研究集会
「超幾何関数の数論とその周辺」

朝倉政典「Periods of algebraic varieties with GKZ equations and L-values」

代数多様体の族が与えられたとき、ピカール・フックス方程式が定まり周期積分はその解の線形和になる。この講演では、ピカール・フックス方程式がGKZ方程式である場合を扱う。このとき、周期積分はA超幾何関数の線形和になるが、この線形和の係数についてある一般的な予想を考えたので紹介したい。この予想は、1変数の場合には接続公式を使って証明できること、また、予想が正しければ、ホッジ構造の極限の周期がガンマ値とディリクレのL関数値になることを解説する。

伊東良純「Hypergeometric expressions of L-values for Borweins theta products of weight 3」

In 2012, Rogers-Zudilin expressed the L-value at s=2 for an elliptic curve of conductor 27 in terms of special values of generalized hypergeometric functions by an analytic method. We remark that the corresponding cusp form of weight 2 can be written as a product of Borweins theta series. In this talk, by the Rogers-Zudilin method, we express the L-values at s=3 for Borweins theta products of weight 3 in terms of special values of Kampé de Fériet hypergeometric functions, which are a two-variable generalization of generalized hypergeometric functions. 

大坪紀之「Gaussian hypergeometric motives」

Gauss超幾何関数 F(a,b;c;x) (パラメータ a, b, c は有理数) を複素周期にもつモチーフを定義し，その諸性質について述べる．例えば，Euler-Pfaffの変換公式はモチーフの同形に持ち上がる．このモチーフの階数は2であり，Frobeniusトレースは有限体上の超幾何関数になる．このモチーフのFrobenius自己準同形とその転置の和は「超幾何代数対応」と一致し，モジュラー曲線に対するEichler-Shimura合同関係式との類似を見ることできる．

川島誠「p進ポリガンマ関数とその値の性質について」

J. Diamondはp進対数ガンマ関数とその高階微分であるp進ポリガンマ関数を定義し, Kubota-Leopoldtのp進L関数の正の整数点における値がp進ポリガンマ関数の特殊値として記述できることを示した. 講演者は, これらの値の非零性や無理数性の解明を目的として, p進ポリガンマ関数とその特殊値の性質を研究している.本講演では, 「形式的逆メリン変換」を導入し, この変換により得られる関数等式と, それを用いたp進ポリガンマ関数の有理近似の具体的な構成法を紹介する. さらに, この有理近似を活用して, 異なる有理点におけるp進ポリガンマ関数の値の線形独立性の十分条件が導かれることも説明する. これらはF. BeukersやP. Belにより得られていたp進ポリガンマ関数の値の無理数性や線形独立性の結果を拡張・改良するものである. 本研究は Lyon 大学の Anthony Poëls 氏との共同研究の一部である.

隈部哲「有限体上のある2パラメータK3曲面族のゼータ関数とAppell関数」

本講演では有限体上で具体的に与えられた二つの2パラメータK3曲面族に対し, 有理点の個数から定まる合同ゼータ関数を超幾何的な手法で考察する. ここで各K3曲面は6次曲線で分岐する平面の二重被覆 (の最小特異点解消) として与えられるものを扱う. 特にこれらのK3曲面族の合同ゼータ関数は二つのLegendre楕円曲線族の合同ゼータ関数の根を用いて記述されることを紹介する. 証明は主に超幾何関数の有限体における類似を用いた有理点の個数の直接的な計算に依るものであり, 本講演ではAppellの二変数超幾何関数F_2(x,y), F_4(x,y)の類似が現れる. 特にLegendre楕円曲線族との関係はAppell関数F_4を二つの (一変数) Gauss超幾何関数{}_2F_1の積で表すBaileyの積公式, およびF_2とF_4の間の変換公式 (の有限体における類似) から導かれることを見る. また, これらのK3曲面族と二つのLegendre楕円曲線族から得られるKummer曲面族との関係についても紹介する.

都築暢夫「Congruences of traces of Galois representations between mirror symmetries of Dwork's families and hyperelliptic curves」

Let \ell be an odd prime number, and \rho_1, \rho_2 be n-dimensional mod \ell Galois representations over a number field K,  which are unramified outside a finite set S of places, satisfying congruences tr(\rho_1(Fr_v)) \equiv  tr(\rho_2(Fr_v))  (mod \ell) for any place v of K outside S. If \rho_2 has a large image such as Sp_n(\mathbb F_\ell) \subset Im(\rho_2), then \rho_1 has also a similarly large image. In this talk we study family-wise congruences of traces of representations between mirror symmetries of Dwork's families of certain dimensions and certain families of hyperelliptic curves. We will study largeness of images of representations arising from hyperelliptic curves and show largeness of images of mod $\ell$ representations of certain mirror symmetries of Dwork's families. This is an ongoing work with Takuya Yamauchi. 

中川彬雄「超幾何関数の対称性とその幾何的解釈」

ガウス超幾何関数やクンマーの合流型超幾何関数の一般化として，一般超幾何関数（Grassmann多様体に付随する超幾何関数）があり，それがもつ対称性からガウス超幾何関数などについての変換公式が復元されることが知られている．一方，これら超幾何関数の有限体での類似物となる指標和（有限体上の超幾何関数）があり，先に述べた対称性の類似的性質が成り立つことが最近の研究でわかった．有限体上では，超幾何関数の定義が最近改良されたことで合流型も自由に扱えるようになってきたが，ガウス超幾何に対し知られているような代数多様体の有理点の個数との関係は知られていなかった．本講演では，まずはじめにガウス超幾何関数とクンマーの合流型超幾何関数の場合を例にして，合流型も含めた有限体上の超幾何関数が代数多様体の有理点の個数として表現できることを紹介する．次に，先述の対称性を代数多様体の間の同型へと一般化し，その対称性に幾何的な解釈が与えられることを紹介する．

長峰実央「A-hypergeometric series with parameters in the core」

Okuyama-SaitoによるA-超幾何系へのフロベニウスの方法の適用は，パラメータが特殊な場合に有効である．しかし，この方法を用いる際はとてつもない計算を要し，簡単な場合を除いて計算が困難である．本講演では，fake exponentと凸多面体の三角形分割が対応していることに注目し，三角形分割が特定の条件を満たしているときに，計算がグレブナー基底の計算のみで十分であることを紹介する．また，いくつかの例を通じて，計算量の違いも紹介したい．

藤田晃平「An analogue of Ogus's theorem for certain hypergeometric curves」

p進体上定義された代数多様体の代数的de Rhamコホモロジーには，クリスタリンコホモロジーとの比較同型を通してFrobenius写像が作用する．Fermat曲線やCM楕円曲線に関しては，Frobenius作用の表現行列の各成分がMoritaのp進ガンマ関数の積として表現できることが知られている (CM楕円曲線の場合がOgusの定理)．より一般に，虚数乗法をもつ代数多様体に関しても同様の関係が得られるだろうと予想されており，これは現在未解決である．本講演では，(1-x^4)(1-y^4)=a など，あるタイプの超幾何微分方程式をもつ種数2以上の代数曲線に対してOgusの定理の類似が成り立つことを証明する．

宮谷和尭「Counting rational points on certain curves via arithmetic GKZ hypergeometric functions」

In this talk, we discuss examples of counting rational points on curves over finite fields via arithmetic versions of GKZ hypergeometric functions. Two types of such functions are involved: one is the GKZ hypergeometric sum over finite fields via Gelf’and—Graev—Retakh, and the other is a GKZ-type variant of the p-adic hypergeometric function of McCarthy type. We also discuss the relationship between the variation of unit roots and GKZ hypergeometric series.