 1| = - 11 <=> |3х - 1| = 11,
което дава, че 3х - 1 = 11 или 3х - 1 = -11
От решаването на последните две уравнения намираме
х = 4 или х = -10/3

Е) |3х - 3х + 3| = 3 <=>|3| = 3, което е тъждество.
Следователно всяко х е решение


2 задача Решете уравнението:
А) 3|5x|+ 4|5x| = 35
Б) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
В) 3,7|x| – 2,2|x| = 22,5
Г) |(x + 1)/3| = 5

Решение:

А) 3|5х| + 4|5х| = 35 <=>
(3 + 4)|5х| = 35 <=>
7 |5х| = 35 <=>
|5х| = 35/7 <=> |5х| = 5
От последното уравнение получаваме 5х = 5 или 5х = - 5.
От тук намираме х = 1 или х = -1

Б) |2х|/3 + 3|2х|/2 = 1/2 <=>
2|2х| + 9|2х| = 3 <=>
11|2х| = 3 е равно на <=> |2х| = 3/11 
Следователно 2х = 3/11 или 2х = - 3 / 11,
откъдето х = 3/22 или х = - 3/22

В) 3,7|х| – 2,2|х| = 22,5 <=>
(3,7 - 2,2)|х| = 22,5 <=>
1,5|х| = 22,5 <=>
|х| = 22,5/1,5 <=> |х| = 15,
откъдето получаваме х = 15 или х = - 15

Г) от |(х + 1)/3| = 5 получаваме (х + 1)/3 = 5 или (х + 1)/3 = - 5.
Следователно х + 1 = 15 <=> х = 14 или х + 1 = -15 <=> х = - 16



3 задача Докажете, че няма решение уравнението:
А) -|(2х + 3)/14| = 5
Б) |8х – 4(2х + 3)| = 15

Решение:

А) -|(2х+ 3)/14| = 5 <=> |(2х + 3)/14| = -5
което няма решение, защото няма число, на което модулът е отрицателно число;

Б) |8х - 4(2х + 3)| = 15 <=> |8х - 8х - 12| = 15 <=>
|-12| = 15 <=> 12 = 15, което показва, че е невъзможно за никое х



4 задача Решете уравнението:
А) 2|х – 1| + 3 = 9 – |х – 1|;
Б) 3|x| – (x +1)
2 = 4|x| – (x2 -1) – 2(x - 5);
В) |- 3 - 5x| = 3;
Г) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|;
Д) |x| – (3 – x)/4 = (2x - 1)/8

Решение:

А) 2|x – 1| + |x -1| = 9 - 3 <=> (2 + 1)|x -1| = 6 <=>
3|x – 1| = 6 <=> |x - 1| = 2
Следователно х - 1 = 2 или х - 1 = - 2,
откъдето намираме х = 3 или х = - 1

Б) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 - 1) - 2(x - 5)<=>
x
2 - 1 + 2(x – 5) – (x + 1)2 = 4|x| – 3 |x| <=>
x
2 - 1 + 2x - 10 – (x2 + 2x + 1) = (4 - 3)|x| <=>
x
2 + 2x - 11 – x2 - 2x - 1 = |x| <=>
-12 = |x|, което няма решение;

В) от |-3 - 5x| = 3 получаваме -3 - 5x = 3 или -3 - 5x = - 3.
Следователно -3 - 3 = 5x <=> x = - 6/5 или -3 + 3 = 5x <=>
0 = 5x <=> x = 0;

Г) 2 |x – 1| = 9 – |x – 1| <=>
2 |x – 1| + |x – 1| = 9 <=>
(2 + 1)|x – 1| = 9 <=> 3|x – 1| = 9 <=>
|x – 1| = 3 Оттук получаваме х - 1 = 3 или х - 1 = -3,
т.е. х = 4 или х = - 2

Д) |x| = (2x - 1)/8 + (3 – x)/4 <=>
|x| = [2x - 1 +2(3 – x)]/8 <=>
|x| = 5/8, откъдето х = 5/8 или х = -5/8



5 задача Решете уравнението:
А) |4 – |x|| = 2
Б) |9 + |x|| = 5

Решение:

А) От |4 – |x|| = 2 получаваме 4 – |x| = 2 или 4 – |x| = -2
От тук намираме 4 - 2 = |x| <=>
|x| = 2 или 4 + 2 = |x| <=> |x| = 6
Следователно решенията са х = 2, -2; 6, -6

Б) От |9 + |x|| = 5 получаваме 9 + |x| = 5 или 9 + |x| = - 5
От тук намираме |x| = -4 или |x| = -13, но последните две уравнения нямат решения.



6 задача Да се реши уравнението:
|(2х + 1)
2 - 4х2 - 2| - 3|4x – 1| = - 6

Решение:

|(2х + 1)2 - 4х2 - 2| – 3|4x -1| = - 6 <=>
|4x
2 + 4х + 1 - 4х2 - 2 | - 3|4x - 1| = - 6 <=>
|4x – 1| - 3|4x – 1| = - 6 <=> -2|4x – 1| = - 6 <=>
|4x – 1| = 3 <=> 4х - 1 = 3 или 4х - 1 = -3
Следователно х = 1 или х = -1/2



7 задача Да се реши уравнението:
A) |2x – (3х + 2)| = 1
Б) |x|/3 – 2|x|/2 = - 1
В) |3x – 1| = 2|3x – 1| - 2

Решение:

А) |2x – 3х – 2| = 1 <=> |-x – 2| = 1 <=>
-х - 2 = 1 или –х - 2 = -1
От първото уравнение получаваме -2 - 1 = х <=> х = -3,
а от второто -2 + 1 = х <=> х = -1

Б) |x|/3 – 2 |x|/2 = -1 Привеждаме към най-малък общ знаменател и получаваме
2|x| – 3.2.|x| = - 6 <=>
2|x| - 6|x| = - 6 <=>
- 4|x| = -6 <=> |x| = 3/2 <=>
х = 3/2 или х = - 3/2

В) |3x – 1| = 2|3x – 1| – 2 <=>
2 = 2|3x – 1| – |3x – 1| <=>
2 = |3x – 1| <=>
 
3х - 1 = 2 или 3х - 1 = - 2,
 
откъдето 3х = 3 <=> х = 1 или 3х = - 1 <=> х = - 1/3


Линейни уравнения

Уравнения от вида 
(a
1x + b1).(a2x + b2) = 0

Едно произведение от две числа е нула точно тогава, когато поне единият от множителите е нула. И така от (а1х + b1)(а2х + b2) = 0 следва, че а1х + b1 = 0 или а2х + b2 = 0, и обратно от а1 + b1 = 0 или а2 + 2 = 0 следва, че (а1х + b1)(а2х + b2) = 0

1.Решете уравнението:
А) (2х + 4)(3х - 6) = 0
Б) х(7х - 21) = 0
В) (9х - 6)(2х - 1) = 0
Г) (3х + 12)х = 0

Решение:

А) От (2х + 4)(3х - 6) = 0 следва, че 2х + 4 = 0 или 3х - 6 = 0, откъдето намираме 2х = - 4 <=> х = - 2 или 3х = 6 <=> х = 2

Б) Тъй като х(7х - 21) = 0 <=> х = 0 или 7х - 21 = 0, то получаваме х = 0 или х = 3

В) Понеже ( 9х - 6)(2х - 1) = 0 <=> 9х – 6 = 0 или 2х - 1 = 0, то 
х = 6/9 = 2/3 или х = 1 / 2

Г) От ( 3х + 12)х = 0 получаваме 3х + 12 = 0 или х = 0, т.е.
х = - 4 или х = 0


2. Решете уравнението:
А) 9у
2 – 1 = 0
Б) у – у
2 = 0
В) 36у
2 - 49 = 0
Г) у – у
3 = 0

Решение:

За да решим горните уравнения, достатъчно е да представим лявата страна на всяко от тях в произведение.

A) Понеже 9у2 - 1 = (3у)2 – 12 = (3у - 1)(3у + 1), то 
2 - 1 = 0 <=> (3у - 1)(3у + 1) = 0 <=> 
3у - 1 = 0 или 3у + 1 = 0 <=> у = 1 / 3 или у = - 1 / 3 <=> 
Следователно корените на уравнението 9у
2 - 1 = 0 са у = 1/3 и у = - 1/3

Б) у – у2 = у(1 – у), следователно у – у2 = 0 <=> у = 0 или 1 – у = 0 От тук следва, че корените са у = 0, у = 1

В) 36у2 - 49 = (6у)2 -72 = (6у – 7).(6у + 7) Така получаваме 36у2 - 49 = 0 <=> (6у – 7).(6у + 7) = 0 <=> 6у - 7 = 0 или 6у + 7 = 0, откъдето у = 7/6 и у = -7/6

Г) у – у3 = 0 <=> у(1 – у2) = 0 <=> у(1 – у)(1 + у) = 0 <=> у = 0, 1, -1


3.Решете уравнението:
A) 4х
2 + 4х + 1 = 0
Б) х
2 + 2х + 1 = 0

Решение:

A) Понеже 4х2 + 4х + 1 = (2х + 1)2, то 4х2 + 4х + 1 = 0 <=>
(2х + 1)
2 = 0 <=> (2х + 1)(2х + 1) = 0 <=> 2х + 1 = 0 или 2х + 1 = 0 Тъй като получените уравнения имат един и същ корен х = - 1 / 2, казваме, че уравнението 4х2 + 4х + 1 = 0 има двоен (двукратен) корен;

Б) х2 + 2х + 1 = 0 <=> (х + 1)2 = 0 <=> х = - 1 е двукратен корен


4. Решете уравнението: A) 2х2 + х - 3 = 0
Б) х
2 + х – 12 = 0
В) 3х
2 + 14х - 5 = 0
Г) 4х
3 + 11х2 + 6х = 0
Д) х
2 + х - 2 = 0

Решение:

A) 2х2 + х - 3 = 0 <=> 2х2 + 3х - 2х - 3 = 0 <=> 2х(х - 1) + 3(х - 1) = 0 <=> (х - 1)(2х + 3) = 0 <=> х - 1 = 0 или 2х + 3 = 0 Следователно х = 1 или х = - 3 / 2

Б) х2 + х – 12 = 0 <=> х2 + 4х – 3х – 12 = 0 <=> х(х + 4) – 3(х + 4) = 0 <=> (х + 4)(х - 3) = 0 <=> х + 4 = 0 или х - 3 = 0, т.е. х = - 4 или х = 3

В) 3х2 +14х – 5 = 0 <=> 3.х2 + 15х – х – 5 = 0 <=> х(3х - 1) + 5(3х - 1) = 0 <=> (3х – 1)(х + 5) = 0 <=> х = 1 / 3 или х = - 5

Г) 4х3 + 11х2 + 6х = 0 <=> х(4х2 + 11х + 6) = 0 <=>
х(4х
2 + 8х + 3х + 6) = 0 <=> х[ 4х(х + 2) +3(х + 2)] = 0 <=>
х(х + 2)(4х + 3) = 0 => х = 0, -2, - 3 / 4;

Д) х2 + х - 2 = 0 <=> х2 + 2х – х - 2 = 0 <=> х(х - 1) + 2(х - 1) = 0 o (х - 1)(х + 2) = 0 => х = 1 или х = - 2

5. Решете уравнението: 
A) 1 – х + 2(х - 1)
2 = 0
Б) (х - 2)
2 – (х + 2)(х - 2) = (х + 2)2+ 4
В) (х + 3)(х + 2) - 2(х + 2) = 0 
Г) х
2(х + 1) – х - 1 = 0

Решение:

A) (1 – х) + 2(х - 1)2 = 0 <=> 1 – х + 2(1 – х)2 = 0 <=> (1 – х)[1 + 2(1 – х)] = 0 <=> (1 – х)(1 + 2 - 2х) = 0 <=> 1 – х = 0 или 3 - 2х = 0 => х = 1 или х = 3 / 2

Б) х2 - 4х + 4 – (х2 + 2х - 2х - 4) = х2 + 4х + 4 + 4 <=>
- 4х – х
2 + 4 = 4х + 4 <=> х2 + 8х = 0 <=> х(х + 8) = 0 <=> х = 0 или х = -8

В) (х + 2)(х + 3) - 2(х + 2) = 0 <=> (х + 2)(х + 1) = 0 <=>
х = - 2 или х = - 1

Г) х2(х + 1) – (х + 1) = 0 <=> (х + 1)(х2 -1) = 0 <=> (х + 1)(х - 1)(х + 1) = 0 <=> х + 1 = 0 или х - 1 = 0 => х = - 1 (двоен корен) и х = 1


6. Даден е многочленът f (х) = 2х3 - 4х2 + 2х Разложете f(х) на множители и намерете стойностите на х, за които f(х) = 0

Решение:
f(х) = 2х
3 - 4х2 + 2х = 2х(х2 - 2х + 1) = 2х(х - 1)2, f(х) = 0 <=> 2х(х - 1)2 = 0 <=> х = 0 или (х - 1)2 = 0 <=> х = 0 или х = 1


7. Дадени са многочлените М = а4 - 1; N = а3 + 1 + а + а2 и 
Р = а
3 - 1 – а2 + а
A) Да се разложат М, N и Р на прости множители;
Б) Да се разложи на прости множители многочленът Q = 4М + 5 + Р
В) Да се намерят стойностите на а, за които стойността на Q е нула

Решение:

А) M = (a2)<sup< sup=""> - 12 = (a<sup<2< sup=""> - 1)(a2 + 1) = (a -1)(a + 1)(a2 + 1)
N = a
3 + 1 + a + a2 = a3 + 13 + a(a + 1) = (a + 1)(a2 –a + 1) + a(a + 1) = (a + 1(a2 –a + 1 + a) = (a + 1)(a2 +1)
P = a
3 - 1 – a2 + a = (a - 1)(a2 + a + 1) – a(a - 1) = (a - 1)(a2 + a + 1) = (a - 1)(a2 + 1)</sup<2<></sup<>

Б) Q = 4(a4 - 1) + 5(a3 + 1 + a + a2) + a3 - 1 – a2 + a = 4a4 - 4 + 5a3 + 5 + 5a + 5a2 + a3 -1 – a2 + a = 4a4 + 6a3 + 4a2 + 6a = 2a(2a3 + 3a2 + 2a + 3) = 2a[2a(a2 + 1) + 3(a2 +1)] = 2a(a2 + 1)(2a + 3)

В) Q = 0 <=> 2a(a2 + 1)(2a + 3) = 0 <=> a = 0 или a2 + 1 = 0, или 2a + 3 = 0
От първото и третото уравнение получаваме а = 0 и а = - 3/2, а второто уравнение няма решение, понеже а
2+1 е положително число за всяко а


8. Дадени са многочлените А = а4 - 4а2 + 4а - 1 и В = а3 + 1 – а – а2
A) Да се разложи на прости множители многочленът С = А + В
Б) Да се намери за коя стойност на а многочленът С е равен на нула.

Решение:

А) С = а4 - 4а2 + 4а - 1 + а3 + 1 – а – а2 = а4 + а3 - 5а2 + 3а = а(а3 + а2 - 5а +3)
а(а
3 - 2а2 + 3а - 6а + а + 3) = а [а2(а + 3) - 2а(а + 3) + (а + 3) ] =
а(а + 3)(а
2 - 2а + 1) = а(а + 3)(а - 1)2

Б) С = 0 <=> а(а + 3)(а - 1)2 = 0 <=> а = 0 или а + 3 = 0, или а - 1 = 0 Следователно а = 0; - 3; 1







Comments