CUADRILÁTEROS

 


 
 
¡HOLA CHICOS!!!!  Vamos a trabajar con cuadriláteros, recordando contenidos olvidados y agrengando otros nuevos a los ya aprendidos en primaria.
 Ahora vamos a recordar la definición de cuadriláteros:
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
 
 
 
Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales.
 
 
Los elementos son


4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero.
4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;
                
2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no consecutivos;

4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;
 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.
- contorno
 

 

Los elementos de un cuadrilátero convexo son:

Vértices: A - B - C - D
                  ___       ____      ____       ____                                              
Lados:       AB,         BC,       CD;     DA                                                   
                                         
^           ^               ^                   ^                

Angulos interiores:     A    -      B      -       C       -         D    -     
                                                                 
Angulos exteriores:     

^               ^               ^                 ^  

α     -      β      -        δ        -          ε       
                             ___       ____                 

Diagonales:         AC;      BD;  

 



 

 


 

 



 
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
La primera gran división que podemos realizar es cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos, llamados puntas de flecha o deltoides.

CUADRILÁTERO CONVEXO

CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCAVO)



 
Cada uno de los ángulos interiores es menor de 180º.
O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadrilátero.
Uno de los ángulos interiores(por ej. D) es mayor de 180º.

Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exteriores al cuadrilátero

 

Recordamos tambien que un polígono es convexo cuando no contiene prolongaciones de sus lados y es cóncavo cuando las contiene.




   SUMA DE ANGULOS INTERIORES EN UN CUADRILATERO (SAI)

 


CUADRILÁTEROS: NOMBRE-DEFINICIÓN
 
    Si contruimos cuadriláteros con 4 lados distintos y le imponemos ciertas condiciones a sus lados obtendremos todos los cuadriláteros especiales y en consecuencia podremos dar una clasificación teniendo en cuenta la forma en que han sido generados.
 
Las condiciones que podemos imponer a sus lados son:    
  • el paralelismo.
  • la igualdad.
   Construimos cuadriláteros con 4 lados distintos y le imponemos una condición de paralelelismo a sus lados.
Condición: un par de lados paralelos.
TRAPECIO:
DEFINICIÓN: Se llama trapecio a todo cuadrilátero que tiene un sólo par de lados opuestos paralelos.
 

___              ____                                  
AB        //       CD

Esos lados paralelos se llaman bases

____                                                  ____           
  AB          base menor                         CD           base mayor


Notación:

Se lee: trapecio ABCD

PROPIEDADES:

  •  Dos de sus lados (llamados bases)son paralelos


En la figura siguiente tienes tres clases de trapecios:


1) Trapecios rectángulos.- Los que tienen dos ángulos rectos y dos lados paralelos.
2) Trapecios isósceles.- Los que sus dos lados NO paralelos miden igual.

3) Trapecios escalenos.- Los que sus cuatro lados tienen medidas diferentes y dos lados son paralelos.







 

Base media del trapecio

          

La base media del trapecio es paralela a las bases e igual a su semisuma.



   ___             ____             _____            ____        
mn         //    bc          y       mn        //      ad         

___                                 
mn    =           bc + ad      
                         2


 
Si continuamos con la condición de paralelelismo, pero ahora con dos pares de lados paralelos obtenemos:
 
 
 
 
 
PARALELOGRAMO:

DEFINICIÓN: Se llama paralelogramo a todo cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.

Notación:

Se lee: paralelogramo ABCD

PROPIEDADES:

Los lados opuestos son paralelos (por definición).
Los lados opuestos son iguales.(*1)
TEOREMA(*1):

#En todo paralelogramo, los lados opuestos son iguales.

H) ABCD paralelogramo                                      agregar dibujo 2A pag35

T) AB=CD

    BC=DA

D) Se traza la diagonal BD; quedan determinado los triángulos:


ABD   Y   CDB  que tienen:

BD común a ambos triángulos

1=2 por alt. int. entre paralelas (AB // DC por hipótesis)

3=4 por alt. int. entre paralelas (BC // AD por hipótesis)

Por tener un lado y dos ángulos respectivamente iguales ABD=CDB

Luego, todos sus elementos son respectivamente iguales.Entre ellos:

AB=CD  por ser lados que se oponen a los ángulos iguales 3 y 4.

BC=DA por se lados que se oponen a los ángulos 1 y 2.



Construcción:
  1. Construir un paralelogramo dados dos lados consecutivos y el ángulo comprendido (Procedimiento:usando la propiedad "Los lados opuestos son paralelos".
Datos: AB=3cm   AD=4cm    A=60º

2. Construir un paralelogramo dados dos lados consecutivos y el ángulo comprendido (Procedimiento:usando la propiedad "Los lados opuestos son iguales".

Datos: AB=3cm   AD=4cm    A=60º
 
3. Construir un paralelogramo dados dos lados consecutivos y el ángulo comprendido (Procedimiento:usando la propiedad "Los lados opuestos son paralelos e iguales".
 
Datos: AB=3cm   AD=4cm    A=60º

4.
Construir un paralelogramo dados dos lados consecutivos y una de las diagonales. (Procedimiento: construir un triángulo con regla y compás dados 3 lados y luego el paralelogramo con cualquiera de los procedimientos ya aprendidos.
Datos: AB=4cm   AD=4,5cm    BD=6cm
 
Los ángulos opuestos son iguales(*2).

TEOREMA(*2):

#En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales.

H) ABCD paralelogramo                                      agregar dibujo 2A pag.36

T) A=C

    B=D

D) Se traza la diagonal BD; quedan determinado los triángulos:


ABD   Y   CDB  que tienen:

BD común a ambos triángulos

1=2 por alt. int. entre paralelas (AB // DC por hipótesis)

3=4 por alt. int. entre paralelas (BC // AD por hipótesis)

Por tener un lado y dos ángulos respectivamente iguales ABD=CDB

Luego, todos sus elementos son respectivamente iguales.Entre ellos:

A=C

En forma análoga, trazando la diagonal AC, demuestra que B=D


Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

TEOREMA(*3):

#En todo paralelogramo, las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

H) ABCD paralelogramo   

    DB y  AC    diagonales que se cortan en O                     agregar dibujo 2A pag.37

T) AB=CD

    BC=DA

D) Las diagonales AC y Bd se cortan en O, por hipótesis; quedando determinados los triángulos:


ABO   Y   CDO  que tienen:

AB=CD por ser lados opuestos del paralelogramo.

1=2 por alt. int. entre paralelas (AB // DC por hipótesis)

3=4 por alt. int. entre paralelas (BC // AD por hipótesis)

Por tener un lado y dos ángulos respectivamente iguales ABO=CDO

Luego, todos sus elementos son respectivamente iguales.O sea:

AO=OC  por ser lados que se oponen a los ángulos iguales 1 y 2.

BO=OD por se lados que se oponen a los ángulos 3 y 4.

Construcción:
  1. Construir un paralelogramo dados un lado y las dos diagonales. (Procedimiento:usando la propiedad: Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.
Datos: AB=5cm   BD=7cm    AC=6cm

2.   Construir un paralelogramo dados las dos diagonales y uno de los ángulos que ellas forman al cortarse. (Procedimiento:usando la propiedad: Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

Datos: AC=7cm   BD=5cm    AOB=65ºcm

Base Media (de un paralelogramo)

DEFINICIÓN: Base media de un paralelogramo, correspondiente a un par de lados opuestos, es el segmento determinado por los puntos medios de los otros dos lados o dicho de otra manera se llama base media al segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos de un paralelogramo.

Agregar dibujos y simbolos 2A pag 39

La base media es paralela a las bases correspondientes e igual a las mismas.

TEOREMA(*4):

#En todo paralelogramo, cada base media es paralela a las bases correspondientes e igual a las mismas.

H) ABCD paralelogramo   

   MN base media corresp. a AB // DC


T) MN // AB // CD                         agregar dibujo 2A pag.39

   MN = AB = CD

D) La base media MN divide al paralelogramo en dos cuadriláteros:

El cuadrilátero ABNM tiene:

AM = BN por se M y N puntos medios de AD y BC, respectivament, por se MN base media por hipótesis.

AM // BN por pertenecer a AD y BC, lados opuestos del ABCD paralelogramo.

Por tener dos lados opuestos paralelos e iguales, es: ABNM paralelogramo y

Por definición de paralelogramo: MN // AB

y por lados opuestos MN = AB

Análogamente, considera el cuadrilátero MNCD, y demuestra que:

MN // CD     MN = CD


 
El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría.

  

 TEOREMA:

#En todo paralelogramo, los lados opuestos son iguales.

#RECÍPROCO: todo cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales es paralelogramo.

# Todo cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos e iguales es paralelogramo.


#En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales

#RECÍPROCO: todo cuadrilátero que tiene sus ángulos opuestos iguales es paralelogramo.


#En todo paralelogramo, las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

#RECÍPROCO: todo cuadrilátero cuyas diagonales se cortan mutuamente en partes iguales, es paralelogramo.


#Cada base media de un paralelogramo es paralela a las bases correspondientes e igual a las mismas.

#El punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo es el centro de simetría de la figura.

Obsevación: Los teoremas recíprocos establecen las condiciones suficientes para conocer si un cuadrilátero es un paraalelogramo.Así, basta saber que un cuadrilátero tiene sus dos pares de lados opuestos iguales para establecer que es un paralelogramo; o bien basta saber que un cuadrilátero tiene sus ángulos opuestos iguales para establecer que es un paralelogramo; o bien basta saber que en un cuadrilátero las diagonales se cortan en partes iguales para asegurar que es un paralelogramo.
PARALELOGRAMOS ESPECIALES
 
TEOREMA:
# Si un paralelogramos tiene un ángulo recto, los otros tres también son rectos
 
H) ABCD PARALELOGRAMO
     A = 1R
 
T) B=C=D=1R
 
D) 

 

RECTÁNGULO:

DEFINICIÓN:
Se llama rectángulo a todo cuadrilátero que tiene sus ángulos rectos.
Notación:
ABCD se lee: rectángulo ABCD

PROPIEDADES:

Los lados opuestos son iguales.

Los ángulos opuestos son iguales.

Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría. 

TEOREMA:

Las diagonales de un rectángulo son iguales.es.

TEOREMA(*5):

En todo rectángulo, las diagonales son iguales.

H) ABCD rectángulo   

    DB y  AC    diagonales que se cortan en O                     agregar dibujo 2A pag.37

T) AC=BD

   

D) Las diagonales AC y BD se cortan en O, por hipótesis; quedando determinados los triángulos:


BAD (rectángulo en A)

y  CDA rectángulo en D; que tienen:

cateto AD común

cateto AB=cateto CDpor ser lados opuestos del rectángulo ABCD


Luego, por el primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, esots triángulos son iguales, es decir:        BAD  =     CDA

y, en consecuencia, las hipotenusas son iguales, es decir:    AC   =   BD

que es la tesis, y queda así demostrado el teorema.

       



Las perpendiculares a los lados de un rectángulo trazadas por el punto de intersección de las diagonales son ejes de simetría de la figura.

agregar dibujos
 
Construimos cuadriláteros pero ahora le imponemos una condición de igualdad a sus lados.
Condición: un par de lados consecutivos iguales.
#Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales, tiene los cuatro lados iguales.
 
 
TEOREMA:
#Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales, tiene los cuatro lados iguales.
 
H) ABCD PARALELOGRAMO
     AB = BC
 
T) AB=BC=CD=DA
 
D) 
ROMBO:

DEFINICIÓN:
Se llama rombo a todo cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales.

PROPIEDADES:

Los lados opuestos son iguales.

Los ángulos opuestos son iguales.

Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría. 

Las diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
Teorema:
#Las diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
#Las diagonales del rombo son ejes de simetría de la figura.
 
CUADRADO

Se llama cuadrado a todo cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos rectos.
 

PROPIEDADES:

Por ser paralelogramo

I-Los lados opuestos son iguales.

II-Los ángulos opuestos son iguales.

III-Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

IV-El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría. 

Por ser rectángulo
V-Sus diagonales son iguales.
VI- Las perpendiculares a los lados, trazadas por el punto de intersección de sus diagonales, son ejes de simetría de la figura.
Por ser rombo
 
VII- Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
VIII- Sus diagonales son ejes de simetría de la figura. 
 
ROMBOIDE
Se llama romboide a todo cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales.
 
 
 
¿Cuáles son los conjuntos de cuadriláteros que pueden obtenerse como intersección de otros dos conjuntos?
 
Los paralelogramos cuyos lados y ángulos tienen, respectivamente, relaciones de igualdad independientemente de las que les son características por la condición de ser paralelogramos, se llaman paralelogramos especiales, según lo visto clases anteriores, estos son:
  • rectángulo
  • rombo
  • cuadrado
 
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS.


Paralelogramos

Los Paralelogramos son cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos.

Todos los paralelogramos cumplen las siguientes características:

  • Sus lados opuestos tienen la misma longitud.
  • Sus ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.
  • Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes.
  • Las diagonales se cortan en su punto medio.
Se pueden dividir en la siguiente forma:


No Paralelogramos
 
   Para empezar a clasificarlos vamos a resolver el siguiente ejercicio. Para ello deben completar siguiendo las flechas de relación:
 
hacerlo en cmap

*****insertar el primer video que muestra rectas paralelas con el trapecio.

  

La clasificación más extendida es atendiendo al paralelismo de sus lados,  se tiene:

CUADRILÁTEROS 

CONVEXOS

Dos pares de lados paralelos Paralelogramos
Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos Trapecios
Ningún lado paralelo Trapezoides o simplemente cuadriláteros. 

    Pinchando en los dibujos se accede al applet correspondiente.

C

 

U

 

A

 

D

 

R

 

I

 

L

 

Á

 

T

 

E

 

R

 

O

 

S

1.-PARALELOGRAMO

Lados paralelos dos a dos

P

A

R

A

L

E

L

O

G

R

A

M

O

S

RECTÁNGULO

Paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales.

Esto es cuatro ángulos rectos.

  CUADRADO

                        

Tiene lados iguales y ángulos iguales.

Cuadrilátero regular.

Tiene cuatro ángulos rectos, y por tanto es un rectángulo.
Tiene cuatro lados iguales y en consecuencia es un rombo.
ROMBO

Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales.
2.-TRAPECIO

Dos de sus lados, (normalmente llamados bases) son  paralelos.

T

R

A

P

E

C

I

O

S

TRAPECIO RECTÁNGULO

Un lado perpendicular a las bases.

O bien

Tiene dos ángulos rectos.

TRAPECIO ISÓSCELES

Los lados no paralelos son de igual longitud.
TRAPECIO ESCALENO A veces encontramos la nomenclatura de trapecio escaleno, para referirse a los no rectángulos ni isósceles. Me parece innecesario. Llamémosle trapecio, sin apellidos.
3.-TRAPEZOIDE Algunos libros denominan así a los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Se puede decir solo que es un cuadrilátero, sin más.

 

ROMBOIDE 

COMETA

 

Cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales.

Se debe a  Rey Pastor la utilización de la palabra Romboide para referirse a esta figura.

Existe un caso particular especialmente interesante, el romboide o cometa que tiene dos ángulos rectos.  

Entre otras propiedades, este romboide es inscriptible y circunscriptible.

 



Tambien podemos ordenar la clasificación por porpiedades comunes.


 



Importante: Recordemos las propiedades:


 Las diagonales se bisecan
 En todos los cuadriláteros la suma de los cuatro ángulos interiores es igual a 360º (grados) o 2π radianes; la suma de los cuatro ángulos exteriores también es igual a 360°.
Ver video:
446 paralelogramo
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Ahora van a ver un vídeo y escribirán los errores encontrados 
*  Cuadrado:
* Rombo
* Rectángulo
* Romboide
* Trapecio
* Trapezoide
 
******este video dice que es de geogebra


Actividades 2




RECTÁNGULO:
TEOREMA: si un paralelogramo tiene un ángulo recto, los otros tres también lo son.
H) ABCD
       A= 1 recto
T) B=C=D=1 recto
D)


Si necesitan ayuda para resolver este ejercicio haz clic ayudaaquí

POLÍGONO:
TEOREMA:La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos rectos por el número de lados menos dos.   SAI(TRIÁNGULO)=180º
                                                      SAE(CUADRILÁTERO)= 360º
H) Polígono ABC...N; n número de lados.
T) A+B+C+...+N= 2R.(n-2)
D)



EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
a) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un octógono?
b) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono vale 1260º, ¿cuántos lados tiene la figura?.

TEOREMA:la suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre igual a cuatro rectos.                      agregar dibujo de pentagono
                             AYUDA: SAI(TRIÁNGULO)=180º
                                          SAE(CUADRILÁTERO)= 360º
                                          Como un ángulo exterior es adyacente a uno interior, es suplemento de éste.Ej.: A+α = 180º

H) polígono ABCDE
T)α+ β+ γ+ δ+ ε= 4 R
D)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
a) Dado un octógono regular, ¿Cuánto mide cada ángulo exterior?
b) Dado un eneágono regular, ¿Cuánto mide cada ángulo exterior?

TEOREMA:En todo polígono, un lado es menor que la suma de los demás.
H) polígono ABCDE
T) AB <   BC <   CD < DE<  EA

http://es.wikipedia.org/wiki/area


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea

http://www.youtube.com/watch?v=-RlckVYkf5c&feature=related

Spirale Tutorial



http://docentes.educacion.navarra.es/jjimenei/images/73areasyperimbis.jpg