La storia della dinamica inizia con Newton (1642-1726ca). 

Newton stabili gli aspetti fondanti della teoria delle equazioni differenziali per poter studiare l'evoluzione dei sistemi fisici, in particolare il moto dei corpo celesti. 

Oggi le equazioni della dinamica ritornano in tantissimi problemi, non necessariamente legati ai quesiti che Newton si poneva: lo studio di fenomeni atmosferici, le equazioni della dinamica delle popolazioni in ecologia, fenomeni di replicazione ed espressione del DNA, fino a problemi concettualmente più profondi come l'evoluzione del nostro Universo, presentano caratteristiche simili. 

Il problema ha le seguenti caratteristiche. Un sistema si trova in uno stato iniziale. Agenti esterni, reali o astratti, fanno passare il sistema dallo stato iniziale ad un nuovo stato. Come possiamo formalizzare questo fenomeno? Che tipo di tecniche matematiche abbiamo a disposizione? Che tipo di informazioni possiamo aspettarci di ottenere? Gli strumenti che abbiamo a nostra disposizione sono le equazioni differenziali, e le equazioni alle differenze per sistemi discreti. 

Nel Laboratorio di Sistemi Dinamici impareremo ad usare questi strumenti per studiare il problema della dinamica. 

Tuttavia in generale non saremo in grado di trovare una soluzione esatta che descriva l'evoluzione del nostro sistema. 

Fu Poincaré verso la fine del '800 a introdurre un cambio di prospettiva, ponendo l'accento sulle proprietà qualitative, rispetto a quelle quantitative. Invece di cercare una soluzione esplicita (notiamo che avere una soluzione esplicita non `e sempre utile, ad esempio se la nostra soluzione ha la forma di pagine e pagine di funzioni speciali), possiamo chiederci quale sarà l'andamento della soluzione nel lontano futuro. Possiamo chiederci se il nostro sistema `e stabile. Ad esempio se prendiamo il sistema solare, invece di descrivere esplicitamente le orbite di tutti i pianeti, possiamo chiederci se questi rimarranno vicino al Sole, o se ad un certo momento si allontaneranno indefinitamente. Per rendere più preciso il concetto di stabilità, e altre idee correlate, avremo bisogno di adottare una prospettiva geometrica. 

Da un punto di vista più concreto, la dinamica di un sistema viene descritta o attraverso equazioni differenziali, o attraverso l'iterazione di mappa (o equazioni alle differenze). 

Una caratteristica molto importante comune alla maggior parte dei sistemi dinamici `e la non-linearità dell'equazione differenziale o della funzione iterata. 

Nel Laboratorio di Sistemi Dinamici impareremo a trattare alcuni sistemi non-lineari e vedremo che questi necessitano di una propria impostazione concettuale. 

Per finire il fenomeno del caos. 

Parlare di evoluzione caotica per un sistema significa descrivere una situazione in cui il sistema dipende in modo molto sensibile dalle condizioni iniziali (una minima alterazione del problema iniziale può portare a soluzioni che hanno un andamento completamente diverso) e le cui traiettorie "vagano un po' ovunque". 

Spesso fenomeni caotici hanno struttura. Ad esempio sistemi diversi possono diventare caotici nello stesso modo, o le soluzioni sono associate a figure estremamente ricche dal punto di vista geometrico. 

Nelle nostre attività cercheremo di avvicinarci a questi fenomeni. 

prof. Nicola Rogano