Theorema Pythagoras

Sembarang bilangan negatif dipangkatkan, jika pangkatnya merupakan bilangan ganjil maka hasilnya adalah negatif, Jika pangkatnya merupakan bilangan genap maka hasilnya adalah positif.

𝒂𝒏, jika n bilangan bulat positif genap (-𝒂)𝒏 {

-(𝒂)𝒏, jika n bilangan bulat positif ganjil

Sifat-sifat Bilangan Bulat Berpangkat Positif

✮ Sifat 1: 𝒂m × 𝒂𝒏 = 𝒂m+𝒏

untuk setiap 𝒂 bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh:

24 × 23 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)

┕━━━┙ ┕━━┙

4 faktor 3 faktor

= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)

┕━━━━━━━━┙

7 faktor

= 24+3

= 27

56 × 57 = 56+7 = 513
122 × 128 = 122+8 = 1210

✮ Sifat 2: 𝒂m : 𝒂𝒏 = 𝒂m-𝒏 , m > n

untuk setiap 𝒂 bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh:

75 : 73 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) : (7 × 7 × 7)

┕━━━━┙ ┕━━┙

5 faktor 3 faktor

= (7 × 7)

┕━┙

2 faktor

= 75-3

= 72

58 : 54 = 58-4 = 54
127 : 122 = 127-2 = 125

✮ Sifat 3: (𝒂m)𝒏 = 𝒂m x 𝒏

untuk setiap 𝒂 bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh:

(22)3 = 22 × 22 × 22

┕━━━┙

3 faktor berbentuk 22

= (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)

= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)

┕━━━━━━━┙

6 faktor

= 22 x 3

= 26

(73)5 = 73 𝑥 5 = 715
(106)4 = 106 𝑥 4 = 1024

✮ Sifat 4: (𝒂 × b)m = 𝒂m × bm

untuk setiap 𝒂, b bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh:

(3 × 4)2 = (3 × 4) 𝑥 ( 3 × 4)

┕━━━━┙

2 faktor berbentuk 3 × 4

= (3 × 3) × (4 × 4)

= 32 × 42

(5 × 7)4 = 54 × 74
(10 × 2)3 = 103 × 23

✮ Sifat 5: 𝒂m × 𝒂𝒏 = 𝒂m+𝒏

untuk setiap 𝒂 bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh:

(3 ∶ 4)3 = (3 ∶ 4) × (3 ∶ 4) × (3 ∶ 4)

┕━━━━━━━━┙

3 faktor berbentuk 3 : 4

= (3 : 3 : 3) : (4 : 4 : 4)

= 33 : 43

= 33/43

(5 ∶ 7)4 = 54 ∶ 74 = 54/74
(10 ∶ 2)3 = 103 ∶ 23 = 103/23

✧ Bilangan Berpangkat Nol

Khusus untuk operasi bilangan bulat tidak nol berpangkat nol ditentukan oleh rumus berikut ini:

𝒂0 = 1 dengan 𝒂 ≠ 0

catatan: Setiap bilangan bulat jika dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya = 1

contoh:

30 = 1
(5)2 – 2 = 50 = 1

✧ Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Jika 𝑎 dan 𝑛 ∈ bilangan bulat dan 𝑎 ≠ 0 maka berlaku :

𝒂-n = 1/𝒂n dan 𝒂n = 1/𝒂-n dengan 𝒂 ≠ 0

Bentuk 𝒂-n = 1/𝒂n disebut suatu bentuk bilangan pangkat tak sebenarnya.

Catatan: Bilangan berpangkat negatif bisa diubah ke dalam bilangan berpangkat positif dan sebaliknya.

contoh:

Ubahlah bentuk-bentuk pangkat negatif berikut ke dalam bentuk pangkat positif.

2-5 = 1/25
1/2-4 = 24
(2/3)-4 = 2-4/3-4 = ( 1/24 )/( 1/34 )

= 34/24 = (3/2)4

✧ Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat

Pecahan adalah bilangan dalam bentuk 𝒂/b dengan 𝒂 dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil dengan bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

contoh:

(1/2)5 = 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2

= 1/25

= 1/32

(1/2)-2 = 1 = 1

1/22 1/4

= 1 × 4/1

= 4

⚯ Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

✧ Bilangan Rasional dan Irrasional

Bilangan Irrasonal adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒂/b dengan 𝒂, b bilangan bulat dan (b ≠ 0). Bentuk akar adalah contoh bilangan irrasional.

Contoh: √2, √3, √5

✮ Suatu bentuk akar selalu merupakan bilangan irrasional, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

✮ Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional disebut dengan bilangan real.

✧ Bentuk Akar

Bentuk akar adalah suatu bilangan yang hasilnya bilangan irrasional. Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan.

Contoh:

Sederhanakan bentuk akar berikut.

√8 = √4 × 2 = 2√2
√75 = √25 × 3 = 5√3
5√45 = 5√9 × 5 = 5 × 3 √5 = 15√5

Jika a dab b bilangan bulat dan 𝒂𝒏 = 𝒃 maka a adalah akar pangkat n dari b, ditulis 𝒂 = 𝒏√𝒃 dan dibaca a adalah akar pangkat n dari b.

Jika 𝒙𝟐 = 𝒂 𝒅𝒂𝒏 𝒙 > 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 √𝒂 = 𝒙

✮ Sifat-sifat Akar

𝑛√𝑥 × 𝑛√𝑦 = 𝑛√𝑥𝑦
𝑛√𝑥 / 𝑛√𝑦 = 𝑛√𝑥/y

✧ Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk akar 𝑛√am dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, yaitu am/n dengan 𝒂 ≥ 𝟎, 𝒎 𝒅𝒂𝒏 𝒏 merupakan bilangan bulat positif.

𝑛√am = am/n

Contoh:

√3 = 31/2
5√16 = 5√24 = 24/5
3√25 = 3√55 = 55/3
51/3 = 3√5

✧ Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Misalkan 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 merupakan bilangan rasional tak negatif, maka operasi aljabar pada bentuk akar dapat di defenisikan sebagai berikut.

✮ Penjumlahan dan Pengurangan

𝑎√𝑏 + 𝑐√𝑏 = (𝑎 + 𝑐)√𝑏

𝑎√𝑏 - 𝑐√𝑏 = (𝑎 - 𝑐)√𝑏

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≥ 0

Contoh:

4√5 + 3√5 = (4 + 3)√5 = 7√5
7√3 − 4√3 = (7 − 4)√3 = 3√3

✮ Perkalian dan Pembagian

𝑎√𝑏 × 𝑐√𝑑 = 𝑎𝑐√𝑏𝑑

dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≥ 0, 𝑑 ≥ 0

√𝑎/√𝑏 = √𝑎/b

dengan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0

Contoh:

2√3 × 5√2 = (2 × 5) × √3 × √2 = 10√3 × 2 = 10√6
5√3 = 5/3√3/3 = 5/3 = 1 2/3

3√3

2√18 = 2√18/3 = 2√6

√3

✮ Perpangkatan

Sifat perpangkatan bilangan bulat (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎𝒏 , juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.

Contoh:

(√5)3 = (51/2)3 = 53/2
(√5)3 = √5 × √5 × √5 = √25 × √5 = 5√5
(2√3)5 = (2 × 31/2)5 = 25 × 35/2

= 25 × 32 × 31/2 = 32 × 9 × √3

= 288√3

✮ Operasi Campuran

Misalkan a, b, c bilangan real dengan a, b, c ≥ 0 maka berlaku sifat-sifat :

√𝑎(√𝑏 + √𝑐) = √𝑎𝑏 + √𝑎𝑐

(√𝑎 + √𝑏)2 = (𝑎 + b) + 2√𝑎𝑏

(√𝑎 - √𝑏)2 = (𝑎 + b) - 2√𝑎𝑏

Catatan:

Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan yang di dalam kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya:

. Pangkat dan akar sama kuat

. Kali dan bagi sama kuat

.Tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal, dikerjakan lebih dahulu

. Kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan lebih dahulu.

Contoh:

√3 × 3√2 + 5√6 = 3 × √3 × 2 + 5√6 = 3√6 + 5√6 = 8√6
√2(3√5 − 4√9) = (√2 × 3√5) − (√2 × 4√9)

= 3 × √2 × 5 − 4√2 × 9

= 3√10 − 4√18

= 3√10 − 4√9 × 2

= 3√10 − 4 × 3 √2

= 3√10 − 12√2

✧ Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Merasionalkan Penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irrasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

✮ Penyebut berbentuk √𝑏

𝑎 = 𝑎 × √𝑏 = 𝑎√𝑏

√𝑏 √𝑏 √𝑏 𝑏

Contoh:

2 = 2 × √5 = 2√5 = 2/5√5

√5 √5 √5 5

✮ Penyebut berbentuk (𝒂 + √𝒃) atau (𝒂 − √𝒃)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (𝑎 + √𝑏) atau (𝑎 − √𝑏), pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (𝑎 + √𝑏) adalah (𝑎 − √𝑏) dan sebaliknya.

𝑎 = 𝑎 × 𝑎 - √𝑏 = 𝑎2 - 𝑎√𝑏

𝑎 + √𝑏 𝑎 + √𝑏 𝑎 - √𝑏 𝑎2 - 𝑏

𝑎 = 𝑎 × 𝑎 + √𝑏 = 𝑎2 + 𝑎√𝑏

𝑎 - √𝑏 𝑎 - √𝑏 𝑎 + √𝑏 𝑎2 - 𝑏

Catatan: (𝒂 + √𝒃) (𝒂 − √𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃

Contoh:

8 = 𝑎 3 - √5

3 + √5 3 + √5 3 - √5

= 8(3 - √5)

32 - 5

= 8(3 - √5)

4

= 2(3 - √5)

= 6 - 2√5

✮ Penyebut berbentuk (√𝒃 + √𝒅) atau (√𝒃 − √𝒅)

𝑎 = 𝑎 × √𝑏 - √𝑑 = 𝑎(√𝑏 - √𝑑)

√𝑏 + √𝑑 √𝑏 + √𝑑 √𝑏 - √𝑑 𝑏 - 𝑑

𝑎 = 𝑎 × √𝑏 + √𝑑 = 𝑎(√𝑏 + √𝑑)

√𝑏 - √𝑑 √𝑏 - √𝑑 √𝑏 + √𝑑 𝑏 - 𝑑

Contoh:

2 = 2 × √3 - √2 = 2(√3 - √2)

√3 + √2 √3 + √2 √3 - √2 3 - 2

= 2(√3 - √2)

√3 + √2 = √3 + √2 × √3 + √2

√3 - √2 √3 - √2 √3 + √2

= 3 + 2√6 + √2

3 - 2

= 5 + 2√6