Obtención de resultados aproximados

Una derivación preliminar

Dada una fracción a/b, uno puede multiplicar o dividir su parte superior e inferior ("numerador y denominador") por el mismo número c:

(a/b) = (ac)/(bc)

donde (¿recuerdas?) las dos letras ac representan "a por c" y de manera similar para bc.

Eso es así porque (c/c) = 1, sin importar cuál sea el valor de c (excepto, por supuesto, cero: "No dividirás por cero") y multiplicar cualquier cosa por 1 no cambia su valor. Al multiplicar fracciones, la regla es multiplicar arriba con arriba, abajo con abajo, por lo que obtenemos

(a/b) (c/c) = (ac)/(bc)

En cuanto a dividir arriba y abajo por el mismo número d

(a/b) = [a/d]/ [b/d]

se sigue inmediatamente de lo anterior, si elegimos el número c igual a 1/d.

Trabajar con pequeñas cantidades

Algunas ecuaciones, identidades o fórmulas contienen cantidades pequeñas, y se pueden hacer mucho más simples y fáciles de usar sacrificando un poco de precisión. De hecho, algunas ecuaciones que no tienen ninguna solución simple (como la ecuación de Kepler en la sección (12a)) pueden dar de esta manera una solución aproximada, a menudo lo suficientemente buena para la mayoría de los usos, o bien abierta a mejoras adicionales

Muchos de estos cálculos hacen uso de la siguiente observación. Cuando derivamos cuadrados, terceras potencias, cuartas potencias, etc. de números mayores que 1, los resultados siempre son mayores, mientras que para números menores que 1, los resultados siempre son menores. Por ejemplo:

Lo anterior también es válido para los números negativos, si se entiende que "más grande" y "más pequeño" se refieren al valor absoluto (el valor sin signo). Por ejemplo:

Digamos que z es un número mucho más pequeño que 1(escrito z << 1, o para valores absolutos |z| << 1). Luego por la identidad cerca del final de la sección M-4

(1 – z)(1 + z) = 1 – z²

Ya que z² es mucho menor que 1 o z, podemos escribir, usando el símbolo ~ para "aproximadamente igual"

(1 – z)(1 + z) ~ 1

y dividiendo ambos lados por (1 – z)

(1+z) ~ 1/(1– z)

(Muchos textos usan el símbolo ~ no solo sino colocado encima de un signo igual). Por ejemplo (consulta con tu calculadora)

Si z = 0.01, (1+z) = 1.01, (1– z) = 0.99,
entonces 1/(1– z) = 1/0.99 = 1.010101...que está lo suficientemente cerca de (1+z) para muchos propósitos.

La regla básica es: uno puede despreciar pequeñas cantidades como z, z², z³, etc. cuando se suman (o restan) a algo mucho más grande. No se puede hacer así si sólo se multiplican o se dividen, porque entonces, si se quitan, no queda nada de la expresión que los contiene.

Aquí z puede ser positivo o negativo. Si escribimos z = – y, donde y es un número pequeño de signo opuesto, obtenemos

(1– y) ~ 1/(1+y)

que es otro resultado útil, válido para cualquier número pequeño. Si ese pequeño número se renombra nuevamente y ahora se llama z (no es el mismo z que antes, por supuesto), obtenemos

(1– z) ~ 1/(1+z)

que también se puede obtener de la ecuación anterior

(1 – z)(1 + z) ~ 1

dividiendo ambos lados por (1 + z).

En la sección (34a) donde se deriva la distancia al punto de Lagrange L1, resulta necesario aproximar1/[1– z]³. empiezas desde (1+z) ~ 1/(1– z) y elevar ambos lados a su 3ª potencia:

(1+z)³ ~ 1/(1– z)³

Multiplique el lado izquierdo:

(1 + z)³ = (1+z)(1+z)(1+z) = (1 + 3z + 3z² + z³)

Sin embargo, si z² y z³ son mucho más pequeños que z, luego eliminar los términos que los contienen solo aumenta ligeramente el error, dejando

1/(1– z)³ ~ 1 + 3z

La siguiente sección es opcional.

Un paso más allá: el teorema del binomio

Formalmente 1/(1–z)³ es (1– z) a la potencia –3. Sugiere que, de manera más general, para z pequeño y para cualquier valor de a

(1–z)^a ~ 1 – az

1/(1– z)^a ~ 1 + az

y de manera similar

(1 + z)^a ~ 1 + az

1/(1 + z)^a ~ 1 – az

(estas son la misma fórmula, para z y a positivos y negativos). Eso de hecho es cierto, y a puede ser positivo, negativo o fraccionario. Es la consecuencia de un resultado probado por primera vez por Newton, su llamado teorema del binomio. Para aquellos interesados, esa fórmula establece

(1 + z)^a = 1 + az + [a(a–1)/2] z² + [a(a–1)(a–2)/6] z³ + ...

donde el denominador de la fracción que precede a cualquier potencia zⁿ se obtiene multiplicando los números enteros hasta n, dando el número generalmente denotado como n! y se llama "n factorial". Por ejemplo

4! = (1)(2)(3)(4) = 24 5! = (1)(2)(3)(4)(5) = 120

Si a es un número entero positivo, la sucesión a, (a-1), (a-2)... finalmente llega a cero, y el término en el que eso ocurre primero es igual a cero, al igual que todos los que le siguen, todos de los cuales contienen un multiplicador ("factor") cero. La serie de potencias de z termina entonces con z^a y obtenemos fórmulas como la derivada anteriormente para a=3:

(1 + z)³ = (1 + 3z + 3z² + z³)

Esos casos del teorema del binomio se conocían antes de Newton. De hecho, Omar Khayyam (1044-1123), según el sitio citado aquí, fue considerado el primero en derivar el teorema y sus coeficientes, para potencias que son números enteros positivos (algunos afirman que se conocía incluso antes). Khayyam, que significa "fabricante de tiendas de campaña", su "takhallus" o nombre poético, es mejor conocido hoy en día por su colección "Rubaiyat" de poemas de cuatro líneas, que se hizo famosa después de que Edward Fitzgerald en 1839 les diera una inspiradora traducción al inglés. Newton demostró que el teorema también se cumple para valores negativos y fraccionarios de a, donde la serie del lado derecho continúa hasta potencias cada vez mayores de z, sin fin. Si z es pequeño, estas potencias rápidamente se vuelven insignificantemente pequeñas, y no es un gran error omitirlas y escribir (para z de cualquier signo)

1/(1 + z)^a ~ 1/(1 + az) ~ 1 – az

Nota: ¿Por qué no dividir por cero? No funciona. No existe un número como 1/0 (excepto quizás el infinito, que no es un número regular), y el uso de expresiones como 0/0 puede dar lugar a contradicciones como 2 = 3.