Los grupos de Artin (o de Artin-Tits) se definen a partir de un conjunto finito de generadores y relaciones de la forma $abab\cdots=baba\cdots$, donde las dos palabras de la anterior igualdad tienen la misma longitud. Aunque esta definición es bastante simple, hay pocos resultados conocidos para grupos de Artin en general. Problemas clásicos como el problema de la palabra o el problema de conjugación aún están abiertos. En esta charla, estudiaremos un problema relativo a una familia de subgrupos de los grupos de Artin: los subgrupos parabólicos. Estos grupos han resultado ser útiles para estudiar los grupos de Artin -- por ejemplo, se utilizan para construir complejos simpliciales --, pero de nuevo, no sabemos mucho sobre ellos en general. Nuestro problema será el siguiente: Dados dos elementos conjugados de un subgrupo parabólico $P$ en un grupo de Artin, ¿son conjugados por un elemento perteneciente al propio $P$? Este problema se llama problema de estabilidad por conjugación. Explicaremos cómo dar un algoritmo para resolver este problema en cualquier grupo de Artin que satisfaga tres condiciones que se conjeturan siempre verdaderas.

Joint work with J. Guaschi-Universit\'e de Caen and Vinicius

Laass-Federal University of Bahia.

Abstract: The so called Borsuk-Ulam theorem consider maps $f:S^n \to R^n$, the antipodal map $A:S^n \to S^n$ which is free involution and states that there is an orbit of the involution which is sent to one point. Many generalizations of this theorem has been explored since 1933, when the statement above was proved. Notably many recent works have been devoted to this topic.

The generalization of the original result goes in many directions. Among these directions one of the includes to replace the spaces $S^n, R^n$ by $X, Y$, respectively and the involution $A$ by an involution $\tau$ on $X$, and another direction consist in replace the free involution by a free action on $X$ by a finite group. In this talk we will consider the former direction where In this talk we will consider the direction where $X,Y$ are closed surfaces and $\tau$ is a free action on $X$.

We present the results obtained in this case which includes a full classification of which triple $(X,\tau), Y$ has the Borsuk-Ulam property (i.e. $f$ is said to have the Borsuk-Ulam property if for any map $f:X \to Y$ there is a point $x\in X$ such that $f(x)=f(\tau(x))$).

More recently we are exploring a new route which consist in study a refinement of the Borsuk-Ulam property, which consists of classifying the homotopy classes of maps $[X, Y]$ which consists of classifying the homotopy classes which consists of classifying the homotopy classes of maps $[X,Y]$ which have the Borsuk-Ulam property. Few cases has been studied and some are work in progress.To exemplify the type of results obtained we have shown:

Theorem 1 Let $\tau: T^2\to T^2$ be a free involution that preserves orientation. If $\beta \in [T^2,T^2]$ is a homotopy class then $\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property with respect to $\tau$.

We now consider free involutions of the torus that reverse orientation.

Theorem 2 Let $\beta \in [T^2,T^2]$ be a homotopy class and let

\begin{matrix} \beta{1,1} & \beta_{1,2}\\
\beta_{2,1} & \beta_{2,2} \end{matrix}

be the integral matrix of the homomorphism induced by $\beta$ on the fundamental group. Then $\beta$ has the Borsuk-Ulam property with respect to $\tau_2$ if and only if $(\beta_1,\beta_2,1)\notequal (0,0)$, and $\beta_{1, 2}$ and $\beta_{2,2}$ are both even.

El complejo de subgrupos parabólicos asociado a un grupo de Artin-Tits fue introducido por Cumplido, Gebhardt, González-Meneses y Wiest en 2019. Se conjetura que juega un rol importante para el estudio de la geometría del grupo de Artin-Tits, análogo al rol que tiene el complejo de curvas de una superficie respecto a su Mapping Class group. En esta charla revisaremos la definición, algunas propiedades y problemas abiertos.

Un álgebra de Temperley-Lieb generalizada es un cociente del álgebra de Hecke de un grupo de Coxeter. Las álgebras de Temperley-Lieb usuales se obtienen considerando grupos de tipo A (los grupos simétricos). El notorio idempotente de Jones-Wenzl se puede definir en todas esas álgebras generalizadas como imagen de un idempotente del álgebra de Hecke, aquel correspondiente a la representación trivial.

Mostraremos recursiones satisfechas por esos idempotentes de J-W, que extienden (también en mismo tipo A) una famosa recursión. Además, es notorio que un álgebra de Temperley-Lieb generalizada tiene una base indexada por los elementos fully-commutative del grupo de Coxeter correspondiente. Daremos formulas no recursivas para ciertos coeficientes del idempotente de J-W en la base fully-commutative, aquellos relativos a los máximos de cocientes minúsculos.

Un nudo quasi-fibrado es un nudo cuyo complemento tiene una posición circular delgada en la cual hay una y solo una superficie de Seifert débilmente incompresible y una superfice de Seifert incompresible.

Entonces un nudo no es quasi-fibrado si su posición circular delgada tiene más de dos superficies. Se conocen infinitos ejemplos de nudos que son quasi-fibrados. Los ejemplos conocidos de nudos no quasi-fibrados son sumas conexas de nudos quasi-fibrados. En esta plática mostramos la existencia de una infinidad de nudos hiperbólicos de género uno que no son quasi-fibrados. Este es un trabajo en colaboración con Enrique Ramírez Losada y Araceli Guzmán Tristán.

Resumen: El grupo fundamental de un nudo o link es un invariante muy poderoso, de origen claramente topológico, pero que admite una descripción por generadores y relaciones a partir del diagrama del nudo (presentación de Wirtinger).

En esta charla comenzaremos repasando cómo se define, fijado un grupo arbitrario G, un coloreo del diagrama de un nudo (o link) por elementos de G y su relación con el grupo fundamental, y cómo se generaliza esta construcción, primero utilizando quandles (en vez de grupos) y luego, soluciones conjuntistas más generales de la ecuación de trenzas, concluyendo el primer invariante combinatorio: cantidad de coloreos. Fijada una solución conjuntista finita de la ecuación de trenzas, para cada nudo / link, este invariante puede ser definido (y calculado en milisegundos por un ordenador) sin necesidad de comprender el grupo fundamental del nudo / link.

Dada una solución conjuntista finita de la ecuación de trenzas, la cantidad de coloreos ya es un invariante muy interesante, pero puede ser refinado utilizando una noción adecuada de 2-cociclo a valores en un grupo U (versión conmutativa y versión no conmutativa) construyendo así un segundo invariante, en dos versiones según el caso:

2-cociclos conmutativos: un elemento (tipo ``state-sum'') en el álgebra de grupo de U, o

2-cociclos no conmutativos: una clases de conjugación en U, para nudos, o una lista de clases de conjugación (una por cada componente conexa) para links.

En principio, este refinamiento depende de encontrar un dado 2-cociclo, que en la literatura se conseguían, en caso de coloreos por un grupo G, con representaciones del doble de Yetter-Drinfel'd del álgebra de grupo k[G]. Nosotros mostramos, con una construcción universal, que el problema de encontrar cociclos se resuelve de manera general (y eficazmente) sin tener que pasar por representaciones de dobles de álgebras de Hopf, sino directamente a partir de la combinatoria de la solución conjuntista, utilizando un grupo funtorialmente asociado a la misma. Obtenemos así ``el mejor'' 2-cociclo, y de manera funtorial en la solución conjuntista dada.

Estas técnicas admiten versiones adaptadas tanto a nudos/links virtuales como singulares.

En esta plática se abordarán algunas preguntas sobre el significado de la homologia de Khovanov, y se verán algunos ejemplos buscando respuestas.

Resumen: En esta charla, presentamos condiciones necesarias sobre la presentación de un grupo con dos generadores y una relación para que sea el grupo de un diagrama de un nudo virtual. Aunque estas condiciones no son suficientes en general, las podemos usar para determinar completamente, si un grupo de Baumslag–Solitar es el grupo de un nudo virtual de dos puentes. Además presentamos una prueba combinatoria para ver que estos grupos no son grupos de nudos clásicos de dos puentes.

En esta charla introducimos el álgebra nilblob. Comenzaremos indicando una presentación por generadores y relaciones. Luego entregaremos tres distintas realizaciones en términos de diagramas. La primera de estas realizaciones es motivada por una generalización del álgebra de Temperley-Lieb. La segunda realización es descrita en términos de KLR-diagramas. Finalmente, nuestra última realización está inspirada en el cálculo de Soergel en dos colores. Este es un trabajo en conjunto con Diego Lobos y Steen Ryom-Hansen.

Las trenzas virtuales fueron introducidas por Kauffman en 1999 junto con los nudos y enlaces virtuales. Se definen generalmente en términos de diagramas, pero también tienen una interpretación topológica en términos de trenzas en superficies espesas. Las trenzas virtuales de n hebras forman un grupo, denotado por VBn, del que conocemos una presentación, pero que se comprende poco a pesar de sus numerosos estudios. Paolo Bellingeri, Bruno Cisneros de la Cruz, Eddy Godelle y yo desarrollamos herramientas específicas al grupo VBn que finalmente permitieron a Paolo Bellingeri y a mí determinar el grupo de automorfismos de VBn, y mucho más: todos los homomorfismos de VBn al grupo simétrico Sn, todos los homomorfismos de Sn a VBn, y todos los homomorfismos de VBn a VBn. Esto será el tema de esta charla.