半田山・幾何・代数セミナー

During this talk, we discuss symplectic/Hamiltonian actions of the circle group on compact symplectic manifolds.

We will review some backgrounds in symplectic geometry and concepts of symplectic actions and Hamiltonian actions.

We will review classification results for Hamiltonian actions on low dimensional manifolds,

review classification results for symplectic actions that have small numbers of fixed points,

discuss when a symplectic action with fixed points is Hamiltonian,

and discuss the existence of a symplectic action with fixed points, which is not Hamiltonian.

ガロワ点が導入されておよそ30年の月日が経った． 当初は，非特異平面代数曲線の有理関数体の体拡大の構造を幾何的に調べることに主眼が置かれてきたが，その後，いろいろな幾何学的な現象との関連が考察され，広範囲に展開を続けている． さらには，準ガロワ点も導入され，ますます応用範囲が広がった．

本講演では，具体例の計算とともに，ガロワ点理論の展開の様子について概観したい． また，時間が許せば，K3曲面に対するガロワ点理論の最新の成果についても紹介したい．

複素変数多項式の零点集合で定義される滑らかな図形（非特異複素代数多様体）の基本群は有限生成群であることが知られている． セールは逆問題として「有限生成群が与えられたとき，それを基本群に持つような非特異複素代数多様体は存在するか？」を考えた． これは「セールの問題」と呼ばれており，有限群に対する肯定的な結果（セール自身によって示された）のほか，考える図形を滑らかな射影代数多様体に制限したときの反例もいくつか知られている．

本講演ではベキゼロリー代数の「次数付け」を調べることで，セールの問題の反例が得られることを，リー群とリー代数の対応，群の表示を用いた具体例の計算を行いながら紹介する． 

対称空間は各点で点対称が定義されている多様体で，対称空間の対蹠集合とは，その対称空間の部分集合であり，各点での点対称がその集合の上では恒等変換であるような離散集合である． コンパクト対称空間の対蹠集合は有限で，対蹠集合の濃度の最大値が存在し，2-number とよばれる． 2-number はコンパクト対称空間の位相的性質と関係することが知られている．

本講演では，コンパクト対称空間の対蹠集合に関するいくつかの先行研究を紹介し，コンパクト対称空間の極大対蹠集合の分類に関する田崎博之氏との共同研究の内容について述べる． 

A 2-sphere embedded in the 4-sphere invariant under a circle action is called a branched twist spin. A branched twist spin is constructed from a 1-knot in the 3-sphere and a pair of coprime integers uniquely. Circle actions on the 4-sphere are studied by Montgomery, Yang, Fintushel, and Pao. There is a specific class of branched twist spins, called twist spun knots. There are several studies about these knots in the 2-knot theory.

In this talk, we introduce twist spun knots, branched twist spins, and our recent results concerning a classification of these knots. This is a joint work with Mizuki Fukuda in Tohoku University.

一般に可換ホップ代数はアフィン群スキームと対応する．この対応から量子群などの可換とは限らないホップ代数は群の一般化とみなされ，群論と同様な研究が行われてきた．
さて，通常の群論において群の剰余類空間を考えることは基本的である．そこで M. Takeuchi らはアフィン群スキームの，アフィンとなる剰余類空間は，ある忠実平坦性の条件をもつ余イデアル部分代数に対応することを示した．これによりホップ代数を群の一般化とみなすとき，ある忠実平坦性の条件をもつ余イデアル部分代数はその群の剰余類空間とみなされる．これは特に，量子群の文脈からは量子等質空間として研究されており，またホップ代数が有限次元ならばその群の部分群に対応するものとみなされている．
本講演では，低次元ホップ代数の余イデアル部分代数の分類問題を扱う．これは上記の議論から，有限群の部分群を分類するような基本的な問題であると考えられる．また歪原始元と呼ばれる元の，簡単な性質や余イデアル部分代数の分類における位置付けについて説明する．

Zariski が 1929 年に発見した例で見られる通り， 複素射影平面の中の射影平面曲線について， その既約成分の個数・次数・特異点や交叉などの組み合わせ論的情報が一致していたとしても， 埋め込み位相の型が異なりうることが知られている． この現象を理解するために， 同一の組み合わせ型を持つ曲線の埋め込み位相による分類の問題を考えることが重要である． 当初は位相幾何学由来の不変量が主に用いられていたが，その後，より代数的な手法が発見され， それを用いた研究が進められている．

本講演では，近年注目され始めた「分解曲線」とそれに付随する不変量について解説し， 新たに発見された例を紹介する．

組合せゲーム理論は Conway や Berlekamp らによって考案された理論であり，主に対戦ゲームの戦略を代数的に解析することを目的としている． その数学的構造の美しさやアルゴリズム的な興味深さから，近年数学分野の一分野として発展してきた．

本講演の前半では，組合せゲーム理論の入門的な内容について話す．また佐藤幹夫氏は，ウェルターゲームの操作がヤング図形のフックの引き抜きに対応することに着目し， 組合せゲーム理論と表現論との間に関わりがあることを示唆した． つい最近，入江佑樹氏により実際に対称群の表現論との関わりがあることが示された．後半ではその概略について紹介する． さらに，時間に余裕があれば組合せゲーム理論に関する最新の研究内容についても言及したい．

よく知られているように体上の代数群とその閉部分群に対し，商となるスキームがスキームの圏において存在する． ここで，この結果がより一般的にスーパー対称性のもとで成り立つかという問題が考えられる． この問題が我々の興味を引いたのは Brundan の示したスーパー代数群の表現に関する結果による． Brundan はスーパー代数群とその閉スーパー部分群に対して，商の存在を含むいくつかの性質をリストアップし仮定した上でスーパー代数群の表現に関する一般的な結果を示した．

講演ではスーパー代数群の商を構造層を明示して構成する方法を紹介する． その構成により Brundan がリストアップした性質が示され，一般のスーパー代数群に対してBrundanの結果が適用可能となった．

We are going to investigate a typical problem in enumerative combinatorics: counting the sizes of the sets depending upon a positive integer q. The result often is polynomials (e.g., chromatic polynomial of a graph), and sometimes quasi-polynomials. Generally speaking, a quasi-polynomial is a refinement of polynomials, of which the coefficients may not come from a ring but instead are periodic functions with integral period. One of the most classical examples is the Ehrhart quasi-polynomial that counts the number of integral points in the q-fold dilation of a rational polytope. In the arrangement theory, a quasi-polynomial appears when we count the size of the complement of an integral hyperplane arrangement modulo q - the characteristic quasi-polynomial due to Kamiya-Takemura-Terao.

In the first part, we show that the characteristic quasi-polynomial encodes a number of combinatorial and topological information of many types of arrangements. In the second part, we show a link between the characteristic and Ehrhart quasi-polynomials in connection with root systems and Eulerian polynomials.

The first part is based on a joint work with Yoshinaga (Hokkaido), the second part is based on a joint work with Ashraf (Western Ontario) and Yoshinaga.

アフィン量子群の有限次元テンソル積表現の間の絡作用素として実現される R 行列は、スペクトル変数付き Yang-Baxter 方程式を満たす行列値有理関数とみなせる。その特異性はテンソル積表現の可約性を強く反映し、アフィン量子群の表現圏のモノイダル構造に関する本質的情報を含んでいる。

講演では、非捩 ADE 型アフィン量子群の基本表現に話を限定して、それらの間の R 行列の分母を量子 Cartan 行列を用いて統一的に表す公式を紹介し、さらにそれが対応する Dynkin 箙の表現論や次数付き箙多様体の構造と密接に関係していることを説明する。時間が許せば、応用として、Kang-柏原-Kim が導入したアフィン量子群と箙 Hecke 代数の表現圏を結びつける Schur-Weyl 双対性関手の一般化について、そのひとつの幾何学的解釈が得られることにも言及したい。

We study the order of tangency between two manifolds of same dimension and give that notion three quite different interpretations: by Taylor series, by a mini-max procedure and by Grassmannians. Related aspects of the order of tangency, e.g., regular separation exponents and Lojasiewicz exponents are also discussed.

This is a joint work with Wojciech Domitrz and Piotr Mormul.

本講演では2つのパートに分けて話す。主には、SNSの実データにグラフ構造を与える手法とそのグラフの基本的なトポロジーを使い中間点を導き出す例を紹介する。紹介するグラフは曲面上のトポロジーを用いて解釈する事ができ中間点を導き出す手法でその解釈を簡単にではあるが使う。又、時間に余裕があれば現在九州大学IMI研究所と取り組んでいる機械学習を使ったレコメンド手法に関しても話す。

この講演ではパーシステントホモロジーに関わる数学および応用について解説する． ここでパーシステントホモロジーとは，理論および応用の両側面で現在活発に研究が進められている数学概念であり， 位相的データ解析（Topological Data Analysis, TDA）と呼ばれる分野の代表的な手法として知られている． パーシステントホモロジーは，数学的には位相空間のフィルトレーションに対する次数付き加群としてのホモロジーで定式化されるが， クイバー（Quiver）の表現論を用いた一般化をはじめ，確率論，統計・機械学習，逆問題，最適輸送などへ急速に展開している． またパーシステントホモロジーは諸科学の問題へも実際に応用されており，その適用範囲は材料科学，生命科学，脳科学，ソーシャルネットワーク，医療，金融など多岐にわたる．

ここではパーシステントホモロジーの歴史的経緯や上に挙げた様々な数学的な広がりを解説する． また，材料科学を中心に，実際にパーシステントホモロジーが現場で使われている例も紹介し，トポロジーに基礎をおく新たな応用数学手法としての魅力も伝えたい．

本講演では，Auslander-Ding-Solberg による可換 Noether 局所環上の有限生成加群の持ち上げ問題を 可換微分次数付き (DG) 代数上の微分次数付き (DG) 加群へ拡張した問題の研究を紹介する。具体的には，「DG 代数とその 1変数 divided power DG 代数拡大 B に対して，DG B 加群がいつ係数拡大で持ち上がる DG 加群に同型であるか?」を考えた。この問題を解く鍵となったのは，Tateにより導入された作用素からヒントを得て定義した j-作用素である。 j-作用素を用いて，持ち上げの障害類を構成した。ある弱い条件の下で，DG 加群の持ち上げ可能性をその障害類の消滅性により特徴づけた。また持ち上げの一意性に対する十分条件も得られた。

本講演の内容は岡山大学の吉野雄二氏との共同研究に基づく。

Non-abelian Galois cohomology is, from Grothendieck's point of view, the simplest example of a theory that can "measure" mathematical objects (projective curves, Lie algebras, ...) that are locally isomorphic. What is curious is that the base topological space consists of just one point! (this space therefore admits no non-trivial open coverings. That said, the theory is far from trivial: One needs to understand the meaning of "local").

The talk will present an introduction, with plenty of examples, to non-abelian Galois cohomology. Towards the end we will give some new applications to the classification of quantum groups.

ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の部分多様体であり，幾何・トポロジー・組み合わせ論・表現論といった様々な側面からのアプローチが可能な対象です． リー環の正則元から定まるヘッセンバーグ多様体を観察してみると，その幾何やトポロジーは正則元の取り方によって大きく変わるようにも見えますが，実は共通する幾何学的な性質も持っています．

この講演では，正則ヘッセンバーグ多様体の族の性質を観察することで，何が共通する性質なのかを説明したいと思います． また，応用として，旗多様体のホモロジーにおいて正則ヘッセンバーグ多様体が定めるサイクルが正則元の取り方によらないことを見たいと思います．

この研究は，復旦大学の曽昊智さんと東京工業大学の藤田直樹さんとの共同研究です．

4 次元多様体から 2 次元球面への滑らかな写像で、 特異点として不定値折り目特異点とレフシェッツ型特異点しか持たないものは、特異レフシェッツ束と呼ばれる。 本講演では、その特異値集合を簡略化するための具体的アルゴリズムを、特異点論の観点から与え、 応用として、どんな 4 次元多様体も単純な 3 分割 (simplified trisection) を持つことを示す。

本講演の内容は R. I. Baykur 氏との共同研究に基づく。

統計力学における可解格子模型とは何か、「解ける」とはどういう意味か、から始めて、 二つの解き方（代数的 Bethe Ansatz と Baxter の Q 作用素）について解説する。 時間があれば、自分の研究している楕円型 R 行列で定義される格子模型について触れるかもしれないが、 基本的にはもっと簡単な模型を例に使って説明する。

In the first part of the talk, the basics of quantum K-theory will be explained and comparisons between quantum cohomology and quantum K-theory will be made. The second part of the talk will mainly be on quantum K-theory on flag manifolds and its relations to finite difference Toda Lattices.

References:
1. Lee, Y.-P., Quantum K-theory. I. Foundations. Duke Math. J. 121 (2004), no. 3,389-424.
2. Givental, Alexander; Lee, Yuan-Pin, Quantum K-theory on flag manifolds, finite-difference Toda lattices and quantum groups. Invent. Math. 151 (2003), no. 1, 193-219.
3. Givental, Alexander, On the WDVV equation in quantum K-theory. Michigan Math. J. 48 (2000), 295-304.