Describiré un algoritmo que parte de un conjunto de datos tomados de una distribución uniforme en un espacio métrico y que elige una gráfica que mejor representa sus acumulamientos. Esta elección se consigue usando entropía cuántica relativa en los operadores de calor de cierta familia de gráficas. Es un trabajo realizado en colaboración con A. Rieser.

Los polinomios simétricos han sido objetos de gran interés debido a sus conexiones con diversas áreas de la matemática. Una clase importante de polinomios simétricos son los llamados polinomios de Macdonald, que se puede obtener a partir de los llamados polinomios de Macdonald no-simétricos, los cuáles están relacionados con álgebras de tipo Hecke. Hace algunos años se introdujo una clase especial de polinomios simétricos que involucran, además de las variables usuales, variables anticonmutantes, estos son llamados polinomios supersimétricos. Varias de las propiedades combinatorias de los polinomios simétricos han podido ser extendidas a los polinomios supersimétricos, aunque hay otras que aún son conjeturas. Durante esta charla veremos algunos ejemplos de estos resultados.

Un nudo singular es una aplicación continua f : S ¹ → R no necesariamente inyectiva con eventualmente una cantidad finita de puntos dobles con cruces transversales. En particular, un cruce singular es un cruce en el que dos arcos están unidos. Consideraremos nudos/links singulares orientados.

Una solución conjuntista de la ecuación de Yang-Baxter, es decir un par (X, S) donde S : X × X → X × X es una biyección que satisface:

( Id × S )( S × Id )( Id × S ) = ( S × Id )( Id × S )( S × Id )

se llama biquandle si:

1. (invertibilidad a izq.) ∀x, z ∈ X existe único y tal que S ¹ ( x, y ) = z,

2. (invertibilidad a der.) ∀y, t ∈ X existe único x tal que S ² ( x, y ) = t,

3. existe una aplicación biyectiva s : X → X tal que { (x, y) : S(x, y) = (x, y) } = { (x, s(x) ) : x ∈ X }.

Dado un biquandle ( X, S ) y una función τ, con cierta compatibilidad surgida de los movimientos de Reidemeister, definiremos pares de 2-cociclos no conmutativos que nos permitirán construir invariantes de nudos singulares. Mostraremos ejemplos.

Uno de los problemas fundamentales dentro de la Teoría de Nudos, es clasificar las clases de isotopía de estos, luego es común la construcción de invariantes de nudos para responder en parte esta pregunta. Las invariantes de nudos más conocidas y usadas, son los polinomiales, dentro de las cuales se encuentran por ejemplo el polinomio de Kauffman, polinomio de Jones y el polinomio HOMFLYPT. Así, en la primera parte de esta charla revisaremos los conceptos básicos de nudos y trenzas, para luego presentar algunos métodos para construir invariantes polinomiales de nudos, centrándonos en el método o receta de Jones, el cual involucra como ingredientes principales el grupo de trenzas y el álgebra de Hecke. A continuación mostraremos algunos ejemplos de invariantes de nudos construidos aplicando dicho método con álgebras de tipo B.

Let n ≥ 2. Let V B_n (resp. VP_n ) be the virtual braid group (resp. the pure virtual braid group), and let VT_n (resp. PVT_n ) be the virtual twin group (resp. the pure virtual twin group). Let Π be one of the following quotients: V B_n / Γ₂ ( VP_n ) or V T_n / Γ₂ ( PVT_n ), where Γ₂(H) is the commutator subgroup of H. In this talk, we show that Π is a crystallographic group and then we explore some of its properties, such as: characterization of nite order elements and its conjugacy classes, and also the realization of some Bieberbach groups and in nite virtually cyclic groups. Finally, we also consider other braid-like groups (welded, unrestricted, at virtual, at welded and Gauss virtual braid group) module the respective commutator subgroup in each case. This is a joint work with Paulo Santos Junior (UFBA).