Fichas de Exercícios

1 – Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano de topo q provoca numa pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro. Da pirâmide, sabemos que A(2;1;0) e B(2;7;0) são os dois vértices mais à esquerda da base horizontal e que a sua altura é de 7cm. O plano q contém o ponto K(-6;0;0) e faz com o P.H.P. um diedro de 30º (a.e.).

2 – Desenha as projeções da figura resultante da secção que o plano d provoca numa pirâmide hexagonal, situada no 1º diedro. A base é frontal e está definida pelos pontos A(2;0;2) e B(-2;0;2) e o sólido tem 6cm de altura. O plano secante é projetante frontal, contém o ponto K(-6;0;0) e faz com o P.H.P. um diedro de 35º (a.e.).

3 – Os pontos A(0;2;2), O(0;7;2) e V(0;7;8) definem uma pirâmide pentagonal regular e são, respetivamente, vértice da base, centro da base e vértice da pirâmide. Determina as projeções do sólido truncado, resultante da secção provocada pelo plano w, de topo, que contém K(4;0;0) e faz, com o P.H.P. um diedro de 45º(a.d.).

4 – Desenha as projeções de um prisma quadrangular regular, com 6cm de altura, situado no 1º diedro e com bases horizontais, sabendo que uma das bases está definida pela sua diagonal A(0;2;2) C(0;8;2). Determina as projecções da figura de secção que o plano vertical s faz no sólido.

O traço horizontal de s abre à direita num ângulo de 55º e contém o ponto K(4;0;0).

5 – Desenha as projeções de um prisma hexagonal regular, com 6cm de altura e situado no 1º diedro. Os pontos A(0;1;2) e D(0:1;8) definem uma diagonal de uma das bases que é paralela a um dos planos de projeção.

Determina as projeções do sólido resultante da secção provocada pelo plano secante w, de perfil , que interseta o eixo x num ponto com 2cm de abcissa. Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

6 – Determina as projeções da figura da secção que um plano frontal com 3cm de afastamento faz num prisma triangular oblíquo de bases regulares. O eixo do sólido está definido pelos pontos O(2;4;0) e O’(-3;4;6). A base contida no P.H.P. está inscrita numa circunferência com 6cm de diâmetro e a sua aresta mais à esquerda é projetante.

7 – Determina as projeções de um cubo situado no 1º diedro, sabendo que uma face está contida num plano de perfil π. A(0;0;2) e O(3;4) são, respetivamente, vértice e centro dessa face. A face oposta tem abcissa negativa. Desenha as projeções da figura da secção provocada pelo plano vertical π, que faz um diedro de 45º(a.e.) com o P.F.P.

8 - Constrói as projeções da figura de secção provocada numa pirâmide hexagonal regular por um plano oblíquo α e determine a sua verdadeira grandeza, sabendo que:

- A pirâmide situa-se no 1 diedro, a base é um hexágono de 3,5 de lado contida em φ₀ com dois dos seus lados verticais e um dos vértices é o ponto F (0; 0; 1,5);

- A pirâmide mede 6 de altura;

- Os traços, horizontal e frontal, do plano secante a fazem com X ângulos de 30º e 60º de abertura para a direita e intersetam-se no ponto N de X de 6 de abcissa.

9 - Representa pelas suas projeções uma pirâmide hexagonal regular situada no 1 diedro, de base contida num plano horizontal ν, com 1cm de cota e, pelos seus traços, um plano de rampa α, sabendo que:

- O centro da base tem 4 de afastamento, a aresta mede 3,5 e duas delas são paralelas a X;

- A altura da pirâmide mede 6 de comprimento;

- Os traços, horizontal e frontal, do plano de rampa a têm de afastamento e cota, respetivamente, 8,5 e 4.

Desenha as projeções do sólido resultante da secção provocada na superfície da pirâmide pelo plano de rampa e determina a sua verdadeira grandeza.

10 - Representa pelas suas projeções um prisma quadrangular oblíquo, sabendo que os pontos A(0;0;1) e B(3;0;4) são dois vértices consecutivos da base com afastamento nulo e que as arestas laterais são horizontais, medem em V.G. 6cm e fazem, com o P.F.P, ângulos de 50º (a.d.).

Desenha as projeções da secção provocada nesse sólido por um plano de rampa θ, perpendicular ao β13, sabendo que o seu traço frontal tem 6cm de cota.

11 - Desenha as projeções de um prisma quadrangular regular, sabendo que a base [ABCD] está contida em j₀ (plano XZ), sendo B(-2;0;3). A aresta lateral [AE] está contida em n₀ (plano xy), tem 2cm de abcissa e mede 6cm. Desenha, ainda, os traços de um plano a, sabendo que o plano contém o ponto K(-7;0;0), que o seu traço frontal é paralelo à aresta [BC] do prisma e que o seu traço horizontal abre à esquerda num ângulo de 40º. Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano a provoca no prisma. Considera o sólido compreendido entre a base [ABCD] e o plano secante.

12- Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano q provoca numa pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro, sabendo que:

- A base [ABCD] está contida no P.H.P. e tem centro no ponto M(0;4;0);

- A aresta lateral [AV] é vertical, mede 6cm e está situada no P.F.P;

- A aresta lateral [CV] é de perfil;

- Os traços do plano secante são retas fronto-horizontais que têm 10cm de afastamento e 4cm de cota.

Considera que o sólido resultante é a parte da pirâmide situada entre o P.H.P. e o plano secante.

13 – Desenha as projeções da figura de secção produzida numa pirâmide pentagonal regular por um plano oblíquo α. Dados:

- A base está contida num plano frontal (de frente);

- O ponto Q(1;8;6) é o centro da circunferência circunscrita à base, que tem 4cm de raio;

- A aresta lateral [AV] é horizontal (de nível) e mede 8cm, sendo A o vértice de maior abcissa da pirâmide;

- O vértice V da pirâmide é invisível em projeção frontal;

- O plano α contém o ponto K(-11;0;0), é ortogonal ao β13 e o seu traço frontal abre à esquerda num ângulo de 45º.

14 – Determina as projeções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro por um plano α, oblíquo. Considera, para o efeito, a parte do sólido que está compreendida entre o plano secante e o plano da base. Determina, ainda, a verdadeira grandeza da figura de secção.

Tetraedro:

- O sólido situa-se no espaço do 1º diedro;

- Uma das faces é o triângulo [ABC], horizontal (de nível), sendo conhecido o vértice A(1;2;1);

- As arestas medem 8cm;

- O lado [AB] faz, com o P.F.P., um ângulo de 45º(a.d.).

O plano secante contém o ponto K(-1;0;0), o seu traço frontal faz um ângulo de 40º(a.e.) com o eixo x e o traço horizontal é paralelo à projeção horizontal da aresta [AD].

15 - Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano γ produz num prisma quadrangular reto, de bases horizontais, sendo conhecidos os pontos O(0;7;1), centro de uma das bases e A(-2;11;5), um vértice da outra base. Sobre o plano secante, sabe-se que este contém o ponto A, é ortogonal ao β₂₄ e o seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º (a.d.). Considera que no sólido truncado, a secção apresenta-se visível em projeção horizontal.

16 – Determina as projeções da figura de secção que o plano passante δ produz numa pirâmide pentagonal oblíqua de base frontal. V(3;1;5), A(3;7;5) e O(-1;7;5) são, respetivamente, vértice da pirâmide, vértice da base e centro da base. O plano δ contém o ponto M(-6;9;8).

17 – Determina as projeções da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide hexagonal regular situada no 1º diedro, cuja base está contida num plano de perfil π. Dados:

- A(3;2;7) e D, com 2cm de cota, definem uma diagonal de perfil e que faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 50º;

- A pirâmide tem 7cm de altura e o seu vértice tem abcissa negativa;

- Os traços do plano ρ têm 5cm de cota e 7cm de afastamento.

18 – Desenha as projeções de um prisma triangular regular, situado no 1º diedro e com 3cm de altura, sabendo que:

- A base [ABC] é invisível em projeção horizontal e está contida num plano de topo θ que faz, com o plano horizontal de projeção, um diedro de 55º(a.d.);

- A(4;2) e B, situado no plano frontal de projeção, definem uma aresta que mede 6cm.

Determina as projeções do sólido resultante da secção provocada pelo plano horizontal ν que contém o ponto C.

19 – Determina as projeções da figura de secção que o plano frontal (de frente) φ, com 2cm de afastamento, provoca numa pirâmide pentagonal regular, situada no 1º diedro. Dados:

- a pirâmide está assente num plano de vertical δ que faz um diedro de 50⁰ (a.d) com o plano frontal de projeção;

- A base está inscrita numa circunferência com 8cm de diâmetro que é tangente aos dois planos de projeção;

- A aresta da base que tem menos afastamento é vertical;

- O vértice da pirâmide está situado no plano frontal de projeção.

20 - Desenha as projeções de um prisma triangular regular, situado no primeiro diedro e com bases contidas em planos de rampa, sabendo que:

- Os pontos A(0;0;5) e O(-2;2;3) são, respetivamente, vértice e centro de uma das bases;

- O prisma tem 3cm de altura.

Determina as projeções do sólido truncado que resulta da secção provocada no sólido pelo plano de perfil π que contém o eixo do sólido. Considera que o ponto A pertence ao sólido truncado e determina a verdadeira grandeza da secção.

21 – Determina as projeções da figura da secção resultante da interseção de um plano frontal (de frente) com um paralelepípedo retângulo, situado no 1º diedro, cuja base é o retângulo [ABCD] contido no plano θ. Dados:

- O plano θ é ortogonal ao bissetor β₁₃ e o seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º(a.e.);

- A circunferência circunscrita ao retângulo é tangente ao plano horizontal de projeção e tem centro no ponto M(5;3);

- A diagonal [AC] é frontal (de frente) e a diagonal [BD] é passante.

- O centro da base superior tem 6cm de cota.

- O plano secante tem 6cm de afastamento.

22 – Determina as projeções do sólido truncado que resulta da secção feita por um plano horizontal ( de nível) σ numa pirâmide triangular regular, situada no primeiro diedro e com a base [ABC] contida num plano passante δ.

Dados

- A(4;5;3) e B, com abcissa nula e menos afastamento que A, definem uma aresta da base que mede 5cm e tem menos afastamento que o vértice C;

- A pirâmide tem 7cm de altura.

- o plano secante tem 5cm de cota.

1 - Determine a interseção de dois planos α e β. O plano α tem ambos os traços fazendo ângulos de

45º (a.d.). Os traços, horizontal e frontal de β, fazem ângulos, respetivamente, de 30º e 60º (a.e.).

2 - Determine a reta r de intersecção de dois planos, sabendo que um é obliquo e o outro de nível.

3 - Determine a reta s de intersecção de dois planos α e β, sabendo que α é de rampa, hα tem 5 de afastamento e fα tem 3 de cota; β é vertical e hβ faz um ângulo de 30º (a.d.).

4 - Determine a intersecção de um plano de topo que faz um ângulo de 45º (a.d.) com um plano de frente com 4 de afastamento.

5 - Dado um plano vertical, que faz um ângulo de 60º (a.d.) e um plano de frente com -3 de afastamento, determine as projeções da reta de intersecção.

6 - Dado um plano oblíquo cujos traços são coincidentes, determine a sua intersecção com o β13.

7 - Dado um plano de rampa cujos traços são coincidentes com uma reta fronto-horizontal de 0cm de afastamento e 4cm de cota, determine as projeções da reta de intersecção com um plano de topo que faz um ângulo de 30º (a.d.).

8 - Dado um plano definido pelO EIXO X e pelo ponto P (1;4), determine as projeções da reta de intersecção com um plano de frente com 3 de afastamento.

9 - Determine a reta i, de intersecção do plano α, de topo, com um plano oblíquo, π.

Os dois planos encontram o eixo x em pontos de abcissas respetivamente de -3 e -10 cm. O plano α

faz 45º com υ₀ (a.d.). Os traços frontal e horizontal do plano π fazem ângulos, com abertura para a esquerda, respetivamente de 60º e 30º.

10 - Determine a reta i, de intersecção de dois planos θ e π cujos traços frontais se encontram fora dos limites do desenho. Os pontos onde os dois planos encontram o eixo x distam entre si 14 cm. Os traços frontais de θ e π fazem respetivamente 60º (a.d.) e 45º (a.e.) com o eixo x. Os dois traços horizontais encontram-se num ponto de afastamento 4, cuja linha de referência, divide ao meio a distância de 14 cm atrás indicada.

11 - Determine a reta i, de intersecção dos planos θ e π definidos pelos seus traços.

O plano θ é de rampa, distando o seu traço frontal 5 cm, e o horizontal 3 cm, respetivamente para

cima e para baixo do eixo x.

O plano π é oblíquo e encontra x num ponto de abcissa igual a -3 cm, fazendo o seu traço frontal 30º e o horizontal 60º com x, ambos com abertura para a direita.

12 - Determine a reta i, de intersecção de dois planos de rampa α e β.

- fα dista 3cm para cima de x

- fβ dista 7cm para cima de x

- hα dista 6cm para baixo x

- hβ dista 2 cm para baixo de x

13 - Determine a reta i, de intersecção dos planos θ e π definidos respetivamente pelas retas r e s, paralelas, e pelas retas, a e b, concorrentes.

- r é definida pelos pontos A(-3; 1; 1) e B(-4; 3; 0)

- s é definida pelo ponto C(-4,5; 2; 1,5)

- a é definida pelos pontos E(-7,5; 2; 0,5) e F(-9; 0,5;2)

- b é definida pelos pontos F(já indicado) e G(-9,5; 0,7; 1)

14 - Determine a intersecção dos planos α, β e π, sabendo que:

- α é de rampa e os seus traços horizontal e frontal distam de x, respetivamente, 6 e 4 cm;

- β é perpendicular ao β24, tem um ponto no eixo x com -6 cm de abcissa e contém o ponto P(-8;0;3)

- π é perpendicular ao β13 e contém a reta r definida por M(-13; 4; 2) e N(-15; 4; -1).

15 - Determine a intersecção, I, de uma reta oblíqua, a com um plano de nível, π.

16 - Determine a intersecção, I, de uma reta oblíqua, b, com um plano de frente, θ.

17 - Determine a intersecção I, de uma reta oblíqua, a, com um plano de perfil, α.

18 - Determine a intersecção, I, de uma reta oblíqua, b, com um plano projetante horizontal, β.

19 - Determine a intersecção, I, de uma reta oblíqua, s, com um plano oblíquo, α.

- s é definida pelos pontos M(-2; 9; 5,5) e N(-9; 3,5; 1).

- α encontra x na abcissa de M e os seus traços, ambos com abertura para a direita, fazem

respetivamente 45º e 60º com x.

20 - Determine a intersecção, I, da mesma reta do problema anterior, com um plano de rampa, cujo traço frontal dista 6 cm, para cima de x e o horizontal, 4 cm para baixo.

21 - Determine o ponto de intersecção da reta vertical a com o plano definido pelas retas r e s,

concorrentes no ponto A (-2,5; 1,5), sabendo que:

- a reta r é fronto-horizontal e a reta s é uma reta passante e oblíqua;

- a reta vertical a tem 2 de afastamento e a projeção frontal do seu traço horizontal dista, para a

direita, 3 de A₀.

22 - Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano α definido pelas retas n e f, sabendo

que:

- a reta f é de frente e a n é de nível e são concorrentes no ponto A (4; -2);

- a reta f forma com um ângulo de 45º (a.d.) e a projeção horizontal de n é paralela à projeção

frontal de f;

- a reta r é definida pelos pontos M (2; 5) e O (3; 3) e Mo º H_2f e O₀ º~ F_1n

23 - Determine o ponto P de intersecção da reta r com o plano θ definido pelas retas a e b, cujas

projeções de nome contrário se apresentam coincidentes, sabendo que:

- o ponto X (3; 2) pertence à reta a e as projeções, horizontal e frontal, desta reta formam com o eixo x ângulos de 35º de abertura, respetivamente, para a direita e para a esquerda;

- a reta r é definida pelos pontos H (2; O) e F (O; 5). O plano de perfil a que pertence o ponto H dista 3 para a esquerda de X₀ e as projeções de F pertencem à linha de chamada do ponto X.

24 - Determine as projeções do ponto I de intersecção da reta vertical b com o plano π, sabendo

que:

- o plano π é definido pela reta de maior inclinação i que contém o ponto P (O; 4; 2), é paralela ao β13 e a sua projeção frontal faz com x no semiplano frontal superior um ângulo de 45º de abertura para a esquerda;

- o traço horizontal da reta vertical b é o ponto H (3; 5; O).

25 — Dado o ponto P(0;3;4) e a reta s, determine as projeções do ponto T de intersecção da reta s com o plano que contém o ponto P e é perpendicular à reta, sabendo que:

- a reta s contém o ponto S(3;2;3,5) e as suas projeções, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, no semiplano horizontal anterior e no semiplano frontal superior, ângulos de 40º (a.e.).

1. Represente pelas suas projeções uma pirâmide triangular reta, sabendo que:

- a base [ABC] da pirâmide é de nível com 1 cm de cota e está inscrita numa circunferência

de raio igual a 3 cm; o vértice A tem abcissa e afastamento zero e a aresta da base [BC] é

horizontal de frente;

- a altura da pirâmide é de 5 cm.

2. Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular, sabendo que:

- o quadrado [ABCD] da base é de nível e dista de υ₀ 6 cm;

- a diagonal [AC] é de nível, mede 8 cm, e faz um ângulo de 60º (a.d.) com φ₀

- o vértice A existe em φ₀ com abcissa -2;

- o vértice V da pirâmide situa-se em υ₀.

3. Represente pelas suas projeções uma pirâmide hexagonal reta de base [ABCDEF] de nível, sabendo que:

- o centro da base é o ponto O do β₁₃ de cota 6 e abcissa 0;

- o raio da circunferência circunscrita à base é de 4cm;

- a diagonal [AD] do polígono da base é de nível e faz um ângulo de 45º (a.e.) com φ₀;

- o vértice V da pirâmide situa-se em υ₀.

4. Desenhe as projeções de uma pirâmide triangular reta de base [ABC] assente no Plano Frontal de Projeção, sabendo que:

- a aresta [AC] da base é frontal, mede 6 cm e faz um ângulo de 45^º(a.d.) com o Plano

Horizontal de Projeção; o extremo A tem abcissa e cota zero;

- o vértice V da pirâmide situa-se no β₁₃.

5. Represente o quadrado [ABCD] contido no plano frontal θ. Esta figura é a base de uma pirâmide reta. Represente este sólido, sabendo que:

- os pontos A ( 0; 8; 8) e B ( 4; 8; 5) são dois vértices consecutivos do quadrado e o ponto A

é o vértice de maior cota da base da pirâmide;

- o ponto V é o vértice do sólido e situa-se em φ₀.

6. Determine as projeções de uma pirâmide hexagonal reta de base [ABCDEF] assente num plano frontal que dista do PFP 1 cm, sabendo que:

- o lado da base do polígono mede 4 cm;

- o ponto A de 5 cm de cota é um dos vértices da base do sólido e situa-se mais à esquerda;

- o vértice da pirâmide é o ponto V ( 0; 9; 6).

7. Represente uma reta r, pertencente ao β₁₃. Essa recta contém a diagonal [AF] de uma face lateral de um prisma quadrangular reto, com bases de nível. Represente esse sólido, sabendo que:

- a projeção horizontal da recta r faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x;

- o extremo A, da diagonal [AF] , tem de abcissa —2 e afastamento 2 e o ponto F tem cota

igual a 5.

8. Represente um cubo, com duas faces contidas em planos de nível, sabendo que:

- os pontos A e C são os extremos de uma diagonal da face do sólido contida no plano de

nível de maior cota;

- o ponto A, com abcissa -3 e afastamento 7, pertence ao β₁₃;

- o ponto C, com 4 de abcissa, dista 8 cm do ponto A e tem menor afastamento que A.

9. Desenhe as projeções de um prisma pentagonal recto de bases frontais. O prisma tem uma aresta lateral no Plano Horizontal de Projeção e mede 5 cm. O centro da circunferência circunscrita à base de menor afastamento é o ponto O do β₁₃, de abcissa 0, e o raio dessa é igual a 3 cm.

10. Represente uma reta oblíqua passante g. Esta reta contém o vértice V de um cone de revolução e um ponto da circunferência que delimita a sua base. Represente-o, sabendo que:

- a recta g intersecta o eixo x no ponto K de abcissa 5;

- as projeções horizontal e frontal da reta g fazem com o eixo x, respetivamente, ângulos

de 45º e de 60º, de abertura para a esquerda;

- a circunferência que delimita a base do cone tem raio igual a 4 cm e está contida num plano

de nível de cota 4.

11. Represente um prisma hexagonal reto com as bases contidas em dois planos frontais, α e p, sabendo que:

- as bases do sólido são hexágonos regulares;

- os pontos A ( -2; 1; 2) e D ( 3; 1; 7), contidos no plano α, são vértices opostos da base

[ABCDEF];

- o plano α dista 6 cm do plano p.

12. Represente dois sólidos — um cone de revolução e um prisma triangular regular. Apesar das faces dos dois sólidos não se intersetarem, tenha em conta que cada sólido poderá ocultar parcialmente o outro. Dados:

Cone de revolução:

- a base do sólido está contida no Plano Frontal de Projeção;

- a circunferência que a delimita tem centro no ponto O ( 0; 0; 7) e o seu raio mede 5 cm;

- o vértice V do cone tem 10 de afastamento.

Prisma triangular regular:

- uma base do prisma está contida no Plano Horizontal de Projeção e inscrita numa circunferência com 3 cm de raio e centro no ponto M (1; 9; 0);

- um dos vértices do triângulo da base tem 4 cm de abcissa;

- a altura do sólido mede 5 cm.

13. Represente dois sólidos — um cilindro de revolução e uma pirâmide triangular regular.

Apesar de as faces dos dois sólidos não se intersetarem, tenha em conta que cada sólido poderá

ocultar parcialmente o outro. Dados:

Cilindro de revolução:

- as bases do sólido estão contidas em planos frontais;

- a circunferência que delimita a base de menor afastamento tem centro no ponto O(-2,5;6;2)

e o seu raio mede 2 cm;

- a outra base tem 10 cm de afastamento.

Pirâmide triangular regular:

- a base [ABC] do sólido está contida num plano de nível, sendo os pontos A ( -5; 0; 10) e B

(5; 0; 10) dois dos seus vértices;

- o vértice V da pirâmide tem cota nula.

1 – Desenha as projeções de duas retas de perfil, r e s, paralelas. A reta r está contida no b13 e tem 3cm de abcissa. A reta s contém o ponto S(-2;3;5). Determina as projeções do traço horizontal da reta s.

2 – Determina os traços do plano de rampa p, definido por duas retas de perfil, paralelas, p e p’. A reta p contém os pontos A(-2;5;1) e B(1;4). A reta p’ tem 1cm de abcissa.

3 – Determina os traços do plano q, definido pelas retas de perfil a e b, paralelas. A reta a é paralela ao b24 e contém o ponto A(2;5;3). A reta b contém o ponto B(-1;5;1).

4 – O plano g está definido pela sua reta de maior declive d, que contém os pontos A(1;3;1) e B(-3;7;4). Faz passar por P(4;3;3):

a) Uma reta horizontal, paralela ao plano g;

b) Uma reta frontal, paralela ao plano g.

5 – O plano q está definido pelas retas f, de frente, e p, de perfil. A reta f tem 3cm de afastamento e faz, com n₀, um ângulo de 45º (a.e.). A reta p é paralela ao b13 e é concorrente com f num ponto com 2cm de cota. Determina os traços de q.

6 – Considera o plano d, com traços coincidentes a fazerem 45º (a.d.), medidos acima de x e que contém o ponto K(0;0;0). Determina os traços do plano b que contém o ponto P(0;4;5) e é paralelo a d.

7 – O plano a é de rampa e os seus traços têm 5cm de cota e 3cm de afastamento. Determina os traços do plano p que contém o ponto P(1;4;2) e é paralelo a a.

8 – Desenha os traços dos planos g e d, de rampa, sabendo que os traços de g são simétricos em relação a x e situam-se a 4cm de distância deste e que os traços de d são coincidentes e situam-se 3 cm acima de x. Verifica se os planos são paralelos.

9 - Desenha as projeções de uma reta r, ortogonal a um plano α, oblíquo.

- r contém P(8;4,5;5);

- fα cruza x no ponto K com 6 cm de abcissa, e abre à esquerda a 60º;

- hα abre à direita, a 45º com o mesmo eixo.

10 – Desenha as projeções de uma reta s, sabendo que é paralela ao b13, contém o ponto P(3;2;3) e a sua projeção frontal abre num ângulo de 45º à esquerda. Determina os traços do plano a, que contém o ponto M(-1;4;2) e é ortogonal à reta s.

11 – O pano q está definido pela sua reta de maior inclinação, i, que contém o ponto A(0;2;4) e faz com x, ângulos de 50º(a.e.) e 40º(a.d.), respetivamente, a projeção frontal e a horizontal. Determina as projeções de uma reta p, que contém o ponto P(-3;2;6) e é ortogonal ao plano q.

12 – Desenha os traços do plano de rampa w, sabendo que estes têm 5cm de cota e 3cm de afastamento. Desenha, igualmente, as projeções de uma reta m, ortogonal a w, sabendo que ela contém o ponto P(5;4). Determina a interseção entre a reta m e o plano w.

13 – Considera um plano de rampa p, cujos traços têm 5cm de cota e -4cm de afastamento. Desenha as projeções de um ponto R, com 3cm de cota e contido numa reta p, ortogonal a p. A reta contém o ponto P(5;2).

14 – Determina os traços de uma reta m, ortogonal ao plano d, passante. A reta contém M(0;2;5) e o plano contém D(4;7;3).

15 – Desenha as projeções da reta de perfil p que contém os pontos A(-2;1) e B(2;5). Determina os traços de q que contém M(2;3) e é ortogonal à reta p.

16 - Faz passar pelo ponto S um plano π, ortogonal a um plano dado, θ.

- S (7; 4; 5,5);

- hθ cruza x no ponto K de abcissa 9 cm, e abre à direita a 30º;

- fθ abre à direita a 45º;

- o traço frontal de π faz com x 70º (a.d.).

17 - Considera um plano a, cujos traços fazem ângulos de 50º(a.d.) e 35º (a.e.), respetivamente o traço frontal e o traço horizontal, e são concorrentes no ponto K(0;0;0).

a) Faz passar por P(0;3;3) um plano q de rampa, ortogonal ao plano a.

b) Determina os traços de um plano oblíquo d, ortogonal a a, sabendo que contém o ponto P e os seus traços são coincidentes.

c) Conduz também por P um plano l, projetante horizontal e ortogonal a a.

18 – Determina a intersecção entre os planos a e d, ortogonais entre si, sabendo que d é passante e contém o ponto M(0;6;3). O plano a contém o ponto P(0;3;3) e o seu traço frontal abre à direita num ângulo de 50º.

19 – Considera o b13 e o ponto P(4;3). Conduz pelo ponto P os planos a, b e p, ortogonais ao b13, sabendo que:

- a é de rampa;

- O traço horizontal de b faz um ângulo de 40º (a.e.);

- O traço frontal de p faz um ângulo de 60º (a.d.).

- Repete o exercício anterior considerando que os planos a, b e p são, agora, ortogonais ao b24.

21 – O plano a está definido pela sua reta de maior declive d, que contém os pontos A(0;6;1) e B(-4;-1;5). Determina os traços de um plano p, que contém o ponto P(0;2;7) e é ortogonal a a e ao b24.

22 – O plano s está definido pelo seu traço horizontal, que abre à direita num ângulo de 45º e pelos pontos M(3;0;0) e N(0;1;3). Determina os traços de um plano de rampa w, sabendo que este contém o ponto N e é ortogonal a s.

23 - Desenha as projeções de uma reta r, paralela ao b13, que contém o ponto M(4;5;3) e que a sua projeção horizontal abre à direita num ângulo de 50º. Determina as projeções:

a) de uma reta b, cuja projeção frontal faz um ângulo de 50º (a.d.), é ortogonal à reta r e contém o ponto P(-3;3;4)

b) de uma reta c que contém o mesmo ponto P e é perpendicular e concorrente com a reta r.

24 – Desenha as projeções de uma reta m, paralela ao b24, sabendo que contém o ponto R(-5,2,3) e que m1 abre à direita num ângulo de 45º. Determina as projeções de uma reta p, passante em A(4;0;0) e perpendicular (ortogonal e concorrente) a m.

25 – Desenha as projeções de uma reta p que contém os pontos A(2;4;3) e B(2;7;6). Determina as projeções de uma reta s, ortogonal e concorrente à reta p e que contém o ponto M(-2;2;4).

26 – Determina as projeções das retas r e s, passantes e concorrentes em P(2;4;5). A reta r contém o ponto A(6;0;0) e é perpendicular à reta s.

1 – Determina a V.G. de um triângulo [ABC] contido num plano oblíquo a ortogonal ao b13, sabendo que o traço frontal abre à direita num ângulo de 45º. A(0;5),B(0;1;2), C(5;2).

2 - Determina as projeções do triângulo equilátero [ABC] de 5 de lado, contido no plano oblíquo α, no espaço do 1 º diedro, sabendo que:

— os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem com x no semiplano horizontal anterior e no semiplano frontal superior, ângulos de 60º e 30º de abertura para a direita;

— o vértice A tem 3 de afastamento e pertence a hα e o vértice B pertence a fα.

3 – Desenha as projeções de um triângulo equilátero [ABC] contido num plano oblíquo d cujo traço frontal faz um ângulo de 55º(a.d.) com o eixo x, intersetando-o no ponto K(0;0;0). Dados: A(4;0) e O(2,5;4;3) são, respetivamente, vértice e centro do triângulo.

4 - Desenha as projeções do quadrado [ABCD] de 5,5 de lado, contido no plano oblíquo θ, sabendo que:

— os traços, horizontal e frontal, do plano θ fazem com x, no semiplano horizontal anterior e no semiplano frontal superior ângulos de 45º e 60º de abertura para a direita;

— o vértice A pertence a fθ com 4 de cota e o vértice B pertence a hθ.

5 - Representa as projeções da cir­cunferência de centro O(3;3), de raio igual a 3, e contida no plano oblíquo θ, sabendo que:

— o plano θ está definido pela sua reta de maior declive d, passante, cujas projeções fazem com x, no semiplano horizontal anterior e no semiplano frontal superior ângulos de 45º (a.e.) e 65º (a.d.).

6 - Desenha as projeções da circunferência de centro O(4;3) de 3 de raio, sabendo que está contida no plano oblíquo π que é ortogonal ao b24 e cujo traço horizontal faz, com x, um ângulo de 45º(a.e.).

7 – Determina a V.G. de um triângulo [ABC] contido num plano de rampa p. A(7;0;5), B(3;5;0), C tem -1cm de abcissa e 3cm de cota.

8 – Determina a V.G. do losango [ABCD]. A(0;6;0). A diagonal [AC] é de perfil. C tem 4cm de cota. [BD] é fronto-horizontal e mede 6cm. B tem 3cm de abcissa e afastamento.

9 – Determina as projeções de um triângulo equilátero [MNO], contido num plano de rampa q, sabendo que M(0;5;0) e N(0;0;4) definem o lado do triângulo situado mais à direita.

10 - Determina as projeções de um pentágono contido num plano de rampa θ, situado no 1º diedro, sabendo que:

— os traços horizontal e frontal do plano, têm de afastamento e cota respetivamente 4 e 5;

— o pentágono está inscrito numa circunferência com 5cm de diâmetro e cento no ponto O com 3 cm de cota;

— O lado do pentágono com o menor valor de afastamento é paralelo a x.

11 – Determina a V.G. do triângulo [ABC] contido num plano passante d. Dados: A(0;5;6), B(5;0;0) e C tem -2 cm de abcissa e 2cm de cota.

12 - Determina as projeções do quadrado [ABCD] contido num plano passante w. A(0;3;2) e C, com 4cm de abcissa negativa e 6 cm de afastamento definem uma diagonal da figura.

13 – Determina as projeções do hexágono regular [ABCDEF] contido no plano bissetor b13 e com centro no ponto O com 3cm de cota. Sabe-se que a circunferência circunscrita à figura é tangente aos planos de projeção e que uma das diagonais maiores do hexágono é fronto-horizontal.

1 – Desenha as projeções de uma pirâmide quadrangular regular; situada no 1º diedro, sabendo que:

- o quadrado [ABCD] da base está contido no plano oblíquo α perpendicular ao β₁₃ cujo traço frontal faz com X no semiplano frontal superior; um ângulo de 45º de abertura para a esquerda;

- o vértice A situa-se em fα com 3 de cota, e o vértice B existe em hα e AB mede 5 de comprimento;

- o vértice V da pirâmide pertence ao plano frontal de projeção.

2 – Desenha as projeções de um prisma triangular regular, assente num plano oblíquo p, sabendo que:

- os traços frontal e horizontal de p fazem, respetivamente, com X, ângulos de 45º e 30º de abertura para a direita;

- O triângulo está inscrito numa circunferência com 5cm de diâmetro e centro no ponto O (-2;2;4);

- O lado AB do triângulo é paralelo a fp e é o lado de menor afastamento;

- O prisma tem 5cm de altura.

3 – Desenha as projeções de uma pirâmide hexagonal regular, assente num plano oblíquo θ, sabendo que:

- A base está inscrita numa circunferência com 6cm de diâmetro e centro no ponto O(4;4);

- O lado AB é paralelo a hθ;

- A pirâmide tem 7cm de altura;

- A reta de interseção de θ com o β₁₃ faz, em projeção frontal, um ângulo de 30º(a.d.) e o traço frontal de θ faz com x um ângulo de 45º (a.d.).

4 – Desenha as projeções de uma pirâmide pentagonal regular com base [ABCDE] contida no plano oblíquo a, cujos traços são concorrentes no ponto K(2,5;0;0). O ponto M(-4;3;3) é o centro da circunferência com 6cm de diâmetro que circunscreve o pentágono. O lado [AB], mais à direita, é de maior declive e faz, em projeção horizontal, um ângulo de 40º(a.e.). O vértice da pirâmide está situado no P.H.P.

5 – Determina as projeções de um cubo situado no 1º diedro e com a face [ABCD] contida num plano p, ortogonal ao b13. O traço frontal de p faz um ângulo de 45º (a.d.). A(1;2). O lado [AB] é de perfil e B tem cota nula.

6 – Desenha as projeções de uma pirâmide quadrangular reta com 6cm de altura, situada no 1º diedro e com base [ABCD]. Dados: A(0;2;0). B(5;7;0). D pertence ao P.F.P.

7 – Desenha as projeções de um prisma pentagonal regular com a base [ABCDE] contida no plano r, ortogonal ao b24, cujo traço frontal abre à direita num ângulo de 50º e interseta x num ponto com abcissa nula. O centro da circunferência, com 6cm de diâmetro, que circunscreve a base é o ponto M, com abcissa nula e 4cm de cota. O lado [AB], situado mais à esquerda, é de perfil. O sólido tem 1,5cm de altura.

8 – Desenha as projeções de uma pirâmide triangular oblíqua, com a base [ABC] regular, contida num plano a. Dados:

- O traço frontal do plano contém o ponto K(3;0;0) e faz um ângulo de 50º (a.d.).

- A(-2;1;4), sendo de 5cm o comprimento da aresta [AB].

- B tem 1cm de cota.

- A aresta lateral [AV] é ortogonal a a e V situa-se no b13.

9 – Desenha as projeções de uma pirâmide oblíqua, situada no 1º diedro, cuja base é o hexágono regular [ABCDEF] contido no plano oblíquo α, sabendo que:

- o lado do hexágono mede 4cm, [AB] está contido em fα e [BC] em hα.

- o traço frontal do plano faz com X no semiplano frontal superior, um ângulo de 30º de abertura para a direita.

- o eixo da pirâmide é paralelo a j₀ e ortogonal a fa e mede 5cm.

10 - Desenha as projeções de um prisma oblíquo situado no 1º diedro, sabendo que uma das bases é o quadrado [ABCD] de 5 de lado, contido no plano oblíquo π cujo traço horizontal faz com X, no semiplano horizontal anterior, um ângulo de 45º de abertura para a esquerda; O lado [AB] situa-se no traço horizontal do plano, o vértice A tem 2,5 de afasta­mento e o vértice D existe no plano frontal de projecção. As arestas laterais do sólido são de perfil, paralelas ao b13 e medem 6cm.

11 – Determina as projeções de um prisma hexagonal oblíquo de bases [ABCDEF] e [A’B’C’D’E’F’]. Dados: A(0;0;0), B(3;0;2). [AF] tem cota nula. As arestas laterais são de perfil e medem 5cm. O centro da base superior tem 6cm de cota e maior afastamento que o centro da base inferior.

12 - Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Dados

- a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

- os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

- as diagonais da base medem 10 cm;

- o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

- a pirâmide tem 12 cm de altura.

(exame nacional 2009, 2ª fase)

13 – Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no 1º diedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis. Dados:

- as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares (b₁₃);

- a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º de abertura para a direita com o eixo x;

- o ponto A(1;3;0) é um dos vértices da base referida;

- o ponto O’(3;10;9) é o centro da outra base.

(exame nacional 2011, 1ª fase)

14 - Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular, situada no 1.º diedro. Dados:

- a base [ABC] pertence a um plano oblíquo α;

- o plano α é definido pelos pontos A (–1; 4; 2), B (–4; 0; 9) e K do eixo x com 2 de abcissa;

- o vértice V da pirâmide tem 4 de abcissa.

(exame nacional 2017, 1ª fase)

15 - Desenha as projeções de um parale­lepípedo retângulo, situado no 1 º diedro, sabendo que:

- a face [ABCD] está contida no plano de rampa α;

- o vértice A pertence a hα com 6 de afastamento, o vértice C situa-se em fα com 4 de cota e a aresta AB mede 4 e faz com hα um ângulo de 45º de abertura para a direita;

- a aresta AE mede 7 de comprimento.

16 - Desenha as projeções de uma pirâmide hexagonal regular; situada no 1º diedro, sabendo que:

- a base [ABCDEF] está contida num plano de rampa θ, paralelo ao β_24, cujo traço frontal tem 5cm de cota.

- o centro da base é o ponto O com 3cm de afastamento.

- o vértice A pertence ao traço horizontal do plano e tem a mesma abcissa de O.

- a pirâmide tem 6cm de altura.

17 – Desenha as projeções de uma pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro, sabendo que:

- a pirâmide está assente num plano de rampa π cujos traços, frontal e horizontal, distam, respetivamente, 5 e 4cm de x;

- o triângulo da base está inscrito numa circunferência com 5cm de diâmetro e centro no ponto O com 2cm de afastamento;

- o lado AB, de maior cota, é paralelo a fπ.

- a pirâmide tem 6cm de altura.

18 – Determina as projeções de um prisma quadrangular regular com 6cm de altura e situado no 1º diedro, sabendo que uma das bases, a [ABCD], está contida num plano de rampa γ. A(0;0;5), C(3;4;1).

19 – Desenha as projeções de uma pirâmide pentagonal oblíqua, situada no 1º diedro. A base [ABCDE] está contida num plano de rampa σ cujos traços situam-se nos semiplanos frontal superior e horizontal anterior. Dados:

- o centro da base é um ponto M(0;3;3);

- o vértice A tem 3cm de abcissa, o seu lado oposto é de perfil e faz, com o plano horizontal de projeção um ângulo de 50º;

- a aresta lateral [AV] mede 8cm e é ortogonal a σ.

20 – Determina as projeções de um prisma hexagonal regular, com 7cm de altura e situado no 1º diedro, sabendo que a base [ABCDEF] é de rampa e está definida pela diagonal A(0;4;2) D(3;0;7).

21 – Determina as projeções de um cubo assente pela face [ABCD] num plano de rampa θ e situado no 1º diedro. A(0;3;0), C(-4;0;5).

22 - Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. Dados

- vértice A (5; 3; 6);

- o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;

- o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;

- o vértice C tem abcissa negativa;

- o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

(exame nacional 2014, 1ª fase)

23 – Desenha as projeções de uma pirâmide quadrangular regular, com a base [ABCD] contida no plano passante δ. O ponto O(7;4;5) é o centro da circunferência com 7cm de diâmetro que circunscreve a base. A aresta [AB] é fronto-horizontal. O vértice da pirâmide está no P.F.P.

24 – Determina as projeções de um prisma pentagonal regular cuja base [ABCDE] está contida num plano passante λ. Dados:

- O(0;6;5) é o centro da circunferência com 8cm de diâmetro que circunscreve a base [ABCDE].

- o vértice A tem 2cm de abcissa e menos afastamento que O.

- o sólido tem 2cm de altura e a base [ABCDE] é a de menor cota.

25 – Desenha as projeções de uma pirâmide hexagonal oblíqua cuja base [ABCDEF] está contida no β13. O seu centro é o ponto M(0;5;5) e é conhecido o vértice A(2;7;7). A aresta lateral [AV] é perpendicular ao β13 e mede 4cm. V tem menos cota que M.

26 – Desenha as projeções de um prisma triangular regular, situado no 1º diedro. A base [ABC] é passante e tem centro no ponto M(0;6;5). O vértice A tem -2cm de abcissa e está contido numa reta fronto-horizontal com 2cm de cota. Um dos vértices do sólido está contido no P.F.P.

1 - É dado um triângulo equilátero existente num plano vertical, que abre à direita e faz um ângulo de 60º com o plano XZ (φ₀). A circunferência circunscrita ao triângulo tem 4 cm de raio e é simultane­amente tangente aos dois planos de projecção, sendo que um dos vértices do polígono tem afasta­mento nulo. Determine a sombra projetada pelo polígono sobre os planos de projeção.

Considere, para o efeito, a direção convencional da luz.

2 - Repita o exercício anterior considerando, agora, que o diedro que o plano faz com o plano XZ (φ₀) é de abertura para a esquerda. Compare a resolução deste exercício com a do exercício an­terior e estabeleça as diferenças.

3 - Os pontos A (5; 7) e C (3; 1) são dois vértices opostos de um quadrado [ABCD], de perfil. Determi­ne a sombra que o quadrado produz sobre os planos de projeção, considerando a direção lumi­nosa convencional.

4 - É dado um quadrado [ABCD], situado no espaço do 1º Diedro e contido num plano de topo. O plano faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção. A diagonal [AC] pertence ao β13 e o vértice B, do quadrado, tem afastamento nulo e cota inferior a A. A tem 6 cm de cota. Determine a som­bra projetada do quadrado nos planos de projeção, considerando a direção convencional da luz.

5 - É dado um triângulo equilátero [ABC], com 6 cm de lado, contido num plano de topo α e situado no 1º Diedro. O plano faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projeção. As coor­denadas de A são (—2; 5; O). O lado [AB], do triângulo, faz um ângulo de 45º com hα, sendo o afas­tamento de B superior ao de A.

6 - É dado um triângulo equilátero [ABC], contido num plano de perfil e situado no espaço do 1º Die­dro. Determine as projeções do triângulo e a sua sombra projetada nos planos de projeção, con­siderando a direção convencional da luz, sendo dados:

— o vértice A é o vértice de maior cota do triângulo;

— a sombra de A é o ponto A_S, que se situa no eixo X, 6 cm para a direita do ponto em que o plano corta o eixo X;

— o vértice B, do triângulo, tem cota nula e C pertence ao β13.

7 - É dado um quadrado existente num plano de rampa. A (1; 1; 6) e C (-2; 4; 2) são dois vértices opos­tos do quadrado, que existe no 1º Diedro. Determine a sombra que o quadrado produz nos planos de projeção, considerando a direção convencional da luz.

8 - É dado um plano oblíquo α, perpendicular ao β13, cujo traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo X. Sobre um quadrado [ABCD], contido em α, sabe-se que a diagonal [AC] é de perfil, sendo que A tem afastamento nulo e C tem cota nula. A tem 5 cm de cota. Determine a sombra projetada do quadrado nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

9 - É dado um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º Diedro e contido num plano oblíquo α, cujo traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.). A (2; O; 3) e B (0; 6; 0) são dois vértices do polígono. Considerando a direção luminosa convencional, determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção.

10 - Determine a sombra projetada de um quadrado [ABCD] nos planos de projeção, sendo dada a direção luminosa convencional. O quadrado situa-se no 1º Diedro e está contido num plano de rampa perpendicular ao β13. A(5;O) é um dos vértices do polígono. O lado [AB] mede 4,5 cm e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o traço horizontal do plano, sendo que B se situa à esquerda de A..

11 - É dado um plano α, perpendicular ao β24 cujo traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo X. Os pontos A (O; 4) e B (4; O) são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC], contido em α e situa­do no 1º Diedro. Determine as sombras do triângulo, considerando a direção convencional da luz.

12 - É dado um triângulo equilátero [ABC], situado no 1º Diedro e contido num plano de rampa π, cujo traço horizontal tem 4 cm de afastamento. O vértice A tem cota nula e B tem afastamento nulo. O lado [AB] mede 7 cm e faz um ângulo de 75º com o traço horizontal do plano, sendo B o vértice mais à esquerda do polígono. Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra projetada do triângulo nos planos de projeção.

13 - É dado um plano passante δ, definido pelo eixo X e pelo ponto A (3; 5). A é um vértice de um qua­drado [ABCD], situado no 1º Diedro e contido em δ. Sobre o quadrado sabe-se que tem 7 cm de lado e que o vértice B se situa no eixo x, à direita de A. Considerando a direção luminosa conven­cional, determine a sombra projetada do quadrado nos planos de projeção.

14 - Considere o quadrado [ABCD] do exercício anterior. Determine a sombra projetada do quadrado nos planos de projeção, sendo dado um foco luminoso L (4; 12), situado no mesmo plano de perfil do vértice D.

15 - É dado um segmento de recta [AB], situado no 1º Diedro e com 7 cm de comprimento. A (2; O) é um dos extremos do segmento. O segmento [AB] é horizontal (de nível) e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção. O segmento [AB] é um lado de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo α, sendo que C tem afastamento nulo. Determine a sombra pro­jetada do polígono nos planos de projeção, considerando a direção luminosa convencional.

16 - É dado um plano oblíquo α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo X. Os tra­ços do plano fazem, entre si, um ângulo de 120º no espaço do 1º Diedro. Sobre um quadrado [ABCD], contido em α, sabe-se que A (3; O) e B são dois vértices consecutivos do polígono, que tem 7,5 cm de lado. B é um ponto com afastamento nulo. Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra projetada do quadrado nos planos de projeção.

17 - É dado um círculo com 3 cm de raio, contido num plano α, vertical, e com centro no ponto O (4; 5). Sobre α sabe-se que o plano faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção. Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra projetada do círculo nos pla­nos de projeção.

18 - É dado um plano θ, de topo, que faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção, cortando o eixo X num ponto com 2 de abcissa. Sobre um círculo contido em θ sabe-se que o seu centro é o ponto O (4; 3) e que é tangente ao Plano Frontal de Projecção. Determine a sombra pro­jetada do círculo nos planos de projeção, considerando um foco luminoso L (3; 10; 8).

19 - É dado um círculo com 3,5 cm de raio, contido num plano de perfil π. O (6; 4) é o centro do círculo. Considerando a direcção convencional da luz, determine a sombra projetada da figura nos planos de projeção.

1 - Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide hexagonal re­gular de base existente num plano de nível de cota 9,5, obedecendo às condições a seguir indicadas:

a) o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide mede 3,5 cm, tendo como centro o ponto O, de 7,5 de afastamento.

b) duas das arestas laterais são de frente.

c) o vértice da pirâmide tem cota nula.

Determine as sombras própria e produzida pelo sólido nos planos de pro­jeção.

2 - Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide pentagonal re­gular, situada no primeiro diedro, de base assente num plano de frente, nas seguintes condições:

a) o plano de frente que contém a base tem 8 cm de afas­tamento.

b) a base está inscrita numa circunferência com 4 cm de raio e o seu centro tem 5,5 cm de cota.

c) a aresta lateral de menor cota é de perfil.

d) o vértice da pirâmide tem afastamento nulo.

Determine as sombras própria e produzida pela pirâmide nos planos de projeção.

3 - Represente as projeções ortogonais de uma pirâmide hexa­gonal regular, de base de nível, inscrita numa circunferência de 4 cm de raio, cujo centro é o ponto O (0;4;1). O vértice A da base [ABCDEF] pertence ao Plano frontal de pro­jeção. A altura da pirâmide é de 6 cm.

a) Considere o sentido dos ponteiros do relógio para os vértices da base.

b) Determine a separatriz luz-sombra do sólido representado, in­dicando, ordenadamente, os vértices que a definem.

c) Determine a sombra projetada nos planos de projeção.

4 - Construa as projeções de um prisma pentagonal regular em que uma das faces é de frente, uma aresta lateral situa-se no plano frontal de projeção e as bases assentam em planos de nível de cotas, respetivamente, iguais a 4 cm e 12 cm.

O afastamento dos centros das bases é igual a 4 cm.

Determine as sombras própria e produzida pelo sólido nos planos de pro­jeção.

5 - Represente pelas suas projeções um prisma pentagonal oblíquo de bases de nível, existente no 1º diedro, considerando o seguinte:

a) os centros das bases são os pontos M(3;6;1) e M’(-1;6;6)

b) o afastamento de um dos vértices das bases é igual a 1,5 cm, ficando uma face lateral de frente;

Determine as sombras: própria e por ele produzida sobre os planos de projeção.

6 - Determine as projeções e as sombras própria e projetada nos planos de projeção de um prisma pentagonal regular reto, sabendo que:

— uma das arestas laterais do prisma está contido no plano hori­zontal de projeção e a face lateral, que lhe é oposta, é de nível;

— o eixo do prisma tem de cota 5 cm;

— os centros das bases têm de afastamento, respetivamente, 2 e 7 cm e estão situados na mesma linha de referência.

Destaque as sombras por meio de tracejado, nas suas partes visíveis.

7 - Determine as sombras própria e projetada de uma pirâmide, cuja base é um hexágono regular, de eixo vertical, sabendo que:

— a base é de nível, tem 1 cm de cota e está inscrita numa cir­cunferência com 4 cm de raio;

— o eixo (vertical) mede 4 cm e a sua projecção horizontal tem 5 cm de afastamento;

— duas arestas da base são paralelas a X.

NOTA: Traceje as sombras: própria, com linhas paralelas a x, e projeta­da com linhas perpendiculares à projeção da direção luminosa.

8 - Desenhe as sombras própria e projetada nos planos de proje­ção de um prisma triangular reto do 1º diedro, sabendo:

— o prisma tem as bases de frente que são triângulos equiláte­ros com 6 cm de cada lado;

— uma base pertence ao plano frontal de projecção;

— a altura do prisma é de 6 cm;

— uma das faces laterais pertence ao plano horizontal de pro­jecção.

9 – Desenhe as projeções de um cubo situado no 1º diedro, sabendo que a sua face [ABCD], situada mais à esquerda, é de perfil, e que A(0;4) define com B, situado no P.H.P., uma aresta do sólido com 5cm de comprimento. Determine as sombras própria e projetada do sólido.

10 – Desenhe as projeções de uma pirâmide triangular regular e determine a sua sombra própria e projetada, sabendo que a base, de perfil, está inscrita numa circunferência com 6cm de diâmetro e centro no ponto O(0;4;4) e que a sua aresta de maior afastamento é vertical. O sólido tem 5cm de altura e o seu vértice tem abcissa positiva.

11 - Desenhe as projeções de um cone de revolução situado no pri­meiro diedro de acordo com os seguintes dados:

— a base é de frente, tem 10 cm de afastamento, 4,5 cm de raio e é tangente ao plano horizontal de projeção.

— o vértice do sólido tem 1 cm de afastamento.

Determine as sombras própria e produzida pelo cone de revolução nos planos de projeção.

12 - Desenhe as projeções dum cilindro de revolução, existente no 1 diedro, com uma das bases assente num plano de frente, de afasta­mento igual a 3,5 cm.

A cota do eixo é igual a 4 cm e o raio das bases tem por medida 3,5 cm. A altura do cilindro é igual a 6,5 cm.

Determine as sombras própria e projetada do sólido sobre os planos de projeção.

13 - Desenhe as projeções de um cone de revolução, situado no 1º diedro, cuja base está assente num plano de frente e é tangente ao plano horizontal de projeção, obedecendo às seguintes condições:

a) afastamento do plano de frente que contém a base: 2,5 cm;

b) cota do eixo do cone: 4cm;

c) altura do sólido: 8,5 cm;

Determine as sombras própria e as produzidas por ele nos planos de pro­jeção.

14 - Desenhe as projeções de um cilindro e determine as sombras pró­pria e projetada, sabendo:

— as bases são circunferências de nível com 3 cm de raio, uma delas está no plano horizontal de projeção, cujo centro é o ponto O (0;5;0) e a outra tem 3 cm de cota;

— as geratrizes do contorno aparente, em projecção horizontal e frontal, fazem com X respetivamente, ângulos de 60 º e 45º de abertura para a direita.

15 - Desenhe as projecções de um cone e determine as sombras pró­pria e projetada nos planos de projeção, sabendo:

- a base de frente é uma circunferência com 4 cm de raio, cujo centro é o ponto O (10;5;5) e o vértice é o ponto do eixo x que se situa 8 cm para a direita da linha de chamada do ponto O.

Nota: A sombra própria do sólido deve ser tracejada na sua parte visível, com linhas paralelas a x e a sombra projetada deve ser tracejada, na sua parte visível, com linhas perpendiculares à respetiva projeção da direção lu­minosa.

16 - Desenhe as projeções de um cilindro, cujas geratrizes são de perfil, e determine as sombras própria e projetada nos planos de projeção, sabendo que as bases são de nível, com 4 cm de raio; uma está assente no plano horizontal de projeção com o centro a 5 cm de afasta­mento; a outra tem o seu centro com 9 cm de afastamento e 7 cm de cota.

Nota: A sombra própria do sólido deve ser tracejada com linhas paralelas a X, nas suas partes visíveis. A sombra projetada nos planos de projeção deve ser tracejada, na sua parte visível, com linhas per­pendiculares às respetivas projeções da direção luminosa.

17 - Determine as sombras própria e projetada de um cone oblíquo cuja base existe num plano de frente e tem 4 cm de raio.

O centro da base é o ponto O (5;6;10) e o vértice do sólido é o ponto V (4;1;9).

Utilize uma direção luminosa frontal que faz com o P.H.P. um ângulo de 45º (a.e.). Defina claramente as geratrizes VA e VB de separação de sombra e luz. Traceje a parte visível da sombra projetada com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa e a parte visível da sombra própria com linhas paralelas a X.

18 - Represente as projecções ortogonais de um cone de revolução de base assente no Plano Horizontal de Projeção e com o vér­tice no Semiplano Frontal Superior. Dados:

— O centro da base é o ponto C (0;0).

— O raio da base mede 3 centímetros.

— A altura do sólido mede 10 centímetros.

a) Determine a sombra própria do sólido.

b) Determine a sombra produzida pelo sólido nos Planos de Pro­jeção.

19 - Represente as projeções ortogonais de um cilindro de revolu­ção com uma base assente no Plano Horizontal de Projeção. Dados:

— O centro da base é o ponto C (0;0);

— O raio da base mede 3 centímetros;

— A altura do sólido mede 10 centímetros;

— O centro da outra base tem cota positiva.

a) Determine a separatriz luz-sombra da parte do sólido situada no 1º Diedro.

b) Determine a sombra projetada nos planos de projeção, produzida da parte do sólido situada no1º Diedro.

20 - Determine as sombras própria e projetada de um cone reto com a base de nível, sabendo que:

— o ponto O (4;6) é o centro da base que tem 3 cm de raio;

— o vértice é o ponto V (4;1).

21 - Determine as sombras própria e projetada nos planos de proje­ção de um cone oblíquo, cujo vértice é o ponto V (5;9;13), sabendo que:

- a geratriz de contorno aparente do lado esquerdo contém o ponto A (5;5;5) da diretriz;

- a diretriz é uma circunferência existente num plano de nível e tem de raio 4 cm.

22 - Desenhe as projeções de um cilindro oblíquo e determine as sombras própria e projetada nos planos de projeção, sabendo que:

- as bases são círculos de nível com 4 cm de raio, cujos centros são os pontos O(0;6;1) e 0’(-3,5;8;7).

Nota: A sombra projetada deve ser tracejada, na sua parte visível, com linhas perpendiculares à respetiva projeção da direção luminosa. A sombra própria deve ser tracejada com linhas paralelas a x.

23 – Determine a sombra própria e projetada de um cone de revolução cuja base é de perfil, tem 6cm de diâmetro e abcissa nula. O vértice do cone é o ponto V(6;3;3).

24 - É dado um cone de revolução situado no lº Diedro e assente, pela base, num plano horizontal (de nível). A base do cone tem 3 cm de raio e o seu centro é o ponto O (O; 5; 2). O cone tem 7 cm de al­tura. Determine as sombras própria e projetada nos planos de projeção.

1 – Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano de topo q provoca numa pirâmide triangular regular, situada no 1º diedro. Da pirâmide, sabemos que A(2;1;0) e B(2;7;0) são os dois vértices mais à esquerda da base horizontal e que a sua altura é de 7cm. O plano q contém o ponto K(-6;0;0) e faz com o P.H.P. um diedro de 30º (a.e.).

2 – Desenha as projeções da figura resultante da secção que o plano d provoca numa pirâmide hexagonal, situada no 1º diedro. A base é frontal e está definida pelos pontos A(2;0;2) e B(-2;0;2) e o sólido tem 6cm de altura. O plano secante é projetante frontal, contém o ponto K(-6;0;0) e faz com o P.H.P. um diedro de 35º (a.e.).

3 – Os pontos A(0;2;2), O(0;7;2) e V(0;7;8) definem uma pirâmide pentagonal regular e são, respetivamente, vértice da base, centro da base e vértice da pirâmide. Determina as projeções do sólido truncado, resultante da secção provocada pelo plano w, de topo, que contém K(4;0;0) e faz, com o P.H.P. um diedro de 45º(a.d.).

4 – Desenha as projeções de um prisma quadrangular regular, com 6cm de altura, situado no 1º diedro e com bases horizontais, sabendo que uma das bases está definida pela sua diagonal A(0;2;2) C(0;8;2). Determina as projecções da figura de secção que o plano vertical s faz no sólido.

O traço horizontal de s abre à direita num ângulo de 55º e contém o ponto K(4;0;0).

5 – Desenha as projeções de um prisma hexagonal regular, com 6cm de altura e situado no 1º diedro. Os pontos A(0;1;2) e D(0:1;8) definem uma diagonal de uma das bases que é paralela a um dos planos de projeção.

Determina as projeções do sólido resultante da secção provocada pelo plano secante w, de perfil , que interseta o eixo x num ponto com 2cm de abcissa. Determina ainda a verdadeira grandeza da secção.

6 – Determina as projeções da figura da secção que um plano frontal com 3cm de afastamento faz num prisma triangular oblíquo de bases regulares. O eixo do sólido está definido pelos pontos O(2;4;0) e O’(-3;4;6). A base contida no P.H.P. está inscrita numa circunferência com 6cm de diâmetro e a sua aresta mais à esquerda é projetante.

7 – Determina as projeções de um cubo situado no 1º diedro, sabendo que uma face está contida num plano de perfil π. A(0;0;2) e O(3;4) são, respetivamente, vértice e centro dessa face. A face oposta tem abcissa negativa. Desenha as projeções da figura da secção provocada pelo plano vertical π, que faz um diedro de 45º(a.e.) com o P.F.P.

8 - Constrói as projeções da figura de secção provocada numa pirâmide hexagonal regular por um plano oblíquo α e determine a sua verdadeira grandeza, sabendo que:

- A pirâmide situa-se no 1 diedro, a base é um hexágono de 3,5 de lado contida em φ₀ com dois dos seus lados verticais e um dos vértices é o ponto F (0; 0; 1,5);

- A pirâmide mede 6 de altura;

- Os traços, horizontal e frontal, do plano secante a fazem com X ângulos de 30º e 60º de abertura para a direita e intersetam-se no ponto N de X de 6 de abcissa.

9 - Representa pelas suas projeções uma pirâmide hexagonal regular situada no 1 diedro, de base contida num plano horizontal ν, com 1cm de cota e, pelos seus traços, um plano de rampa α, sabendo que:

- O centro da base tem 4 de afastamento, a aresta mede 3,5 e duas delas são paralelas a X;

- A altura da pirâmide mede 6 de comprimento;

- Os traços, horizontal e frontal, do plano de rampa a têm de afastamento e cota, respetivamente, 8,5 e 4.

Desenha as projeções do sólido resultante da secção provocada na superfície da pirâmide pelo plano de rampa e determina a sua verdadeira grandeza.

10 - Representa pelas suas projeções um prisma quadrangular oblíquo, sabendo que os pontos A(0;0;1) e B(3;0;4) são dois vértices consecutivos da base com afastamento nulo e que as arestas laterais são horizontais, medem em V.G. 6cm e fazem, com o P.F.P, ângulos de 50º (a.d.).

Desenha as projeções da secção provocada nesse sólido por um plano de rampa θ, perpendicular ao β13, sabendo que o seu traço frontal tem 6cm de cota.

11 - Desenha as projeções de um prisma quadrangular regular, sabendo que a base [ABCD] está contida em j₀ (plano XZ), sendo B(-2;0;3). A aresta lateral [AE] está contida em n₀ (plano xy), tem 2cm de abcissa e mede 6cm. Desenha, ainda, os traços de um plano a, sabendo que o plano contém o ponto K(-7;0;0), que o seu traço frontal é paralelo à aresta [BC] do prisma e que o seu traço horizontal abre à esquerda num ângulo de 40º. Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano a provoca no prisma. Considera o sólido compreendido entre a base [ABCD] e o plano secante.

12- Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano q provoca numa pirâmide quadrangular oblíqua, situada no 1º diedro, sabendo que:

- A base [ABCD] está contida no P.H.P. e tem centro no ponto M(0;4;0);

- A aresta lateral [AV] é vertical, mede 6cm e está situada no P.F.P;

- A aresta lateral [CV] é de perfil;

- Os traços do plano secante são retas fronto-horizontais que têm 10cm de afastamento e 4cm de cota.

Considera que o sólido resultante é a parte da pirâmide situada entre o P.H.P. e o plano secante.

13 – Desenha as projeções da figura de secção produzida numa pirâmide pentagonal regular por um plano oblíquo α. Dados:

- A base está contida num plano frontal (de frente);

- O ponto Q(1;8;6) é o centro da circunferência circunscrita à base, que tem 4cm de raio;

- A aresta lateral [AV] é horizontal (de nível) e mede 8cm, sendo A o vértice de maior abcissa da pirâmide;

- O vértice V da pirâmide é invisível em projeção frontal;

- O plano α contém o ponto K(-11;0;0), é ortogonal ao β13 e o seu traço frontal abre à esquerda num ângulo de 45º.

14 – Determina as projeções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro por um plano α, oblíquo. Considera, para o efeito, a parte do sólido que está compreendida entre o plano secante e o plano da base. Determina, ainda, a verdadeira grandeza da figura de secção.

Tetraedro:

- O sólido situa-se no espaço do 1º diedro;

- Uma das faces é o triângulo [ABC], horizontal (de nível), sendo conhecido o vértice A(1;2;1);

- As arestas medem 8cm;

- O lado [AB] faz, com o P.F.P., um ângulo de 45º(a.d.).

O plano secante contém o ponto K(-1;0;0), o seu traço frontal faz um ângulo de 40º(a.e.) com o eixo x e o traço horizontal é paralelo à projeção horizontal da aresta [AD].

15 - Determina as projeções do sólido resultante da secção que o plano γ produz num prisma quadrangular reto, de bases horizontais, sendo conhecidos os pontos O(0;7;1), centro de uma das bases e A(-2;11;5), um vértice da outra base. Sobre o plano secante, sabe-se que este contém o ponto A, é ortogonal ao β₂₄ e o seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º (a.d.). Considera que no sólido truncado, a secção apresenta-se visível em projeção horizontal.

16 – Determina as projeções da figura de secção que o plano passante δ produz numa pirâmide pentagonal oblíqua de base frontal. V(3;1;5), A(3;7;5) e O(-1;7;5) são, respetivamente, vértice da pirâmide, vértice da base e centro da base. O plano δ contém o ponto M(-6;9;8).

17 – Determina as projeções da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide hexagonal regular situada no 1º diedro, cuja base está contida num plano de perfil π. Dados:

- A(3;2;7) e D, com 2cm de cota, definem uma diagonal de perfil e que faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 50º;

- A pirâmide tem 7cm de altura e o seu vértice tem abcissa negativa;

- Os traços do plano ρ têm 5cm de cota e 7cm de afastamento.

18 – Desenha as projeções de um prisma triangular regular, situado no 1º diedro e com 3cm de altura, sabendo que:

- A base [ABC] é invisível em projeção horizontal e está contida num plano de topo θ que faz, com o plano horizontal de projeção, um diedro de 55º(a.d.);

- A(4;2) e B, situado no plano frontal de projeção, definem uma aresta que mede 6cm.

Determina as projeções do sólido resultante da secção provocada pelo plano horizontal ν que contém o ponto C.

19 – Determina as projeções da figura de secção que o plano frontal (de frente) φ, com 2cm de afastamento, provoca numa pirâmide pentagonal regular, situada no 1º diedro. Dados:

- a pirâmide está assente num plano de vertical δ que faz um diedro de 50⁰ (a.d) com o plano frontal de projeção;

- A base está inscrita numa circunferência com 8cm de diâmetro que é tangente aos dois planos de projeção;

- A aresta da base que tem menos afastamento é vertical;

- O vértice da pirâmide está situado no plano frontal de projeção.

20 - Desenha as projeções de um prisma triangular regular, situado no primeiro diedro e com bases contidas em planos de rampa, sabendo que:

- Os pontos A(0;0;5) e O(-2;2;3) são, respetivamente, vértice e centro de uma das bases;

- O prisma tem 3cm de altura.

Determina as projeções do sólido truncado que resulta da secção provocada no sólido pelo plano de perfil π que contém o eixo do sólido. Considera que o ponto A pertence ao sólido truncado e determina a verdadeira grandeza da secção.

21 – Determina as projeções da figura da secção resultante da interseção de um plano frontal (de frente) com um paralelepípedo retângulo, situado no 1º diedro, cuja base é o retângulo [ABCD] contido no plano θ. Dados:

- O plano θ é ortogonal ao bissetor β₁₃ e o seu traço horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 50º(a.e.);

- A circunferência circunscrita ao retângulo é tangente ao plano horizontal de projeção e tem centro no ponto M(5;3);

- A diagonal [AC] é frontal (de frente) e a diagonal [BD] é passante.

- O centro da base superior tem 6cm de cota.

- O plano secante tem 6cm de afastamento.

22 – Determina as projeções do sólido truncado que resulta da secção feita por um plano horizontal ( de nível) σ numa pirâmide triangular regular, situada no primeiro diedro e com a base [ABC] contida num plano passante δ.

Dados

- A(4;5;3) e B, com abcissa nula e menos afastamento que A, definem uma aresta da base que mede 5cm e tem menos afastamento que o vértice C;

- A pirâmide tem 7cm de altura.

- o plano secante tem 5cm de cota.

Determine as projeções da secção produzida por um plano de topo π, num cone de revolução, sabendo que:

- O cone está assente no plano horizontal de projeção, a sua base é uma circunferência com 8cm de diâmetro e o seu vértice é o ponto V(3;5;7).

- O plano secante faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o plano da base do cone e interseta o eixo x no ponto de abcissa –1.

2 - Determine as projeções e a verdadeira grandeza da secção produzida por um plano projetante frontal α, num cone de revolução, sabendo que:

- O cone está assente em υ₀, a sua base tem 7cm de diâmetro e o seu centro é o ponto O(3;5;0). O cone tem 8cm de altura.

- fα é paralelo à geratriz de contorno aparente frontal da direita e encontra o eixo x no ponto de abcissa 1.

3 - Determine as projeções e a verdadeira grandeza da secção produzida por um plano θ numa superfície cónica de duas folhas. Dados:

- θ é de topo, o seu traço frontal faz um ângulo de 60⁰ (a.e.) com x e contém o ponto K(2;0;0).

- Os planos das bases são υ₀ e um plano de nível δ com 10 cm de cota.

- O vértice da superfície é o ponto V(5;6;6).

- A base em υ₀ tem 10 cm de diâmetro.

4 - Determine as projeções do sólido resultante da secção feita por um plano de topo α, num cone de revolução de duas folhas, com bases assentes em planos de frente. O raio de uma das bases do sólido mede 4cm e o seu centro é o ponto O(-4;1;5). O vértice é o ponto V(8;5). A outra base tem 6cm de diâmetro. O plano α faz 60⁰ (a.d.), com υ₀ e con­tém um ponto de X de abcissa igual a 1 cm. Diga qual a figura geométrica resultante da secção cónica.

5 - Determine as projeções e a VG da secção feita por um plano de topo α, num cone de re­volução assente num plano de nível de cota igual a 9 cm. O raio da base mede 4cm e a al­tura do cone é de 8cm. O eixo tem de afastamento 5 cm e de abcissa 6cm. O vértice tem menor cota do que a base. O plano α faz 45⁰ (a.e.) com ν₀ e contém um ponto de X de abcissa nula. Diga qual a figura geométrica resultante da secção cónica.

6 - Determine as projeções do sólido resultante e a VG, da secção feita por um plano de topo θ, num cone de re­volução de que é conhecida uma geratriz, o segmento [VA] na qual V(0;9;7), é o vértice do cone e A(0;3;11), um ponto da circunferência da base. O cone tem o eixo de topo. O plano θ faz com ν_o 45⁰ (a.d.) e contém um ponto de X com 6cm de abcissa. Diga qual a figura geométrica resul­tante da secção cónica.

7 - Determina as projeções da figura da secção que um plano frontal (de frente) p provoca num cone oblíquo de base horizontal com 10cm de diâmetro e eixo de perfil. O centro da base é o ponto O(5;0) e o vértice do cone é o ponto V(9;7). O plano p tem 7cm de afastamento.

8 - Determina as projeções da parábola que um plano q provoca num cone oblíquo, sabendo que:

- a base do cone é horizontal, tem 7cm de diâmetro e centro no ponto M(4;7;8);

- o eixo está contido numa reta paralela ao b₁₃ que faz, em projeção frontal, um ângulo de 40⁰ (a.e.);

- o sólido tem 6cm de altura e o vértice tem menos cota que a base;

- o plano q é de topo e contém o ponto K(-8;0;0).

9 - Determina as projeções do sólido resultante da secção provocada por um plano p num cilindro de revolução. Os pontos A(3;2;5) e A’(3;7;5) definem uma geratriz de contorno aparente horizontal. O eixo tem abcissa nula. O plano secante é horizontal e tem 6cm de cota.

10 – Determina as projeções e a verdadeira grandeza da secção feita por um plano de topo w num cilindro de revolução com uma base assente no P.H.P. e com 8cm de diâmetro. O eixo tem 6cm de comprimento. Uma geratriz do sólido está contida no P.F.P. O plano secante faz um diedro de 45⁰ (a.d.) com o P.H.P. e interseta o eixo do cilindro no seu ponto médio.

11 - Os pontos O(-3;5;0) e O’(3;5;6) definem o eixo de um cilindro de bases horizontais com 8cm de diâmetro. Determina as projeções e a verdadeira grandeza da secção provocada neste sólido por um plano de topo, sabendo que o seu traço frontal contém o ponto K(3;0;0) e que faz, com o eixo x, um ângulo de 30⁰ (a.d.).

12 – Determina as projeções do sólido resultante da secção feita por um plano s num cilindro oblíquo, sabendo que:

- a geratriz de contorno aparente horizontal mais à direita está definida pelos pontos A(-1;4;0) e A’(-8;7;5);

- as bases são horizontais e têm 8cm de diâmetro;

- o plano s é vertical, faz com o P.F.P. um diedro de 60⁰ (a.e.) e contém o ponto K(-6;0;0).

13 – Determina as projeções da figura da secção que um plano de topo p provoca num cilindro oblíquo de bases horizontais com 10cm de diâmetro e eixo de perfil. O centros das bases são os pontos O(0;5;0) e O’(9;7). O plano p contém o ponto K(-7;0;0) e faz com o P.H.P. um diedro de 40⁰ (a.e.).

14 – São dados dois pontos O(3;6;0) e O’(-3;4;10). O é o centro de uma circunferência com 4cm de raio, contida no plano horizontal de projeção. O’ é o centro de uma circunferência com 3cm de raio, contida num plano horizontal. Estas circunferências são duas bases de um sólido limitado, lateralmente, por uma superfície cónica, cujo vértice se situa entre as duas circunferências. Determina as projeções da figura da secção produzida no sólido por um plano frontal φ, com 6,5cm de afastamento.

15 - Determina as projeções do sólido resultante da secção que um plano horizontal (de nível) com 6cm de cota provoca numa esfera com 8cm de diâmetro e centro no ponto O(5;4).

16 – É dada uma esfera com 3,5 cm de raio, situada no 1º diedro e tangente aos dois planos de projeção. Determina as projeções da figura da secção produzida no sólido por um plano frontal φ, com 2cm de afastamento.

17 – É dada uma esfera com 3,5cm de raio e com centro n ponto O(-2;5;4). Determina as projeções do sólido resultante da secção produzida na esfera por um plano g, de topo. Sobre g sabe-se que interseta o eixo x num ponto com 4 de abcissa e que faz, com o plano XY (ν₀), um diedro de 45⁰ (a.d.). Considera, como sólido resultante da secção, a parte da esfera compreendida entre o plano secante e o plano horizontal de projeção.

18 - Determina as projeções e a verdadeira grandeza da secção produzida por um plano vertical λ numa esfera tangente ao plano frontal de projeção e com centro no ponto O(4;6). Sabe-se que o plano λ contém o ponto O e faz, com o plano frontal de projeção, um diedro de 55⁰ (a.e.).

1 - São dados uma reta r e um prisma quadrangular oblíquo com 8 cm de altura, situado no 1º Diedro. Determina as projeções dos pontos de intersecção da reta com o sólido, distinguindo as partes visíveis da reta das invi­síveis (sejam estas por penetração ou por ocultação). As bases do prisma estão contidas em planos horizon­tais. A base inferior é o quadrado [ABCD]. Q(3;5;2) é o centro da circunferência circunscrita à base inferior e A(4;2;2) é um dos seus vértices. O eixo do prisma é uma reta frontal que faz um ângulo de 65° (a.d.) com o plano XY (ν₀). A reta contém o ponto R(5;8;3) e o ponto médio do eixo do prisma.

2 - Determina os pontos comuns a uma reta r, e a um prisma pentagonal regular, reto. O prisma tem as suas bases de frente e o raio das circunferências circunscritas aos pentágonos mede 2,5cm_, sendo os centros os pontos 0(3,5;5;2,5) e 0’(3,5;1;2,5). Uma das faces laterais, a de maior cota, é paralela a ν₀. A reta r está definida pelos pontos A(0,5;5,5;3,5) e B(6,5;2;0,5).

3 - Determina a interseção da reta r com um cubo cujas faces fazem, duas a duas, ângulos de 60°, 30° e 90° com φ₀. As faces perpendiculares a φ₀ têm de cota 1 e 5cm. Uma aresta [AB], a mais próxima de φ₀ é um segmento vertical e a face a que pertence e se situa para a sua direita faz 30° com φ₀. A reta r é definida pelos pontos P e Q.

A(3,5;1;5) B(3,5;1;1) P(-1;4;4) Q(3;2,5;2,5)

4 - Determina a interseção da reta n, com um prisma hexagonal regular, reto, com bases assentes em planos de frente com 0,5 e 4cm de afastamento. Os hexágonos das bases têm de lado 3cm e duas faces laterais do prisma são de nível tendo, a mais próxima de ν₀, 1 cm de cota. A aresta mais à esquerda dessa face tem de abcissa 2cm. A reta de nível é definida pelos pontos A(0,5;3,5;2) e B(6,5;1;2).

5 - Determina os pontos de entrada e de saída, e as partes visíveis e invisíveis, de uma reta r, num prisma quadrangular regular, reto, com bases assentes em planos projetantes ho­rizontais. As faces laterais do prisma fazem 45° com ν₀ e a aresta lateral de menor cota é o segmento de reta [AA’]. A aresta da base mede 3cm. A reta r, é definida pelos pontos M(1;1;4,5) e N(7;6;0). A(0; 5; 2) A’(5; 3; 2).

6 - São dados dois pontos, A (3; 3; 6) e B (-2; 1; 6). A e B são dois vértices de um triângulo equilátero contido num plano horizontal. Este triângulo é uma das faces de um tetraedro situado no 1º Diedro e é a única face visível em projeção horizontal. É dada uma reta r, oblíqua. A reta r é uma reta do β_1/3 e a sua projeção horizontal faz, com o eixo X, um ângulo de 30° (a.d.). A reta r é concorrente com o eixo X num ponto com 6 de abcissa. Deter­mina as projeções dos pontos de entrada e de saída da reta no sólido. Assinala, convenientemente, as invisi­bilidades da reta, sejam estas por ocultação ou por penetração.

7 - É dada uma pirâmide triangular oblíqua, situada no 1º Diedro e com a base contida no Plano Frontal de Projeção. A(0;0;0) e B(6;0;2) são dois vértices do triângulo da base, que é equilátero. O eixo da pirâmide é hori­zontal e faz um ângulo de 60° (a.d.) com o Plano Frontal de Projeção. A pirâmide tem 7 cm de altura. É dada uma reta r, oblíqua, contida no β_1/3. A reta é concorrente com o eixo X num ponto com -5 de abcissa e a sua projeção horizontal é perpendicular ao eixo da pirâmide. Determina as projeções dos pontos E e S, respetiva­mente os pontos de entrada e de saída da reta no sólido. Assinala convenientemente as invisibilidades da reta.

8 - Determina a interseção da reta f, de frente, com uma pirâmide triangular regular, reta, com base horizontal. A pirâmide fica definida pelo segmento [VA] em que V é o seu vértice e A, um dos vértices da base. A reta f, é definida pelo ponto P(-1;4,5;1,5) e pelo seu ângulo com ν₀ que é de 30°(a.e.). V(3,5;4,5;2,5) A(4,5;1;5).

9 - Determina a interseção da reta r com uma pirâmide, pentagonal regular, reta, com a base paralela a ν₀ e dele distanciada 5cm. O vértice é o ponto V(3,5;4,5;1,5) e um dos vérti­ces da base é o ponto A(0,5;1,5;5). A reta r tem o seu traço frontal coincidente com a projeção frontal do ponto A e passa pelo ponto F(6,5;9;2).

10 - Determina a interseção da reta r com uma pirâmide hexagonal regular, reta, de base pa­ralela a ν₀ e com 1cm de cota. As arestas da base medem 3cm e duas delas são de topo. As arestas laterais medem 5cm e duas são de perfil. O vértice da base, mais próximo de φ₀, tem 1,5 cm de afastamento e 2 cm de abcissa. A reta r é definida pelos pontos P(0,5;6;4) e Q(5,5;1; 0).

11 - É dado um cone reto situado no 1º Diedro. O seu eixo é uma reta de topo e o seu vértice é o ponto V(-2;1;5). O cone tem 7 cm de altura e a sua base tem 4cm de raio. É dada, também, uma reta r, oblíqua, paralela ao β_2/4. A reta r contém o ponto A(3;3;7) e faz, em projeção horizontal, um ângulo de 30^o (a.d.) com o eixo x. Deter­mina as projeções dos pontos E e S, respetivamente os pontos de entrada e de saída da reta no sólido, dis­tinguindo as suas partes visíveis das invisíveis, sejam estas por ocultação ou por penetração.

12 - É dado um cone oblíquo e uma reta f, frontal. Determina as projeções dos pontos E e S, respetivamente os pontos de entrada e de saída da reta no cone, sabendo:

- a base do cone pertence ao plano XY (ν₀), tem 3,5 cm de raio e o seu centro, o ponto O, tem 4 cm de afastamento;

- a geratriz mais à direita do cone é de perfil e o vértice do cone pertence ao β_1/3, tendo 8 cm de afastamento;

- a reta f tem 5cm de afastamento e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30° (a.e.);

- H é o traço horizontal da reta e O₀H₀ =7 cm, estando O à esquerda de H.

13 - É dado um cone obliquo, situado no 1º Diedro e com a base contida no Plano Frontal de Projeção. O(3;0;4) é o centro da circunferência que limita a base, que tem 3,5 cm de raio. V(-2;7;7) é o vértice do cone. É dada uma reta r, oblíqua, que contém o ponto T(5;4;5). A reta r é paralela ao β_1/3 e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30° (a.e.) com o eixo x. Determina as projeções dos pontos de intersecção da reta com o sólido e assinala convenientemente as visibilidades/invisibilidades da reta.

14 - Determina os pontos de interseção de uma reta r com um cone de revolução, assente num plano de frente. O diâmetro da base mede 6cm. O vértice é o ponto V(0;1;3) e o centro da base o ponto 0(0;5,5;3). A reta r passa pelo ponto P e as suas projeções frontal e horizontal fazem com o eixo x, ângulos respetivamente de 30°(a.d.) e 45°(a.d.). P(-3;8;4).

15 - Determina os pontos comuns a uma reta r, e à superfície de um cone de revolução com a base paralela a ν₀ e cujo raio mede 3 cm. O centro da base tem de abcissa 3cm, de cota 1,5cm e de afastamento 4cm. A altura do cone é de 4cm. A reta r é definida pelos pontos P(1;3;1,5) e Q(6,5;2;4,5).

16 - Determina os pontos comuns a uma reta f e à superfície de um cone de revolução, cujo eixo é o segmento [VO]. O raio da base mede 2,5 cm. A reta f é de frente, contém o ponto P e faz com ν₀ um ângulo de 45° com abertura para a esquerda. 0(3,5;0,5;2,5) V(3,5;4,5;2,5) P(0,5;1,5;0).

17 - É dado um cilindro oblíquo, existente no 1º Diedro, com uma das bases contida no plano XZ (φ₀). O raio das bases é 4cm e o centro da base inferior é o ponto Q(4;0;4). O eixo do cilindro é uma reta e, oblíqua, cujas projeções fazem, com o eixo X, ângulos de 70° e 30° (ambos a.d.), respetivamente a projeção horizontal e a frontal. A altura do cilindro é 8 cm. A reta r está definida por A(6;2;6) e por B(-4;7;3). Determina as projeções dos pontos M e N, respetivamente os pontos de entrada e de saída da reta r no cilindro. Distinga as partes da reta que são visíveis das invisíveis.

18 - É dado um cilindro reto, com 7 cm de altura e situado no 1º Diedro. O(1;5;0) é o centro da base inferior, que tem 3 cm de raio e está contida no Plano Horizontal de Projeção. É dada uma reta r, oblíqua. A reta r contém o pon­to A(4;1;5) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (a.d.) e 30° (a.e.) com o eixo x. Determina as projeções dos pontos E e S, respetivamente os pontos de entrada e de saída da re­ta no sólido, distinguindo as suas partes visíveis das invisíveis, sejam estas por ocultação ou por penetração.

19 - É dado um cilindro oblíquo, situado no 1º Diedro e com 8 cm de altura. Uma das bases está contida no Plano Horizontal de Projeção, é tangente ao PIano Frontal de Projeção e o seu centro é o ponto O(2;3;0). As pro­jeções do eixo do cilindro fazem, com o eixo x, ângulos de 70° (a.d.) e 30° (a.d.), respetivamente a projeção frontal e a horizontal. Determina as projeções dos pontos de entrada e de saída de uma reta f, frontal, no sóli­do, sabendo que f contém o ponto A(-3;5;2) e faz, com o plano XY (ν0), um ângulo de 30° (a.e.). Assinale as invisibilidades da reta, sejam estas por ocultação ou por penetração.

20 - Determina os pontos comuns a uma reta r e à superfície de um cilindro de revolução com 4,5cm de altura e com 4cm de raio, cujo eixo é de topo, e tem de abcissa 2cm e de cota 5cm. A base mais próxima de φ₀, tem de afastamento 1,5cm. As projeções, frontal e ho­rizontal, da reta r, fazem com o eixo x, respetivamente, 45°(a.e.) e 35°(a.e.). A reta r contém o pon­to A(1;5;4,5).

21 - Determina os pontos de entrada e de saída de uma reta r, num cilindro de revolução cujo eixo vertical tem 3,5cm de abcissa e 3cm de afastamento. O raio do cilindro mede 2,5cm e as suas bases têm de cota 1cm e 5cm. A reta r contém os pontos C(1;1,5;6) e D(6;5,5;0,5).

22 - Determina os pontos comuns a uma reta f e à superfície de um cilindro de revolução com bases de frente, com 3cm de raio. Os centros das bases são os pontos O e O’. A reta f é fronto-horizontal e contém o ponto D. 0(0;4,5;3) 0’(0;1;3) D(4,5;3;1,5).

23 - Determina os pontos comuns a uma reta r e a um cilindro de revolução, tangente ao plano horizontal de projeção. O eixo do cilindro é o segmento [00’]. A reta r contém os pontos M(-1,5;2;5) e N(3,5;7;1). 0(0;5;2,5) 0’(3;5;2,5).

24 - Determina os pontos comuns a uma reta r, e a um cilindro de revolução com bases existentes em planos de perfil. O segmento [AA’] é uma das geratrizes do cilindro e o seu eixo contém o ponto P. A reta r contém o ponto P e as suas projeções frontal e hori­zontal fazem com o eixo x respetivamente ângulos de 45° e 25° com abertura para a direita. A(2,5;1,5;3) A’(6,5;1,5;3) P(3,5;3;4).

25 - Considera uma esfera com 3,5 cm de raio, cujo centro é o ponto O(-2;4;5). É dada uma reta r, oblíqua pas­sante. A reta r intersecta o eixo X num ponto com 3 cm de abcissa e as suas projeções frontal e horizontal fa­zem, com o eixo x, respetivamente ângulos de 25° (a.d.) e 40° (a.d.). Determina as projeções dos pontos M e N, respetivamente os pontos de entrada e de saída da reta r no sólido, assinalando convenientemente as invi­sibilidades da reta, sejam estas por ocultação ou por penetração.

26 - É dada uma esfera com 3,5 cm de raio e cujo centro é o ponto O(0;4;5). É dada, também, uma reta p, de per­fil, definida por A(-2;8;1) e B(3;6). Determina os pontos de intersecção da reta p com a esfera, assinalando convenientemente as invisibilidades da reta, sejam estas por ocultação ou por penetração.

27 - É dada uma esfera com 3cm de raio, cujo centro é o ponto 0(2;4;3). É dada, também, uma reta frontal f, que contém o ponto A(-2;6;6) e que faz um ângulo de 40°(a.d.) com o plano XY (ν₀). Determina as projeções dos pontos E e S, respetivamente os pontos de entrada e de saída da reta no sólido, assinalando convenientemen­te as invisibilidades da reta, sejam estas por ocultação ou por penetração.

1.ª Fase 2007

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Dados

Sistema axonométrico:

– as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:

(xÔz) = 110° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);

(yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Sólido:

– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;

– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respectivamente, 2 e 6,5 de afastamento;

– o ponto V tem coordenadas positivas;

– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;

– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

2.ª Fase 2007

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.

Sistema axonométrico:

– os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y fazem, entre si, um ângulo de 120°.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Sólido:

– os pontos A (3; 3; 0) e B (3; 10; 0) são dois vértices da base [ABC] de um dos prismas;

– a segunda base deste prisma tem 0 de abcissa;

– os pontos D (3; 4,5; 0) e E (3; 8,5; 0) são dois vértices da base [DEF] do outro prisma;

– a segunda base deste prisma tem 7 de abcissa;

– ambos os prismas ficam situados para cima do plano horizontal xy

1ª Fase 2008

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Prisma quadrangular:

– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;

– as arestas das bases medem 3 cm;

– uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.

Cubo:

– a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;

– os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

2ª Fase 2008

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolucao, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visiveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z,

respectivamente;

– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Cilindros:

– os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;

– o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;

– o ponto O’ (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura.

1ª Fase 2009

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;

– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;

– ambos os prismas têm 9 cm de altura.

Prisma triangular regular 1:

– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.

Prisma triangular regular 2:

– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;

– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;

– a aresta da base mede 4 cm.

2ª Fase 2009

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– dimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular regular:

– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;

– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

Prisma hexagonal regular:

– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;

– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.

1ª Fase 2010

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal regular:

– duas faces são horizontais;

– a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;

– o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento definem uma aresta dessa face;

– uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;

– o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento definem a aresta de menor abcissa dessa base;

– a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

2ª Fase 2010

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

– trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos:

– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

1ª Fase 2011

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido composto por uma pirâmide quadrangular oblíqua de base regular e por um cilindro de revolução. Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− o eixo axonométrico y faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e z;

− as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.

Pirâmide quadrangular oblíqua de base regular:

− a base está situada no plano coordenado horizontal xy;

− o ponto R com 3 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto S com 10 de abcissa e 4 de afastamento definem a aresta de menor afastamento da base;

− a face [RSV] é um triângulo isósceles paralelo ao plano coordenado frontal zx;

− o ponto V com 8 de cota é o vértice da pirâmide.

Cilindro de revolução:

− uma base está situada no plano coordenado frontal zx;

− o raio das bases mede 3 cm;

− o ponto V é o centro da base de maior afastamento.

2ª Fase 2011

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma pirâmide hexagonal regular e um cubo.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Sólidos:

− têm um eixo comum contido numa recta vertical.

Pirâmide hexagonal regular:

− o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;

− duas arestas da base são paralelas ao eixo x;

− um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;

− o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Cubo:

− as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;

− a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;

− as arestas medem 2 cm.

1ª Fase 2012

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para

cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

− o ponto A (3; 2; 0) e o ponto B (3; 10; 0) são os vértices de uma aresta de uma das bases do prisma;

− a outra base está contida no plano coordenado yz.

Cubo:

− uma das faces do cubo pertence ao plano da base do prisma, que contém a aresta [AB];

− os vértices desta face são os pontos médios das arestas da base do prisma.

2ª Fase 2012

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas de base regular.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− trimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com a projeção do eixo z e um ângulo de 130º com a projeção do eixo y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmides:

− o ponto A (6; 2; 0) e o ponto B (6; 8; 0) definem uma aresta que é comum às duas bases dos sólidos;

− as bases das pirâmides estão contidas no plano coordenado xy;

− os vértices V e V’ das pirâmides pertencem à reta vertical que contém o vértice A;

− o vértice V tem 10 de cota e o vértice V’ tem 5 de cota;

− o vértice V’ pertence à pirâmide que tem a aresta de base de maior abcissa.

1ª Fase 2013

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para

cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal:

− as bases do prisma pertencem a planos horizontais;

− o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;

− a outra base está situada no plano coordenado xy.

Prisma triangular:

− as bases do prisma pertencem a planos frontais;

− o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;

− a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.

2ª Fase 2013

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção do eixo z e um ângulo de 130° com o eixo x;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

− as bases do prisma pertencem a planos frontais;

− o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6; 0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;

− o prisma tem 2 cm de altura.

Prisma triangular:

− o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;

− a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.

1ª Fase 2014

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadrangulares. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150° com a projeção do eixo z e um ângulo de 120° com a projeção do eixo x;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas quadrangulares regulares:

− os dois prismas são iguais e têm 8 cm de altura;

Prisma 1:

− as bases do prisma são frontais;

− o ponto R (9; 10; 8) e o ponto S (5; 10; 8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.

Prisma 2:

− as bases do prisma são horizontais;

− o ponto S e o ponto T (1; 10; 8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.

2ª Fase, 2014

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e por um cubo. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135° com as projeções dos eixos z e x;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

− as bases do prisma pertencem a planos frontais;

− o ponto A (4; 12; 0) e o ponto C (9; 12; 5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;

− o prisma tem 11 cm de altura.

Cubo:

− as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;

− o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;

− a aresta do cubo mede 3 cm.

1ª Fase 2015

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cones de revolução.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− a projeção do eixo y forma um ângulo de 120° com a projeção do eixo z e um ângulo de 150° com a projeção do eixo x;

− a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cones:

− os dois cones são iguais e têm uma geratriz comum;

− o ponto O (9; 2; 5) e o ponto O’ (6; 12; 5) são os centros das bases de cada um dos cones; − as bases são paralelas ao plano coordenado xz e têm 3 cm de raio.

2ª Fase 2015

Represente, em axonometria clinogonal militar, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico:

− a projeção do eixo z forma um ângulo de 130° com a projeção do eixo x e um ângulo de 140° com a projeção do eixo y;

− a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 50°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− as bases de menor cota dos prismas pertencem ao plano coordenado xy;

Prisma 1:

− os vértices R (6; 2; 0) e S (6; 8; 0) são os de maior abcissa de uma das suas bases;

− o prisma tem 9 cm de altura.

Prisma 2:

− os vértices R e Q (6; 6; 0) são os de menor abcissa de uma das suas bases;

− o prisma tem 5 cm de altura.

1ª Fase 2016

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;

− o vértice A (8; 8; 0) e o vértice B (8; 8; 7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;

− o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

2ª Fase 2016

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;

− os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 1:

− o vértice A (4; 9; 7) e o vértice B (10; 9; 7) definem uma aresta da base com maior afastamento;

− o outro vértice dessa base é o de menor cota.

Prisma 2:

− o vértice R (13; 9; 7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;

− o outro vértice dessa base é o de maior cota.

1ª Fase 2017

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− dimetria: a projeção axonométrica do eixo x define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;

− as arestas das bases dos prismas medem 2 cm.

Prisma 1:

− o vértice M (7; 7; 9) e o vértice N (7; 7; 2) definem a aresta lateral com maior abcissa e maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xy.

Prisma 2:

− o vértice M é o de maior abcissa e menor cota da base com maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 3:

− o vértice N é o de maior afastamento e maior cota da base com maior abcissa do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz.

2ª Fase 2017

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:

− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;

− o vértice A (3; 3; 0) é comum aos três prismas;

− as arestas das bases dos prismas medem 3 cm;

− os prismas têm 7 cm de altura.

Prisma 1:

− o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado yz;

− o vértice A é o de maior afastamento e menor cota da base com menor abcissa.

Prisma 2:

− o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz;

− o vértice A é o de maior abcissa e menor cota da base com menor afastamento.

Prisma 3:

− o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xy;

− o vértice A é o de maior abcissa e maior afastamento da base com menor cota.

1ª Fase 2018

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases triangulares. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os três prismas têm bases paralelas ao plano coordenado xz;

− os prismas têm 3 cm de altura.

Prisma 1:

− o vértice A (11; 10; 7) e o vértice B (16; 10; 7) definem uma aresta da base de maior afastamento [ABC];

− o vértice C desta base é o de menor cota.

Prisma 2:

− as arestas das bases medem 3 cm;

− o vértice B é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de maior afastamento;

− o outro vértice desta base é o de maior cota.

Prisma 3:

− as arestas das bases medem 8 cm;

− o vértice C é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de maior afastamento;

− o outro vértice desta base é o de maior cota.

2ª Fase 2018

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− isometria

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

− os prismas têm bases paralelas ao plano coordenado yz;

− os prismas têm 3 cm de altura.

Prisma 1:

− os vértices A (7; 2; 8) e B (7; 10; 8) definem uma aresta da base de maior abcissa;

− o outro vértice desta base é o de menor cota.

Prisma 2:

− as arestas das bases deste prisma medem 4 cm;

− o vértice B é o de maior afastamento da aresta paralela ao eixo y da base de maior abcissa;

− o outro vértice desta base é o de maior cota.

1ª Fase 2019

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cones de revolução. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 130º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 140º com a projeção axonométrica do eixo z;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cones:

− os cones são iguais e têm bases paralelas ao plano coordenado xz.

Cone 1:

− o ponto O (12; 9; 3) é o centro da circunferência da base tangente ao plano coordenado xy; − o vértice V pertence ao plano coordenado xz.

Cone 2:

− o ponto O’ (9; 9; 3) é o centro da base;

− o vértice V’ tem maior afastamento do que a base.

2ª Fase 2019

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três cubos. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 120º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 150° com a projeção axonométrica do eixo z;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cubos:

− as arestas dos cubos são paralelas aos eixos coordenados.

Cubo 1:

− o vértice A (9; 6; 0) e o vértice B (9; 10; 0) definem uma das arestas de maior abcissa.

Cubo 2:

− as arestas medem 6 cm;

− o vértice A é o de maior afastamento de uma das arestas de maior abcissa.

Cubo 3:

− as arestas medem 2 cm;

− o vértice B é o de menor afastamento de uma das arestas de maior abcissa.

1ªFase 2020

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides oblíquas de bases quadradas. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− isometria.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmides:

− as duas pirâmides são iguais;

− as arestas das bases medem 5 cm;

− duas arestas das bases são paralelas ao eixo y, e as outras duas são paralelas ao eixo z;

− os pontos V (0; 0; 5) e V’ (10; 0; 5) são, respetivamente, os vértices da pirâmide 1 e da pirâmide 2.

Pirâmide 1:

− o vértice de menor afastamento e de maior cota da base coincide com o vértice V’ da pirâmide 2.

Pirâmide 2:

− o vértice de menor afastamento e de menor cota da base coincide com o vértice V da pirâmide 1.

2ªFase 2020

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma reto de bases quadradas e por um cubo. Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135º com a projeção axonométrica dos eixos x e z;

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma:

− o vértice A (3; 3; 4) é o de menor abcissa e de menor afastamento de uma das bases;

− as arestas das bases medem 7 cm;

− duas arestas das bases são paralelas ao eixo x, e as outras duas são paralelas ao eixo y;

− a outra base pertence ao plano coordenado xy.

Cubo:

− o vértice P coincide com o centro da base superior do prisma e é o vértice de maior abcissa e de maior afastamento da face de menor cota do cubo;

− uma face do cubo pertence ao plano xz, e a outra face pertence ao plano yz.