微分方程 (Differential Equations)

微分方程課程講義

• 第零章 如何學習數學系微分方程

  1. 數學系微分方程

  2. 數學系微分方程與外系工程數學的比較

  3. 如何學習數學系微分方程

     • 將學習的目標放得更長遠

     • 微分方程與微積分、線性代數、高等微積分還有其它的理論結合

     • 微分方程的應用

  4. 結語

• 第一章 微分方程簡介

  1. 微分方程的類型

  2. 初始值問題與邊界值問題

  3. 有趣的微分方程問題

• 第二章 一階微分方程式

  1. 一階微分方程式

  2. 分離變數型微分方程式

  3. 齊次微分方程式

  4. 一階線性微分方程式

  5. 數學模型

     • 人口模型 (Population Growth)

     • 放射性元素的衰退 (Radioactive Decay)

     • 牛頓冷卻定律 (Newton’s Law of Cooling)

     • 連續複利 (Continuously Compounded Interest)

     • 邏輯斯模型 (Logistic Models)

     • 其它的數學模型

  6. 正合方程式

  7. 一階微分方程式的綜合討論

  8. 一階微分方程式初始值問題解的存在唯一性定理

     • 預備知識

     • 一階微分方程式初始值問題解的存在唯一性定理

     • 一階微分方程解不唯一的例子

• 第三章 二階線性微分方程式

  1. 二階線性微分方程式簡介

  2. 二階線性齊次微分方程式的一般理論

  3. 二階線性常係數齊次微分方程式

  4. 二階線性常係數非齊次微分方程式

     • 未定係數法

     • 參數變動法

  5. 二階線性一般係數微分方程式

     • 柯西-歐拉方程式

     • 用降階法找到另一個線性獨立的解

     • 用參數變動法找一般解

  6. 線性微分方程式的應用

     • 彈簧振動

     • 電子電路

  7. 邊界值問題解不存在或不唯一的例子

  8. 二階線性微分方程式初始值問題解的存在唯一性定理

• 第四章 拉普拉斯變換

  1. 拉普拉斯變換的建構

  2. 拉普拉斯逆變換與導函數的拉普拉斯變換

  3. 平移定理與卷積算子

  4. 狄拉克函數

  5. 拉普拉斯變換表

  6. 伽瑪函數

  7. 利用拉普拉斯變換解微分方程式

• 第五章  二階線性微分方程式的級數解

  1. 微分方程式在正常點附近的級數解

  2. 微分方程式在正規奇異點附近的級數解

• 第六章  一階線性微分方程組

  1. 一階線性常係數齊次微分方程組

     • 特徵方程式的根是兩相異實根

     • 特徵方程式的根是兩相等實根

     • 特徵方程式的根是兩共軛複根

     • 特徵方程式的根具有零根

  2. 基本矩陣與矩陣指數

  3. 一階線性非齊次微分方程組

     • 以矩陣對角化的方式尋求特解 (Diagonalization)

     • 未定係數法 (Undetermined Coefficients)

     • 參數變動法 (Variation of Parameters)

     • 拉普拉斯變換 (Laplace Transform)

  4. 一階線性微分方程組的基本理論

• 第七章  微分方程的幾個特別主題

1. 掠食者與獵物系統

2. 懸鏈線

3. 最速降線