3.- ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

 
 
 
UNA ECUACION DIFERENCIAL  de primer orden y primer grado se pueden escribir en la forma
 
M ( X, Y ) dx + N ( X, Y ) dy = 0.
 
Ejemplo 1 )   a )  dy/dx  +  y+x / y-x  =  0  se puede escribir asi : ( y + x )dx  +  ( y-x )dy = 0. donde  M( x, y ) = y + x y N ( x, y )  =  y - x
  
 b)  dy/dx  =  1 +x2y se puede escribir asi : ( 1 + x2y ) dx - dy = 0 donde M ( x, y ) = 1 + x2y y N ( x, y) =  -1
 
Si M( x, y )dx  +  N ( x, y )dy     es la diferencial completa de una funcion    u ( x, y )   es decir, si
 
 
M( x, y )dx  + N( x, y )dy  = du ( x, y )
 
 
 
 1 ) Se llama ecuacion diferencial exacta y u( x, y ) = C  es una primitiva o solucion general
 
Ejemplo 2)  3x2 y2 x + 2x3 y dy = 0 es una ecuacion diferencial exacta, ya que  3x2y2dx + 2x3 y dy = d ( x3 y2 ) su primitiva es  x3y2 = C
 
Si 1 ) no es exacta, pero
 
                                           ( x, y ) { M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy} = du ( x, y ) 
 
( x, y ) se llama un factor integrante de 1 ) y u( x, y ) = C es una primitiva.
 
 
Ejenplo 3 ) 3y dx +2x dy = 0 no es una ecuacion diferencial exacta, pero si se multiplica por  ( x, y ) = x2 y se tiene 3x2y2 dx + 2x3 y dy = 0 que es exacta. Por tanto la primitiva de 3y dx + 2x dy = 0 es x3 y2 = C vease el ejemplo 2 
 
Si 1) no es exacta y no se encuentra rapidamente un factor integrante es posible que mediante un cambio de una o de las dos variables se obtenga una ecuacion en la que se pueda hallar un factor integrante.
 
Ejemplo 4 ) La transformacion x = t - y, dx = dt - dy, ( o sea, x + y = t ), reduce la ecuacion
a                              ( x + y + 1 ) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0
o sea,                      (t + 1) (dt - dy) + (2t + 3 ) dy = 0
                                (t + 1) dt + (t + 2) dy = 0
 
mediante el factor integrante 1 /1+2  la ecuacion toma la forma.
 
 
dy  +  t +1/ t + 2  dt  =  dy  +  dt - 1/ t + 2 dt  =  0
 
 
Entonces        y  +  t  -  ln  ( t + 2 )  =  c
 
y como  t  =  x  +  y,     2y  +  x  -  ln  ( x + y + 2 )  =  c .
 
 
 
SI LA ECUACION 1) admite una solucion  f ( X, Y, C ) = 0 donde C es una constante arbitraria existe una infinidad de factores integrantes ( X, Y ) tales que
 
( x, y ) { M ( x, y ) dx + N ( x, y) dy } = 0
 
 es exacta. Luego hay transformaciones de variables con las que 1) pasa al tipo de separacion de variables. Sin embargo, no se puede dar una regla general para  hayar un  factor integrante o una transformacion. Se tienen, pues, limitaciones para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. esto. es aquellos tipos para los que fallan las reglas para determinar un factor integrante o una transformacoin efectiva.
 
En el capitulo 4 se estudian las ecuaciones  del tipo de separacion de variables y las ecuaciones que se pueden reducir a este tipo mediante una transformacion de variables.
 
En el capitulo 5 se consideran las ecuaciones diferenciales exactas y otros tipos que se pueden reducir a ecuaciones exactas mediante factores integrantes.
 
En el capitulo 6  se tratan la ecuacion lineal de primer orden.
 
El siguiente video muestra la forma de resolver ecuaciones de primer grado :

Vídeo de YouTube

 
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