RESUMO: Os problemas de coloração de grafos estão sem dúvida entre os problemas de teoria dos grafos mais estudados. Esse interesse pode ser explicado não apenas pela ampla gama de situações da vida real que podem ser modeladas como problemas de coloração de grafos (por exemplo, ele pode modelar atribuição de frequência, escalonamento, clustering, etc), mas também por sua relação inaparente com outros parâmetros de grafos (por exemplo, o Teorema de Erdos-Stone-Simonovits relaciona o número cromático de um grafo G com o máximo de arestas permitidas em qualquer grafo H não contendo uma cópia de G). Neste curso, vamos aprender alguns dos resultados teóricos clássicos sobre a coloração de grafos, assim como estudaremos vários resultados de complexidade computacional sobre o problema, e veremos como o problema é abordado na prática (modelagem e soluções).

RESUMO: O estudo de variedades quasi-Einstein está diretamente relacionado à existência de métricas de Einstein em variedades produtos warped. Outra motivação interessante para investigar variedades quasi-Einstein vem do estudo de operadores de difusão por Bakry e Émery, que está intimamente ligado à teoria de espaços de medida métrica suave. Além disso, as variedades 1-quasi-Einstein são mais comumente chamadas de espaços estáticos, que atraíram um grande interesse nos últimos anos por suas conexões com o teorema da massa positiva e a relatividade geral.

Discutiremos alguns fatos básicos sobre a teoria de métricas quasi-Einstein em variedades compactas com bordo. Além disso, discutiremos alguns exemplos, resultados de classificação e estimativas de volume e área do bordo. Para concluir, apresentaremos uma lista de problemas em aberto sobre o tema.

RESUMO: Neste minicurso, apresentaremos alguns aspectos geométricos relacionados às geodésicas. Essas são curvas de grande interesse em diferentes áreas da matemática pela riqueza de propriedades que podem ser observadas e pelos diferentes pontos de vista que podem ser considerados ao estudá-las. Geometricamente, a curva de menor comprimento ligando dois pontos dados de uma superfície é uma geodésica. Pensando abstratamente no gráfico da função comprimento definida em um espaço de curvas, as geodésicas de menor comprimento são pontos de mínimo. Em geral, curvas que são pontos críticos mais gerais da função comprimento também são geodésicas, as quais podem representar pontos de sela em vez de pontos de mínimo. Durante o minicurso, abordaremos problemas de existência de geodésicas com certas propriedades em superfícies homeomorfas a uma esfera bidimensional, ou a um disco fechado. A fim de abordar tais problemas, são introduzidos invariantes relacionados a valores críticos do comprimento em um espaço de curvas generalizadas. Tais quantidades são chamadas larguras min-max e, muitas vezes, é possível relacioná-las a outros invariantes geométricos como a área da superfície, ou o seu diâmetro. A fim de deixar o mini-curso mais acessível a estudantes de mestrado e fim de graduação, na primeira aula vamos apresentar algumas propriedades geométricas elementares das geodésicas