SOLUZIONE ENIGMA 5

LA POSIZIONE IN ELENCO

La risposta è 29.525

(ventinovemilacinquecentoventicinque)

(in basso la spiegazione)

Piuttosto che ragionare con le lettere (scomode in problemi di questo tipo), è opportuno operare con i numeri effettuando la sostituzione dei caratteri suggerita dalla seguente tabella:

Con i numeri scelti, l’ordine alfabetico di ogni parola si trasforma automaticamente in ordine di grandezza (vedi in basso). Cerchiamo quindi di capire la posizione del numero 68123745 nell’elenco ordinato dei suoi anagrammi (elenco che a questo punto inizierà con 12345678 e si concluderà con 87654321).

Per non perderci in lungaggini, denotiamo d’ora in poi il numero 68123745 semplicemente con X. Per contare gli anagrammi X di minori di X stesso, consideriamo la seguente tabella:

A ben vedere non esiste alcun numero minore di X che non sia descritto in tabella. Dal momento che le righe descrivono fra loro numeri diversi, se riuscissimo a quantificare i casi descritti in I, II, III, …, VIII avremmo la risposta all’Enigma a portata di mano. Per far questo è indispensabile utilizzare l’aiuto che si trovava in calce al rompicapo:

Se una parola è formata da n caratteri diversi, il numero complessivo dei suoi anagrammi è n!, che si legge “n fattoriale” e si calcola moltiplicando tra loro tutti i numeri naturali da 1 a n. “QUADERNO” ad esempio è composto da 8 lettere diverse fra loro e quindi conta 8! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8 = 40320 anagrammi. 

In basso una tabella che riassume schematicamente i calcoli relativi a tutti gli otto casi e a seguire la spiegazione passo passo.

• Consideriamo il caso I dei numeri che iniziano con una cifra minore di 6. Scegliamo quindi una delle 5 cifre minori di 6 che abbiamo a disposizione (1,2,3,4,5) e scriviamola al primo posto. La parte che segue è un anagramma delle sette cifre restanti (sette perché delle otto di partenza una è stata appena usata). Tutto considerato possiamo dire che il caso I comprende 5∙7!  numeri diversi.

• Passiamo ora in esame il caso II e fissiamo la prima cifra a 6 (per cui il 6 non sarà più a disposizione). La seconda cifra dovrà essere minore di 8 e nel nostro paniere esistono sei possibili candidati (1,2,3,4,5,7). Una volta fissate le prime due cifre bisogna “attaccare” un anagramma qualsiasi delle sei restanti: complessivamente il caso II raccoglie quindi 6∙6! numeri diversi.

• Consideriamo infine il caso VI che comprende tutti i numeri che iniziano con 68123 seguiti da una cifra minore di 7. Per essa vi sono ancora 2 candidati (4,5). Con la cifra scartata e il 7 si possono costruire ancora 2! anagrammi da attaccare in coda.

• I casi III, IV, V, VII  e VIII sono impossibili: una volta fissata la prima parte, nessuna delle cifre ancora a disposizione permette di scegliere il “numero minore” previsto all’inizio della parte “mobile”

Per capire quanti numeri precedono 68123745 nell'elenco dei suoi "anagrammi" non resta che sommare le quantità trovate. Tornando alla versione originaria del quesito, prima di "QUADERNO" stanno quindi 5∙7!+6∙6!+2∙2! = 29.524 parole e "QUADERNO" stesso si trova al  29.525° posto.