3.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

            พิจารณาการคูณพหุนามสองพหุนามต่อไปนี้

                   1.     (x + 3)(x – 3)     =     x2 - 3x + 3x - 9

                                                   =     x2 - 9 
     
                                                   =     x2 - 32       

                   2.    (x + 7)(x – 7)      =     x2 - 7x + 7x - 49

                                                   =     x2 - 49
      
                                                    =     x2 - 72

                  3.     (3x + 5)(3x – 5)    =     9x2 - 15x + 15x - 25                       

                                                    =     9x2 - 25
       
                                                    =     (3x)2 - 52                        

                  พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

                  1.   x2 - 25           =      x2 - 52

                                            =     (x + 5)(x - 5)
  
                   2.   36x2 - 49      =      (6x)2 - 72

                                            =     (6x + 7)(6x - 7) 

                   จากตัวอย่างการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสองข้างต้น   จะเห็นว่าการแยกตัวประกอบของพหุนาม

          ดีกรีสองในแต่ละข้อ จะได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีพจน์เหมือนกัน  แต่มีเครื่องหมายระหว่าง

          พจน์ต่างกัน  เรียกพหุนามดีกรีสองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า  พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง 

                   พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง  ดังตัวอย่างข้างต้น  มีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้ 

                          1.    x2 - 25     =      x2 - 52

                                                =     (x + 5)(x - 5)
    
                                ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  5  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                    (พจน์หน้า)2 - (พจน์หลัง)2   =    (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า - พจน์หลัง)

                  พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง  ดังตัวอย่างข้างต้น  มีลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้

                          2.   36x2 – 49      =     (6x)2– 72

                                                    =     (6x + 7)(6x – 7) 
  
                   ถ้าให้  6x  เป็นพจน์หน้าและ  7  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

                   (พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2  =   (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)

                   ในกรณีทั่วไป ถ้าให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน  พจน์หลัง  จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

           ที่เป็นผลต่างของกำลังสองได้ตามสูตร  ดังนี้

                            A2 – B2      =     (A + B)(A – B)
  
                   เราสามารถใช้สูตรนี้ ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนามในการแยกตัวประกอบได้ด้วย

              ตัวอย่างที่ 1     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 121

              วิธีทำ               x2 – 121   =    x2 – 112

                        ดังนั้น    x2 – 121   =    (x + 11)(x – 11) 
    
              ตัวอย่างที่ 2     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 121

              วิธีทำ               x2 – 121   =    x2 – 112
 
                        ดังนั้น     x2 – 121   =    (x + 11)(x – 11)
     
              ตัวอย่างที่ 3     จงแยกตัวประกอบของ  49x2 – 196

              วิธีทำ               49x2 – 196 =    (7x)2 – 142
 
                                                     =    (7x + 14)(7x – 14)
    
                                                     =    7(x + 2)(7)(x – 2) 
    
                        ดังนั้น    49x2 – 196  =    49(x + 2)(x – 2)



แหล่งอ้างอิง : http://www.thaigoodview.com/node/60036?page=0%2C8