モジュライ空間と可積分系の幾何学
ー非可換ホッジ理論と代数解析 

λ-接続は twistor 構造を背景に Simpson 氏によって導入された概念であるが、接続のモジュライ空間の代数幾何的コンパクト化への応用も持ち、接続や Higgs 束のモジュライ空間の代数幾何的構造を理解する上でも有用である。

本講演では、代数曲線上で分岐不確定特異点を持つ λ-接続のモジュライ空間の定式化について説明する。

さらに、このモジュライ空間上には relative symplectic 形式が定まり、特に Poisson 構造が誘導されることについても触れる。なお、本講演の内容は光明新氏（兵庫県立大学）との共同研究に基づく。

The relationship between vortex equations and anti-self-dual (ASD) Yang–Mills equations through dimensional reduction has been studied for many years. However, except in some special cases, the global geometric data underlying this relationship have not been made explicit.

In this talk, I will explain how to construct ASD connections from solutions of four of Manton’s five vortex equations on a general Riemann surface. More precisely, we explicitly construct the underlying equivariant holomorphic bundles and invariant (pseudo-)Hermitian metrics whose associated connections satisfy the ASD equations. We also discuss the converse construction, which recovers solutions of vortex equations from suitable equivariant ASD connections.

Let $X$ be a compact Riemann surface. For a positive line bundle

$L\to X$, a continuous Hermitian metric $e^{-\phi}h_\ast$ on $L$,

and a nonpolar compact subset $K\subseteq X$, one can construct an

equilibrium metric from the envelope of subharmonic weight functions

bounded above by $\phi$ on $K$. The approximation of equilibrium

metrics by sequences of semipositive singular Hermitian metrics has been studied in a variety of contexts, including complex geometry, potential theory, dynamical systems, and probability theory.

In this talk, I will introduce two functions, entropy and free energy, associated associated with a semipositive singular Hermitian metric on the canonical bundle, an integer $r\geq 2$, and a nonzero real number $\beta$. These quantities are defined by extending the construction, due to Li--Mochizuki, of complete harmonic metrics on cyclic Higgs bundles to the setting of complete Hermitian metrics associated with semipositive singular Hermitian metrics on the canonical bundle that are not necessarily induced by holomorphic $r$-differentials. Given an equilibrium metric and a sequence of semipositive singular Hermitian metrics approximating it, I will formulate the problem of determining whether the associated entropy increases and the associated free energy decreases when these metrics are suitably pulled back to the canonical bundle of a Riemann surface. I will initiate the study of this problem and establish several quantitative results. I will also present several examples of approximations of equilibrium metrics to which my results apply. Furthermore, I will discuss the asymptotic expansion of a lower bound for the entropy.

(加法的)差分Painlevé方程式とは、極限操作によってPainlevé方程式に帰着する11種類の非線形差分方程式の総称です。差分Painlevé方程式は線形微分方程式の変換から得られることが知られており、そのため差分Painlevé方程式の初期値空間と線形微分方程式のモジュライ空間が一致することが予想されます。本講演では$E^{(1)}_7$型、$E^{(1)}_8$型affine Weyl群対称性をもつ差分Painlevé方程式の初期値空間と、スペクトル型が$(2^2, 1^4, 1^4)$, $(3^2, 2^3, 1^6)$である対数的放物接続のモジュライ空間との具体的な対応について紹介します。また、時間が許せば接続の変換によるaffine Weyl群の実現についても紹介します。

Euler変換やLaplace変換といった積分変換に付随した微分方程式の変換 (middle convolutionやmiddle Laplace transform) は, 方程式の解の構成, 対称性や大域的性質の解析などに有用である.

本講演ではq差分方程式の積分変換 (q-middle convolution, q-middle Laplace transform) について紹介し, q-Painlevé方程式への応用について述べる.

本講演の内容は部分的に安達駿弥氏 (宇都宮大学) との共同研究に基づく.

M. KontsevichとY. Soibelmanは, 正則Floer理論の指数積分を通じた研究(2024)において, 代数多様体上の1次正則閉形式に対して, 4つのコホモロジー理論を展開し, これらコホモロジー理論達の間のある種の対応関係を予想した。そして、この予想はなんらかのRiemann-Hilbert対応(以下RH対応)を通じて理解されるべきという注意を残した。これは、閉形式が完全である場合の指数積分とDeligne-MalgrangeによるRH対応の間の関係を拡張したものであると考えることができる。

講演者は、彼らのコホモロジー理論に対する幾つかの観察に基づいて、ある種のRH対応を定式化し、証明した。このRH対応は, Deligne-Malgrangeの指数型有理型接続芽に対するRH対応の一般化とみなせる。そして、このRH対応を用いて、代数多様体が一次元の場合に、幾つかの条件を満たす正則1形式に付随する4つのコホモロジー理論の間の対応関係を示した(2026)。この対応関係は、Kontsevich-Soibelmanの予想とは異なるが、一つの変種とみなすことができる。

講演では、閉形式が完全である場合の古典的な指数積分とRH対応の関係を概観した上で、それらがどのようなアイデアで拡張されるかを説明する。また、高次元の場合にどのように理論を発展させたいと考えているかについても、時間があれば議論したい。

ホッジ構造及びその変動の構成可能層バージョンが、混合ホッジ加群と呼ばれる対象である。混合ホッジ加群は複雑な対象であり、それがどのような姿をしているのか決定する事は一般には難しい。講演者の以前の研究で、複素平面上のモノドロミックな混合ホッジ加群と呼ばれるクラスは、その近接・消滅サイクルを用いたcan-Var図式を通じて記述できる事が示されている。

ホッジ構造を忘れた偏屈層としては、その冪単部分は4タイプへの分類が可能である事が知られているが、本公演ではそれをベースにした混合ホッジ構造のcan-Var図式の分類について述べる。

また、それの超曲面の非孤立特異点のミルナーモノドロミーの計算への応用についても説明する。

Katz の中間畳み込みは，射影直線上の局所系の変換として導入され，rigid local system の理論において基本的な役割を果たす．本講演では，この構成をアフィン超平面配置の補空間へ拡張する方法について述べる．

超平面配置と一つの方向を固定すると，適切な最小拡大を施すことにより，配置の補空間を有限個の点を除いたアフィン直線の族として記述できる．この幾何から定まる自然な相対的 stratification に関して構成可能な偏屈層の圏に中間畳み込みを拡張し，適切な部分圏上では合成則および逆変換が成立することを紹介する．

一方，原岡は超平面配置上の対数 Pfaff 系に対する代数的中間畳み込みを定義した．適切なスペクトル条件のもとで，この代数的構成と上記の位相的中間畳み込みが周期積分を通じて対応することを説明する．

さらにこの応用として，局所系を定数係数の対数 Pfaff 系の水平切断として実現する問題を考える．これは Aomoto (1978) の「制限 Riemann--Hilbert 問題」に由来するもので，本講演ではこの種の実現を「青本実現」と呼ぶ．中間畳み込みがこの実現可能性を保存すること，さらに逆中間畳み込みによって元の超平面配置上の実現を回復するための十分条件について述べる．

本講演は宇都宮大学の安達駿弥氏との共同研究に基づく．