El mapping class group de una superficie cerrada orientable con un punto marcado puede identificarse, a través de la acción de Nielsen, con un subgrupo del grupo de homeomorfismos del círculo que preservan orientación. La inclusión permite definir una clase no trivial en la segunda cohomología del mapping class group a partir de la clase de Euler universal discreta. En esta charla presentaré un panorama de lo que se sabe sobre el comportamiento de las potencias de esta clase. En particular, resulta que si g es el género de la superficie, la g-ésima potencia esta clase es no trivial y de orden finito; reportaré resultados, en colaboración con Solomon Jekel, sobre estas clases de torsión en la cohomología del mapping class group.

Una forma de estudiar grupos es a través de sus representaciones. Para el caso del grupo de trenzas existe una representación lineal clásica definida por Burau durante los 1930 's, ésta puede construirse de varias formas, tanto algebraicamente, como topológicamente. Más aún, sirve para la construcción del polinomio de Alexander en nudos. En esta charla veremos análogos para grupos tipo trenza y su correspondiente invariante tipo de Alexander.

Los subgrupos parabólicos son piezas esenciales en el estudio de grupos de Artin. Motivados por lo que ocurre en grupos de Coxeter y grupos de trenzas podemos plantear la siguiente pregunta: ¿es la intersección de subgrupos parabólicos un subgrupo parabólico? En esta charla daremos una respuesta afirmativa para el caso de los grupos de Artin (2,2)-libres de dimensión 2.

Durante la charla, se definirán algunos invariantes que miden qué tan lejos se encuentra un nudo de conjuntos de nudos que tienen la particularidad de tener un diagrama alternante ya sea como trenza o no. Además, se discutirá sobre la relación entre estos invariantes y se mostrarán familias de nudos para las cuales estos invariantes han sido calculados. De igual forma, se plantearán algunas problemáticas por resolver.

Básicamente, pretendo dar una mirada rápida a la definición, elementos y resultados fundamentales, para luego mostrar algunos cálculos que he estado realizando en este último tiempo, más algunas ideas para próximos trabajos.

Introduciremos el álgebra de Iwahori-Hecke y luego explicaremos una de sus categorificaciones: los bimódulos de Soergel (no asumimos conocimiento previo sobre lo que es una categorificación). Luego veremos cómo se obtiene una categorificación del polinomio de HOMFLYPT usando construcciones de Raphaël Rouquier y Mikhail Khovanov, que involucran bimódulos de Soergel.