Definición formal de límite

Limites  
 
Limites (introducción)  
La funcion f(x) tiende hacia el limite L en p cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e.  
Leamos, traducida al lenguaje corriente, esa definición del limite.
La funcion efe de equis tiende hacia el limite ele en pe cuando, para todo epsilon positivo, existe algun delta positivo tal que, para todo equis que cumple que el valor absoluto de equis menos pe esta comprendido entre cero y delta, el valor absoluto de efe de equis menos ele es menor que epsilon.
Pese a que, desde un punto de vista estrictamente gramatical, no es como para tirar cohetes, esta "definicion epsilon-delta" de limite (atisbada por el frances Agustin Louis Cauchy y cincelada finalmente por el aleman Karl Weierstrass) requiere ser meditada muy detenidamente. No en balde ni siquiera Newton o Leibniz, maximos artifices del calculo, fueron capaces de barruntarsela. Y no en balde, para llegar a ella, se ha requerido el esfuerzo combinado durante muchísimos años de las cabezas matematicamente “mejor amuebladas” (asi se dice) de todo el orbe.  
De momento lo dejo aqui, para que el formidable artefacto intelectual pueda ser digerido poco a poco.
Limites, I
La funcion f(x) tiende hacia el limite L en p cuando, para todo e>0, existe algún d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e. 
(Es decir, que lím f(x) = L cuando x->p si y solo si se cumplen las condiciones indicadas.)
Esta definicion (e, d) es el laborioso resultado de mas de cien años de intentos teoricos. Tal definición significa la completa rigorizacion de un concepto, el de limite, que es indispensable para definir a su vez los dos conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal: los de derivada e integral.
Echemos un rapido vistazo a la prehistoria del concepto.
Aunque el papel que desempeñaron Newton y Leibniz fue decisivo en el terreno del calculo, resulta un tanto simplista atribuirles a ellos la creacion o “invencion” de esta rama de la matematica. De hecho, los dos grandes conjuntos problematicos en esta materia, que son: el de las tangentes, base del calculo diferencial, y el de las areas o cuadraturas, base del calculo integral, tienen una historia multisecular. Aparte de los ya citados trabajos sobre cuadraturas (exhauscion) de Eudoxo y del inconmensurable Arquimedes, ya Apolonio de Perga había llegado a resolver geométricamente hace veintitres siglos el problema de las tangentes para el caso de las conicas. Y, obviando otros muchos nombres, en el siglo XVII los mas diversos matematicos europeos, al esforzarse por continuar la obra matematica de Galileo y Kepler, se vieron llevados a centrar su atencion sobre esos dos mismos asuntos, el de la determinacion de las tangentes a una curva y el de las cuadraturas. La aportacion fundamental de Newton y Leibniz fue sobre todo el descubrimiento de la íntima conexion existente entre “tangentes” y “cuadraturas”, o sea, entre derivadas e integrales.
El caso es que Newton y Leibniz, no solo no fueron capaces de recurrir en su obra al concepto clave de limite (concepto que, sin embargo, estaba latente e implícito en sus razonamientos), sino que hicieron uso de unos enfoques y un lenguaje que dejaban muchisimo que desear desde el punto de vista de cientifico. Newton, por ejemplo, en vez de ‘derivadas’, hablaba de cosas tales como “fluxiones”, y escribia: “Las fluxiones son, con toda la aproximacion que se desee, como los incrementos de las fluentes [es decir, las variables] generadas en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible. Hablando con precision, las fluxiones estan en el origen de los incrementos nacientes, etc.” Es decir que el gran matematico ingles se veia forzado a recurrir a lo que hoy se llamaría una vacua palabreria neoliberal: “son como”, “en tiempos iguales” (?), “el origen de”, “incrementos nacientes”… Luego empeoraba aún más la cosa cuando se sacaba de la manga no se sabe qué “cantidades últimas” y “cantidades evanescentes”, las cuales cantidades “podían disminuir sin cesar”, etc. Desde luego, cualquier parecido entre todo eso y el lenguaje propio de la matematica habria resultado ser fruto de la pura coincidencia. En cuanto a Leibniz, hablaba asi mismo por su parte de valores “evanescentemente pequeños” o “infinitamente pequeños” o “infinitamente proximos”, etc. La ventaja, sin embargo, de los textos de Leibniz en comparacion con los de Newton radica en que el aleman fue capaz de idear una notacion y unos simbolos que han superado la prueba del tiempo y perduran hasta el dia de hoy: dx para la diferencial, dy/dx para la derivada, ? para la integral, etc.
El caso es que tanto Newton como Leibniz le pusieron la tarea muy facil a un lego en matematica como el inteligente pero maligno obispo George Berkeley. Cargado de razón, e inflamado con la conocida caridad cristiana propia de los señores obispos, monseñor Berkeley arremetio, así pues, con enorme saña contra Newton y Leibniz, ridiculizando minuciosamente sus “evanescencias” y demas fantasmagorias matematicas. 
Límites, II 
El cura George Berkeley, solipsista como el solo si que era, pero de tonto no tenia un pelo. Fue el, un completo profano en la materia, quien desencadeno la primera discusion seria acerca del calculo infinitesimal. La inquietud que movia a Berkeley era el temor a la creciente amenaza que para la dogmatica religiosa representaba la filosofia mecanicista y determinista inspirada en la nueva matematica. Sus criticas acerca de los pretendidamente “solidos” fundamentos de las teorias de Newton y Leibniz aparecieron en 1734 en “The Analyst”, un escrito dirigido al “infiel” Edmund Halley, el del celebre cometa. El malicioso titulo completo en castellano de este demoledor panfleto es: “El Analista, o Discurso dirigido a un Matematico Infiel, donde se Examina si los Objetos, Principios e Inferencias del Analisis Moderno estan formulados de Manera más Clara, o deducidas de manera Mas Evidente que los Misterios Religiosos y los Asuntos de Fe. Saca primero la viga de tu ojo y veras luego claramente a la hora de quitar la mota del ojo de tu hermano.” A ese opusculo pertenecen los siguientes pasajes:
“Asi como nuestros sentidos se ven forzados y desconcertados en la percepcion de objetos extremadamente pequeños, tambien asi la imaginacion (…) se ve muy forzada y confundida para formar ideas claras de las minimas particulas de tiempo o los incrementos minimos engendrados durante ellas, y mucho mas aun para comprender los momentos o aquellos incrementos de las cantidades fluyentes in statu nascenti. (…) ¿Y que son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y que son estos mismos incrementos evanescentes? No son ni cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas ni son tampoco una simple nada. ¿No podriamos llamarlos Fantasmas de Cantidades Desaparecidas?... El que pueda digerir una segunda o tercera fluxion no necesita, en mi opinion, andarse con remilgos en cuanto a la Divinidad.”
Tenia razón el hombre: fluxiones, evanescencias y otros ectoplasmas matematicos apenas tenian nada que envidiar en punto a misticismo inescrutable con los propios asuntos de religion. El inmenso territorio del calculo, fuente del analisis, estaba plagado de definiciones incomprensibles, demostraciones apresuradas, e incluso flagrantes contradicciones conceptuales. Se hacia cada vez mas urgente e imprescindible abordar el problema del rigor en el calculo. Y en ello volcaron sus esfuerzos en el siglo XIX matematicos de la talla del (otro) cura checo Bernhard Bolzano, el noruego Niels Henrick Abel y Augustin-Louis Cauchy. Por desgracia, los escritos del checo apenas los conocian dos o tres amiguetes suyos en Praga, y el formidable Abel murio con apenas veintisiete años de edad. De modo que fue Cauchy quien realmente personifico los inicios del rigor en la ciencia matematica. 
“Cauchy es en estos momentos –como escribía Abel en 1826 a un conocido suyo— el unico que sabe como hay que tratar las matematicas.” Lo cual, a Abel no le impedia sin embargo opinar que el tal Cauchy era “un necio y un fanatico”, dada su extremada carcundia ideologica y su catolicismo militante… 
Límites, III
De modo y manera que, con muy acertado criterio, Cauchy (1789-1848) decidio fundamentar el calculo sobre el concepto de limite. Lo cierto es que tal enfoque habia sido recomendado ya mucho antes, en el siglo XVII, por autores como John Wallis y James Gregory. Y, ya en el XVIII, nada menos que Jean Le Rond d’Alembert habia incluído en la celebre y disolvente Encyclopedie un enjundioso articulo titulado precisamente ‘Limite’, en el que, entre otras cosas, puede leerse:
“Se dice que una cantidad es el limite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de limites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafisica del calculo diferencial.”
En otro apartado de la misma pecaminosa Encyclopedie, titulado ‘Diferencial’, el mismo d’Alembert decia que un diferencial (infinitesimal) es una cantidad “infinitamente pequeña”, pero señalaba que esta terminologia era “muy abreviada y oscura”. Criticaba asi mismo el autor frances la utilizacion por parte de Isaac Newton de la velocidad para explicar la derivada, ya que con ello introducia en su razonamiento una idea no matematica: la de movimiento. Por desgracia, los contemporaneos de d’Alembert no hicieron el menor caso de sus juiciosas observaciones. 
Tras todos estos prolegomenos, en 1821 aparecio finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algebrique, que enseguida se convirtio en la  Biblia del analisis de variable compleja. Se trataba de un libro en el que el autor se proponia en cierto modo refundar la metodologia matematica sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas. En esta obra, el autor frances establecia cuidadosamente las nociones basicas del calculo: funcion, limite, continuidad, derivada e integral. Tambien distinguia alli entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes. Estas ultimas eran expulsadas a las tinieblas exteriores. La repercusion que tuvo este concreto distingo queda reflejada en una conocida anecdota: Laplace, anciano jubilata ya de 72 años, alertado por el texto de Cauchy, se apresuro a recluirse en su casa durante casi una semana a fin de examinar con lupa las series incluidas en su grandiosa Mecanica celeste. Segun pudo comprobar con enorme alivio y satisfaccion el bueno de Pierre-Simon, ¡todas esas series eran, por suerte, ortodoxamente cauchianas, es decir, completamente convergentes!
Pero veamos ya cómo definia Cauchy el limite de una funcion. Textualmente escribi:
“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por ultimo a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de limite de todos los demas valores.”
Lo cual, en lenguaje un poco mas formalizado, puede traducirse por:
”La funcion f tiende hacia el limite L cerca de a si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.
Como vemos, pues, la cosa dejaba todavia bastante que desear. Lo de “suficientemente cerca de” y, sobre todo, eso de “una cantidad tan pequeña como se desee” (o “tan cerca como queramos”) sonaba a caprichos mas que a pura objetividad matematica.
Tendrian que pasar aun unos treinta años para que el aleman Karl Weierstrass viniese a poner definitivamente los puntos sobre las ies del delicado concepto de limite. 
epsilon/delta
 
Si el entrevistador hace al entrevistado una pregunta como la tuya ("¿que son epsilon y delta?"), el entrevistado estaobligado a exclamar: ¡Hombre, me alegro de que me haga usted esta pregunta! 
¿Que son, que valores tienen e y d?
Respuesta. Son: numeros. Valen: cualesquiera valores numericos positivos.
Sin embargo, esto segundo hay que matizarlo, puesto que, segun se desprende de la definicion de limite, d depende o es funcion de e. Reproduzco de nuevo esa definicion:
La funcion f(x) tiende hacia el limite L en p cuando, para todo e>0, existe algun d>0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<d, es |f(x)-L|<e.
Dice ahi: “Para todo e>0, existe algun d>0…” 
Eso significa que uno debe empezar eligiendo un epsilon positivo cualquiera y luego hay que ver qué delta positivo cumple con las condiciones de la definicion.
Ejemplo. 
Demostremos que, cuando x-->2, lim (2x-1) = 3.
Intuitivamente la cosa parece muy clara pues, haciendo x = 2, resulta 2*2-1 = 3. Sin embargo: 1)esto, que en la práctica se hace constantemente, es una pequeña barbaridad matematica, y 2) se cumple cuando se trata de funciones sencillas como 2x-1, pero no suele funcionar cuando las funciones son mas complicadas, en cuyo caso hay que seguir literalmente la definicion de limite.
Atengamonos tambien aqui a esa definicion para intentar demostrar el enunciado propuesto.
Sea un e>0 cualquiera y hallemos el correspondiente d>0. Segun la definicion, tal valor ha de verificar que, si
0<|x-2|<d, entonces |(2x-1)-3|<e.
Intentemos relacionar |(2x-1)-3| con |x-2|. En este caso no hay ninguna dificultad:
|(2x-1)-3| = |2x-4| = 2|x-2| (*)
Por tanto, para que |(2x-1)-3| sea menor que e, solo se requiere que |x-2| sea dos veces menor, es decir, que d = e/2.
Comprobemoslo: si 0<|x-2|<e/2, entonces 2|x-2|<e. Por tanto, segun (*), seria tambien |(2x-1)-3|<e. 
 
Para llegar a este tipo de definiciones (llamadas precisamente epsilon-delta) se han necesitado siglos de formalizacion en el lenguaje matematico. Lo importante de esta definicion es captar la idea y luego intentar formalizar, proceder al reves iria contra el proceso natural de la mente. Antes de formalizar esta definicion no es que no supieramos lo que era el limite en un punto, es que simplemente no sabíamos plasmar un idea abstracta en un lenguaje particular, el matematico en este caso.
Epsilon y delta son varibles que representan la longitud de los intervalos, la distancia que hay desde la x al extremo del intervalo es epsilon (la E redondeada) y la distancia de la y al extremo del intervalo es delta (la d redondeada).
Basicamente, lo que dice la definicion es que si tomo un intervalo cualquiera alrededor del limite L, sere capaz de encontrar un intervalo alrededor de la x donde todas las imagenes de la funcion van a estar dentro del intervalo que escogi inicialmete. Y esto sucede para cualquier intervalo que escoja alrededor del limite.
Espero haber aclarado algo. Un saludo
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